信号与系统傅里叶变换.docx
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信号与系统傅里叶变换
实验二连续信号频域分析（FT）
一、实验目的
1．掌握连续时间周期信号的频谱分析方法；
2．掌握连续时间信号的频域分析方法；
3．熟悉通过调用fft（）函数求解连续信号的傅立叶变换的数值分析方法。
二、实验原理
连续时间周期信号
可展开成傅立叶级数，即三角函数形式
其中：
，
n=1,2,3…
n=1,2,3…
当取指数形式：
n≠0
则
MATLAB的符号积分函数int（）可以帮助我们求出连续时间周期信号的截断傅立叶级数及傅立叶表示。
连续时间信号
的傅立叶变换定义为
MATLAB的SymbolicMathToolbox提供了能直接求解傅立叶变换及逆变换的函数fourier（）及ifourier（）。
另外，连续时间信号的傅立叶变换可以利用MATLAB提供的快速傅立叶变换函数fft（）进行数值计算。
连续信号
进行离散化后得到序列
记作
，则N点离散序列的离散傅立叶变换（DFT）和反变换（IDFT）为：
的傅立叶复系数
，为进行数值计算，必须离散化。
取足够小的
，
，于是：
由式
（1）得
（3）
即
考虑到
本身以N为周期，于是傅立叶复系数
（4）
周期信号用指数型傅立叶级数表示为：
，离散化后得到
由式
（2）得
。
三、实验分析
例题：
求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换。
分析：
由已知得到周期矩形脉冲信号的第一个周期内信号
，即得到傅里叶变换为
，而周期矩形脉冲信号的傅里叶级数的系数为
，由此得到
的傅里叶级数为
。
手动绘画波形如下：
四、实验仿真
首先对周期脉冲信号的第一个周期内信号进行傅里叶变换，程序如下：
得到图形如下：
再得到周期信号的傅里叶级数的系数，程序编辑如下：
得到的波形如下：
五、实验小结
通过本次实验掌握连续时间周期信号的频谱分析方法，以及使用matlab软件中的FFT函数求得周期信号进行傅里叶系数。
掌握了连续时间信号的频谱分析方法，以及使用matlab中的fourier函数对非周期函数进行傅里叶变换。
收获很大。
实验要求一
上机实现例题1、2、3、4。
例1．幅度为A，宽度为τ，重复周期为T的周期矩形脉冲信号f（t），当A=1，τ=0.4，T=2s时，画出其频谱图。
周期矩形脉冲信号的傅立叶复系数为：
画频谱图的MATLAB程序1如下：
a=1;
tao=0.4;
t=2;%脉冲幅度、宽度及周期
n0=t/tao;
n=0:
2*n0;%谐波次数（取有效频带宽度的2倍）
fn_p=a*tao/t*（sin（n*pi*tao/t+eps*（n==0）））./（n*pi*tao/t+eps*（n==0））;
fn_pabs=abs（fn_p）;%取模
fn_pang=angle（fn_p）;%取相位
fn_mabs=fliplr（fn_pabs（2:
2*n0+1））;%幅度谱偶对称
fn_mang=-fliplr（fn_pang（2:
2*n0+1））;%相位谱奇对称
fnabs=[fn_mabsfn_pabs];%双边幅度谱
fnang=[fn_mangfn_pang];%双边相位谱
subplot（2,1,1）,stem（（-2*n0:
2*n0）,fnabs）;%画出双边幅度谱
subplot（2,1,2）,stem（（-2*n0:
2*n0）,fnang）;%画出双边相位谱
Dt=0.005;
t=-3:
Dt:
3;
xa=Ect（t+2）-Ect（t-2）;%输入非周期连续信号，exp（-1000*abs（t））;exp（-1000*t）;
Wmax=2*pi*2;
K=500;
k=0:
1:
K;
W=k*Wmax/K;
Xw=xa*exp（-j*t'*W）*Dt;%进行FT，利用FT定义计算；
Xa=abs（Xw）;%求FTXw的幅频特性；
Pha=angle（Xw）;%求FTXw的相频特性；
W=[-fliplr（W）,W（2:
501）];%FT的频率最大最小区间，-WmaxtoWmax
Xa=[fliplr（Xa）,Xa（2:
501）];%幅度谱
