1、研究生入学考试综合数学试题答案2014年研究生入学考试综合数学试题答案一、问题求解:第115小题,每小题3分,共45分。下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中,只有一项是符合试题要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。1.某部门在一次联欢活动中共设了26个奖,奖品均价为280元,其中一等奖单价为400元,其他奖品均价为270元,一等奖的个数为(A)6 (B)5 (C)4 (D)3 (E)2【答案】E【解析】设一等奖的个数为,则其他奖品个数为,由题可得:,解得,所以答案选E。【知识点】应用题-平均值问题【难易度】2.某单位进行办公室装修,若甲、乙两个装修公司合作,需10周完成,工时费为100
2、万元,甲公司单独做6周后由乙公司接着做18周完成,工时费为96万元。甲公司每周的工时费为(A)7.5万元 (B)7万元 (C)6.5万元 (D)6万元 (E)5.5万元【答案】B【解析】设甲公司每周工时费为万元,乙公司每周工时费为万元,根据题意可得方程组解得。【知识点】应用题-工程问题【难易度】3. 如图1,已知AE=3AB,BF=2BC,若ABC的面积是2,则AEF的面积为(A)14 (B)12(C)10 (D)8 (E)6【答案】B【解析】利用等高三角形面积比等于底边比的性质:故选B。【知识点】平面几何【难易度】4.某公司投资一个项目。已知上半年完成了预算的,下半年完成了剩余部分的,此时还
3、有8千万元投资未完成,则该项目的预算为(A)3亿元 (B)3.6亿元 (C)3.9亿元 (D)4.5亿元 (E)5.1亿元【答案】B【解析】设某公司的投资预算为亿元,则由题可知,即,解得所以答案选B。【知识点】应用题【难易度】5. 如图2,圆A与圆B的半径均为1,则阴影部分的面积为(A) (B)(C) (D)(E)【答案】E【解析】故选E。【知识点】平面几何【难易度】6. 某容器中装满了浓度为90%的酒精,倒出1升后用水将容器注满,搅拌均匀后又倒出1升,再用水将容器注满,已知此时的酒精浓度为40%,则该容器的容积是(A)2.5升 (B)3升 (C)3.5升 (D)4升 (E)4.5升【答案】B
4、【解析】设容器的容积为,由题意得:,解得:,故选B。【知识点】应用题-溶液【难易度】7. 已知为等差数列,且,则(A)27 (B)45 (C)54 (D)81 (E)162【答案】D【解析】为等差数列,已知,所以,故选D。【知识点】数列-等差数列的中项公式【难易度】8. 甲、乙两人上午8:00分别自A,B出发相向而行,9:00第一次相遇,之后速度均提高了1.5公里/小时,甲到B,乙到A后都立刻沿着原路返回。若两人在10:30第二次相遇,则A,B两地的距离为(A)5.6公里 (B)7公里 (C)8公里 (D)9公里 (E)9.5【答案】D【解析】设两地相距S公里,甲的速度为,乙的速度为,由条件得
5、【知识点】应用题-行程问题【难易度】9.掷一枚均匀的硬币若干次,当正面向上次数大于反面向上次数时停止,则在4次之内停止的概率为( )(A) (B) (C) (D) (E)【答案】C【解析】只抛一次:正面向上的概率为:抛三次,向上面依次为反正正的概率为:以上两种情况相加:,故选C。【知识点】概率求概率【难易度】10. 若几个质数(素数)的乘积为770,则它们的和为( )(A)85 (B)84 (C)28 (D)26 (E)25【答案】E【解析】,选E。【知识点】数-质因数分解【难易度】11. 已知直线是圆在点处的切线,则在轴上的截距为(A) (B) (C) (D) (E)5【答案】D【解析】直线
6、是圆在点处的切线直线为在轴上的截距为。选D。【知识点】解析几何-圆的切线方程【难易度】12如图3,正方体的棱长为2,F是棱的中点,则的长为(A)3 (B)5 (C)(D) (E)【答案】A【解析】由题意可知是直角三角形故选A。【知识点】立体几何-直角三角形边长公式【难易度】13.在某项活动中,将3男3女6名志愿者随机地分成甲、乙、丙三组,每组2人,则每组志愿者都是异性的概率为(A) (B) (C) (D) (E)【答案】E【解析】志愿者随机地分成甲、乙、丙三组,每组2人的分法有:种志愿者随机地分成甲、乙、丙三组,每组2人,每组志愿者都是异性的分法有6种(数出),故选E。【知识点】种数求概率【难
7、易度】14. 某工厂在半径为5cm的球形工艺品上镀一层装饰金属,厚度为0.01cm.已知装饰金属的原材料是棱长为20cm的正方体锭子,则加工10000个该工艺品需要的锭子数最少为(不考虑加工损耗,)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)20【答案】C【解析】每个球形工艺品需要装饰材料的体积为:10000个所需装饰材料的体积为:每个正方体锭子的体积为:所以共需的定做的个数为,即需要4个正方体锭子故选C。【知识点】立体几何-球的体积、正方体的体积【难易度】15某单位决定对4个部门的经理进行轮岗,要求每位经理必须轮换到4个部门中的其他部门任职,则不同的轮岗方案有( )(A)3种 (B)6种
