研究生入学考试综合数学试题答案.docx

1、研究生入学考试综合数学试题答案2014年研究生入学考试综合数学试题答案一、问题求解：第115小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。1.某部门在一次联欢活动中共设了26个奖，奖品均价为280元，其中一等奖单价为400元，其他奖品均价为270元，一等奖的个数为（A）6 （B）5 （C）4 （D）3 （E）2【答案】E【解析】设一等奖的个数为，则其他奖品个数为，由题可得：，解得，所以答案选E。【知识点】应用题-平均值问题【难易度】2.某单位进行办公室装修，若甲、乙两个装修公司合作，需10周完成，工时费为100

2、万元，甲公司单独做6周后由乙公司接着做18周完成，工时费为96万元。甲公司每周的工时费为（A）7.5万元 （B）7万元 （C）6.5万元 （D）6万元 （E）5.5万元【答案】B【解析】设甲公司每周工时费为万元，乙公司每周工时费为万元，根据题意可得方程组解得。【知识点】应用题-工程问题【难易度】3. 如图1，已知AE=3AB，BF=2BC，若ABC的面积是2，则AEF的面积为（A）14 （B）12（C）10 （D）8 （E）6【答案】B【解析】利用等高三角形面积比等于底边比的性质：故选B。【知识点】平面几何【难易度】4.某公司投资一个项目。已知上半年完成了预算的，下半年完成了剩余部分的，此时还

3、有8千万元投资未完成，则该项目的预算为（A）3亿元 （B）3.6亿元 （C）3.9亿元 （D）4.5亿元 （E）5.1亿元【答案】B【解析】设某公司的投资预算为亿元，则由题可知,即，解得所以答案选B。【知识点】应用题【难易度】5. 如图2，圆A与圆B的半径均为1，则阴影部分的面积为（A） （B）（C） （D）（E）【答案】E【解析】故选E。【知识点】平面几何【难易度】6. 某容器中装满了浓度为90%的酒精，倒出1升后用水将容器注满，搅拌均匀后又倒出1升，再用水将容器注满，已知此时的酒精浓度为40%，则该容器的容积是（A）2.5升 （B）3升 （C）3.5升 （D）4升 （E）4.5升【答案】B

4、【解析】设容器的容积为，由题意得：，解得：，故选B。【知识点】应用题-溶液【难易度】7. 已知为等差数列，且，则（A）27 （B）45 （C）54 （D）81 （E）162【答案】D【解析】为等差数列，已知，所以，故选D。【知识点】数列-等差数列的中项公式【难易度】8. 甲、乙两人上午8:00分别自A，B出发相向而行，9:00第一次相遇，之后速度均提高了1.5公里/小时，甲到B，乙到A后都立刻沿着原路返回。若两人在10:30第二次相遇，则A，B两地的距离为（A）5.6公里 （B）7公里 （C）8公里 （D）9公里 （E）9.5【答案】D【解析】设两地相距S公里，甲的速度为，乙的速度为，由条件得

5、【知识点】应用题-行程问题【难易度】9.掷一枚均匀的硬币若干次，当正面向上次数大于反面向上次数时停止，则在4次之内停止的概率为（ ）（A） （B） （C） （D） （E）【答案】C【解析】只抛一次：正面向上的概率为：抛三次，向上面依次为反正正的概率为：以上两种情况相加：，故选C。【知识点】概率求概率【难易度】10. 若几个质数（素数）的乘积为770，则它们的和为（ ）（A）85 （B）84 （C）28 （D）26 （E）25【答案】E【解析】，选E。【知识点】数-质因数分解【难易度】11. 已知直线是圆在点处的切线，则在轴上的截距为（A） （B） （C） （D） （E）5【答案】D【解析】直线

6、是圆在点处的切线直线为在轴上的截距为。选D。【知识点】解析几何-圆的切线方程【难易度】12如图3，正方体的棱长为2，F是棱的中点，则的长为（A）3 （B）5 （C）（D） （E）【答案】A【解析】由题意可知是直角三角形故选A。【知识点】立体几何-直角三角形边长公式【难易度】13.在某项活动中，将3男3女6名志愿者随机地分成甲、乙、丙三组，每组2人，则每组志愿者都是异性的概率为（A） （B） （C） （D） （E）【答案】E【解析】志愿者随机地分成甲、乙、丙三组，每组2人的分法有：种志愿者随机地分成甲、乙、丙三组，每组2人，每组志愿者都是异性的分法有6种（数出）,故选E。【知识点】种数求概率【难

7、易度】14. 某工厂在半径为5cm的球形工艺品上镀一层装饰金属，厚度为0.01cm.已知装饰金属的原材料是棱长为20cm的正方体锭子，则加工10000个该工艺品需要的锭子数最少为（不考虑加工损耗，）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）20【答案】C【解析】每个球形工艺品需要装饰材料的体积为：10000个所需装饰材料的体积为：每个正方体锭子的体积为：所以共需的定做的个数为,即需要4个正方体锭子故选C。【知识点】立体几何-球的体积、正方体的体积【难易度】15某单位决定对4个部门的经理进行轮岗，要求每位经理必须轮换到4个部门中的其他部门任职，则不同的轮岗方案有（ ）（A）3种 （B）6种