Xa的最大最小区间，-WmaxtoWmax
Pha=[-fliplr（Pha）,Pha（2:
501）];%相位谱Pha的最大最小区间，-WmaxtoWmax
subplot（311）;
plot（t,xa）;
ylabel（'xa（t）'）;
xlabel（'t/s'）;
subplot（312）;
plot（W/（2*pi*4）,Xa）;
ylabel（'|Xw（jw）|'）;
xlabel（'w/rad'）;
subplot（313）;
plot（W/（2*pi*4）,Pha）;
ylabel（'Pha（jw）'）;
xlabel（'w/rad'）;
波形如下：
例2．求下列信号的傅立叶变换。
（1）
（2）
symstw;
f1=sym（'Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1）'）;
f2=sym（'exp（-t）*Heaviside（t）'）;
fw1=fourier（f1）
执行结果：
fw1=
exp（i*w）*（pi*Dirac（w）-i/w）-exp（-i*w）*（pi*Dirac（w）-i/w）
fw2=fourier（f2）
执行结果：
fw2=
1/（1+i*w）
fw1s=simple（fw1）
执行结果：
fw1s=
2*sin（w）/w
输出波形如下：
例3．幅度为A，宽度为τ，重复周期为T的周期矩形脉冲信号f（t），当A=1，τ=0.4，T=2s时，画出其频谱图。
通过调用fft（）函数求解连续信号傅立叶系数的数值计算方法MATLAB程序如下：
m=32;%离散傅立叶变换得点数
T=2;
tao=0.2;
f0=1/T;%基频
dt=T/m;%采样间隔Δ
n=0:
m-1;%采样点序号
t=n*dt;%采样点时间序列
ft1=ones（size（t））.*（（t>=-tao）-（t>=tao））;
ft2=ones（size（t））.*（t>=T-tao）;
ft=ft1+ft2;%f（t）的序列f（kΔ）
fn=fft（ft）;%求n=0,1,2...,N-1上的DFT值F（n）
cn=fftshift（fn/m）;%由式（3）得f（t）的傅立叶复系数
stem（（n-m/2）*f0,cn）;%作图：
f（t）的频谱系数
例4．接上例，该周期信号
通过低通滤波器后的输出信号为
，试画出
的频谱图及时间波形。
低通滤波器的频率特性函数为：
。
m=32;%离散傅立叶变换得点数
T=2;
tao=0.2;
f0=1/T;%基频
fc=2;%低通滤波器截止频率
dt=T/m;%采样间隔Δ
n=0:
m-1;%采样点序号
t=n*dt;%采样点时间序列
ft1=ones（size（t））.*（（t>=-tao）-（t>=tao））;
ft2=ones（size（t））.*（t>=T-tao）;
ft=ft1+ft2;%f（t）的序列f（kΔ）
fn=fft（ft）;%求n=0,1,2...,N-1上的DFT值F（n）
cn=fftshift（fn/m）;%由式（3）得f（t）的傅立叶复系数
H=ones（size（n））.*（（n>=m/2-fc/f0）-（n>m/2+fc/f0））;%H（f）
yn=cn.*H;%系统输出y（t）的傅立叶复系数
yt=ifft（yn）*m;%由ifft（）函数得到系统输出y（kΔ）
subplot（3,2,1）;stem（（n-m/2）*f0,cn）;%作图：
f（t）的频谱系数
subplot（3,2,3）;plot（（n-m/2）*f0,H）;%作图：
滤波器频率特性
subplot（3,2,5）;stem（（n-m/2）*f0,yn）;%作图：
滤波器的输出信号y（t）频谱系数
subplot（3,2,2）;plot（t,ft）;%作图：
输入信号f（t）的一个周期
subplot（3,2,6）;plot（t,abs（yt））;%作图：
输出信号y（t）的一个周期
输出波形如下：
实验要求二
改变例题一中的T的值，当T=4时得到波形如下：
实验要求三
改变例4中滤波器的截止频率的值，观察波形的变化。
改变周期T=4，得到波形如下：
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