8、(C)8种 (D)9种 (E)10种【答案】D【解析】该题属于4个数的错位排列,所以共有种。故选D。【知识点】排列组合-错排计数【难易度】二、条件充分性判断:第16-25小题,每小题3分,共30分。要求判断每题给出的条件(1)和(2)能否充分支持题干所陈述的结论。A、B、C、D、E五个选项为判断结果,请选择一项符合试题要求的判断,在答题卡上将所选字母涂黑。A.条件(1)充分,但条件(2)不充分B.条件(2)充分,但条件(1)不充分C.条件(1)和(2)单独都不充分,但条件(1)和(2)联合起来充分D.条件(1)充分,条件(2)也充分E.条件(1)和(2)单独都不充分,条件(1)和(2)联合起来
9、也不充分16.已知曲线,则(1)曲线过点(1,0)(2)曲线过点(-1,0)【答案】A【解析】由条件(1)曲线过点(1,0),则有,则成立,(1)为充分条件。由条件(2)曲线过点(-1,0),则有,推不出故(2)不充分。【知识点】解析几何【难易度】17. 不等式的解集为空集。(1)(2)【答案】B【解析】若的解集为空集,则恒成立,即函数的图像必定与x轴无交点,且最小值大于1,故,条件(1)不是其子集,不充分,条件(2)是其子集,充分,所以选B.【知识点】不等式、二次函数图像-抛物线的性质【难易度】18. 甲、乙、丙三人的年龄相同。(1) 甲、乙、丙三人的年龄成等差数列。(2) 甲、乙、丙三人的
10、年龄成等比数列。【答案】C【解析】(1)若当甲、乙、丙三人的年龄成等差数列时,很明显得不到三人年龄相同,故(1)不充分。(2)若当甲、乙、丙三人的年龄成等比数列时,很明显得不到三人年龄相同,故(2)不充分。条件(1)、(2)联合,则甲、乙、丙三人的年龄成等差数列又成等比数列,则甲=乙=丙,故(1)(2)联合充分,所以答案选C【知识点】数列【难易度】19. 设x是非零实数,则(1)(2)【答案】A【解析】我们首先来看:对于条件(1),因此(1)充分,对于条件(2),此时因此,条件(2)不充分【知识点】式-立方和公式、完全平方公式【难易度】20. 如图4,O是半圆的圆心,C是半圆上的一点,.则能确
11、定OD的长。(1)已知BC的长。(2)已知AO的长。【答案】A【解析】由于AB为圆的直径,因此在三角形ABC中,为直角对于条件(1),,条件(1)充分对于条件(2),,但在已知AO的情况下,求不出BC的值,因此条件(2)不充分【知识点】平面几何-圆及三角形的性质【难易度】21.方程有实根。(1)a,b,c是一个三角形的三边长。(2)实数a,b,c成等差数列。【答案】A【解析】方程的判别式对于条件(1),由三角形三边性质,有,即,方程有实根,所以(1)充分对于条件(2),由等差数列性质,有,可举出反列,时,方程无实根,所以(2)不充分【知识点】方程-一元二次方程、等差数列【难易度】22. 已知二
12、次函数,则能确定a,b,c的值。(1)曲线经过点(0,0)和点(1,1)(2)曲线与直线相切【答案】C【解析】对于条件(1):将点(0,0)、(1,1)代入函数,可得,得不到a、b的确切值,所以(1)不充分。对于条件(2):曲线与相切,即最小值为,无法求得a、b、c的确切值,所以(2)不充分。条件(1)(2)联合后:,故条件(1)(2)联合起来充分,选C【知识点】函数-一元二次函数的图像【难易度】23. 已知袋中有红、黑、白三种颜色的球若干个,则红球最多。(1)随机取出的一球是白球的概率为(2) 随机取出的两球中至少有一个黑球的概率小于【答案】C【解析】设红球个数为m, 黑球个数为n, 白球个
13、数为r,可知红球和黑球占总数的,但无法确定红球的数量,因此条件(1)不充分。由条件(2):至少一黑球的概率小于,即没有黑球的概率大于,即红球和白球占球总量大于,但无法确定红球的数量,因此条件(2)不充分。由条件(1)(2)联合后:,说明红球数量最多。选C【知识点】与不等式结合求概率【难易度】24. 已知是一个整数的集合,则能确定集合M.(1)a,b,c,d,e的平均值为10(2)a,b,c,d,e的方差为2【答案】C【解析】条件(1)、(2)单独均不充分考虑(1)(2)联合由(1)得由(2)得因此,得到方程组,解为8、9、10、11、12,因此选C【知识点】统计-方差的定义【难易度】25.已知x,y为实数,则(1)(2)【答案】A【解析】对于条件(1):对于条件(2):选A.【知识点】不等式【难易度】
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