8、（C）8种 （D）9种 （E）10种【答案】D【解析】该题属于4个数的错位排列，所以共有种。故选D。【知识点】排列组合-错排计数【难易度】二、条件充分性判断：第16-25小题，每小题3分，共30分。要求判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题干所陈述的结论。A、B、C、D、E五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断，在答题卡上将所选字母涂黑。A.条件（1）充分，但条件（2）不充分B.条件（2）充分，但条件（1）不充分C.条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分D.条件（1）充分，条件（2）也充分E.条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和（2）联合起来

9、也不充分16.已知曲线，则(1)曲线过点（1，0）(2)曲线过点（-1，0）【答案】A【解析】由条件（1）曲线过点（1，0），则有，则成立，（1）为充分条件。由条件（2）曲线过点（-1，0），则有，推不出故（2）不充分。【知识点】解析几何【难易度】17. 不等式的解集为空集。(1)(2)【答案】B【解析】若的解集为空集，则恒成立，即函数的图像必定与x轴无交点，且最小值大于1，故，条件（1）不是其子集，不充分，条件（2）是其子集，充分，所以选B.【知识点】不等式、二次函数图像-抛物线的性质【难易度】18. 甲、乙、丙三人的年龄相同。(1) 甲、乙、丙三人的年龄成等差数列。(2) 甲、乙、丙三人的

10、年龄成等比数列。【答案】C【解析】（1）若当甲、乙、丙三人的年龄成等差数列时，很明显得不到三人年龄相同，故（1）不充分。（2）若当甲、乙、丙三人的年龄成等比数列时，很明显得不到三人年龄相同，故（2）不充分。条件（1）、（2）联合，则甲、乙、丙三人的年龄成等差数列又成等比数列，则甲=乙=丙，故（1）（2）联合充分，所以答案选C【知识点】数列【难易度】19. 设x是非零实数，则(1)(2)【答案】A【解析】我们首先来看：对于条件（1），因此（1）充分，对于条件（2），此时因此，条件（2）不充分【知识点】式-立方和公式、完全平方公式【难易度】20. 如图4，O是半圆的圆心，C是半圆上的一点，.则能确

11、定OD的长。(1)已知BC的长。(2)已知AO的长。【答案】A【解析】由于AB为圆的直径，因此在三角形ABC中，为直角对于条件（1），,条件(1)充分对于条件（2），,但在已知AO的情况下，求不出BC的值，因此条件(2)不充分【知识点】平面几何-圆及三角形的性质【难易度】21.方程有实根。(1)a,b,c是一个三角形的三边长。(2)实数a,b,c成等差数列。【答案】A【解析】方程的判别式对于条件（1），由三角形三边性质，有,即,方程有实根，所以（1）充分对于条件（2），由等差数列性质，有,可举出反列，时,方程无实根，所以（2）不充分【知识点】方程-一元二次方程、等差数列【难易度】22. 已知二

12、次函数,则能确定a,b,c的值。(1)曲线经过点（0,0）和点（1，1）(2)曲线与直线相切【答案】C【解析】对于条件（1）：将点（0，0）、（1，1）代入函数，可得，得不到a、b的确切值，所以（1）不充分。对于条件（2）：曲线与相切，即最小值为,无法求得a、b、c的确切值，所以（2）不充分。条件（1）（2）联合后：，故条件（1）（2）联合起来充分，选C【知识点】函数-一元二次函数的图像【难易度】23. 已知袋中有红、黑、白三种颜色的球若干个，则红球最多。(1)随机取出的一球是白球的概率为(2) 随机取出的两球中至少有一个黑球的概率小于【答案】C【解析】设红球个数为m, 黑球个数为n, 白球个

13、数为r，可知红球和黑球占总数的，但无法确定红球的数量，因此条件（1）不充分。由条件（2）：至少一黑球的概率小于，即没有黑球的概率大于，即红球和白球占球总量大于，但无法确定红球的数量，因此条件（2）不充分。由条件（1）（2）联合后：，说明红球数量最多。选C【知识点】与不等式结合求概率【难易度】24. 已知是一个整数的集合，则能确定集合M.(1)a,b,c,d,e的平均值为10(2)a,b,c,d,e的方差为2【答案】C【解析】条件（1）、（2）单独均不充分考虑（1）（2）联合由（1）得由（2）得因此，得到方程组，解为8、9、10、11、12，因此选C【知识点】统计-方差的定义【难易度】25.已知x,y为实数，则(1)(2)【答案】A【解析】对于条件（1）：对于条件（2）：选A.【知识点】不等式【难易度】