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拓扑学

拓扑学

拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。

“拓扑”一词是音译自德文topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入（1848年），用来表示一个新的研究方向，“位置的几何”。

中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（1931年）。

拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何”，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。

比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。

而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。

为什么要研究这种性质呢？

这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。

好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着“言必称希腊”，只要从莱布尼兹开始就行。

莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。

经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。

在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。

他不满意笛卡尔的坐标系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。

可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。

莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是现在称为“代数拓扑”的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的思考和尝试，终于在19，20世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。

在这些先驱中，高斯名气最大，被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼，其实他同高斯在数学史上的地位是相当的，他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响；莫比乌斯，他在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：

莫比乌斯带。

左边这个图就是莫比乌斯带，它的重要特性是，虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面。

这种曲面叫做“单侧曲面”。

在这样的曲面上散步一定很别扭，哈哈。

这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题，扭结分类问题。

所谓扭结，顾名思义就是一根绳子首尾相接，它可能打了结。

更一般的，可以是几根绳子，除了自身打结以外，还互相打结。

对具体的一个扭结，也许可以通过做实验的办法判断它是否打结，但是数学家希望找一个普适的，定量的办法。

比如说，任意画一个扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影），比如这个有点复杂的，怎样不动手做实验就能判断它到底有没有打结？

这个问题后来证实是非常复杂的问题。

在有了计算机以后，才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。

直到2006年，才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。

扭结分类的问题比判断是否打结更困难。

比如，以下两个扭结都打了结，它们是否本质上是同一种结？

所谓“分类”，就是要找一个（可计算的）判据，使得当两个扭结满足这个判据时就是同一种结；当它们不满足这个判据时就不是同一种结。

到现在为止，也还只能找到一些非常复杂的判据，同样要借助计算机才能大致判断两个扭结是否本质上为同一种结。

扭结理论有一段很有趣的早期历史。

1867年，著名物理学家开尔文勋爵，就是那个号称物理学已经接近终结，只剩“两朵乌云”的开尔文，突然产生了关于化学元素表的新看法（那时候还没有发现原子，所以化学元素表还是一个谜）。

开尔文认为，不同的化学元素其实是“以太”的涡旋在空间中的扭结形态。

“以太”是19世纪的物理学家们发明的概念，它被想象成充满整个空间，是电磁波传播的载体（或媒质）。

开尔文是很严肃的物理学家，当然不能凭空想象，实际上他提出了几个即使从现在的观点看来也很合理的证据：

（1）元素很稳定，这可以用扭结的拓扑性质来解释，微小的形变不改变扭结的“扭法”。

（2）元素很多样，这可以用扭结的多样性来解释，不同的“打结方式”实在太多了。

（3）不同的元素发出不同的光谱，这可以用“以太扭结”的各种“振动方式”来解释。

有时候我们不得不佩服一些大师，他们虽然偶尔有点信口开河，不过极富原创力想象力。

开尔文这个想法可以算是“弦论”的原生态。

虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构，但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中依稀找到一点影子。

请原谅我不能在这里具体给出任何判断两个扭结不同的方法。

任何这样一个方法，都需要很多图解和文字说明。

有兴趣的网友可以读姜伯驹的《绳圈的数学》或者英文书《Anintroductiontoknottheory》，作者Lickorish,属于系列GTM（graduatetextsinmathematics）175.再贴几个扭结：

然后是一个问题：

下面三个扭结中，哪两个本质上是同一种结？

庞卡莱是19世纪末20世纪初法国最伟大的数学家，他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界，分别继承了黎曼和高斯的衣钵：

庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力，一如当年的黎曼；希尔伯特严谨，博学，细致入微地思考，为20世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。

庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何，就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论，完全革新了整个学科的基本观念。

这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念：

“同调群”与“基本群”。

它们都是几何体内在性质的“代数体现”。

庞卡莱意识到，描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界，以及它是不是其它几何体的边界。

比如，一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界；球面为什么跟轮胎面不同，就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界，比如赤道就是北半球面的边界，而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。

在第一篇里说过，莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。

200多年后庞卡莱终于实现了这个梦，他把跟边界有关的性质数量化。

先把几何体剖分成基本组成部分（点，边，三边形，四面体，…），比如，一个球面上可以画四个点，然后把它们两两相连（不允许连线相交），有六条边，这些边把球面分成四个三边形，这就是球面的一个“剖分”（见左图）。

剖分的基本组成成份叫做“单形”，“点”是0维单形，“边”是1维单形，“三边形”（包括内部）是2维单形，等等（试想一下3维单形是什么）。

拿之前已经剖分的球面做例子，顶点A,B,C,D是0维单形，边AB,AC,AD,BC,BD,CD是1维单形，三边形ABC,ABD,ACD,BCD是2维单形（如果ABC,ACD是东半球的区域，那ABD,BCD就包括了西半球）。

因为考察的是球面，而不是球体，所以没有三维以上的单形。

庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加，以及做同类项合并。

这种表达式称为一个“链”，比如

（3AB–2BC）+（AC–5BC）=3AB–7BC+AC.

单形前面的加号减号具有几何意义，“定向”。

在1维的时候就是边的方向，比如，AB是从A到B的边，-AB就是从B到A的边，也就是BA，所以BA=–AB.三边形的定向复杂一些，不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关，对换两个顶点就会改变定向，

ACB=–ABC.

由于每一个n维单形的边界由若干n-1维单形组成，所以“求边界”可以作为一种运算，作用在“链”上，得到另一个“链”，其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。

在求边界的过程中，定向也是一个重要因素，虽然AB的边界是两个点A和B,但为了体现定向性质，规定AB的边界是（B–A）.这种约定可以推广到高维的链，大家不妨自己试试。

如果用d记求边界运算，在跟定向相容的约定下，它在球面剖分的各单形上作用如下

d（A）=d（B）=d（C）=d（D）=0;

d（AB）=B-A,d（BA）=A-B,d（BC）=C-B,……

d（ABC）=BC-AC+AB,d（BCD）=CD-BD+BC,……

在“链”上的作用，

d（3AB–2BC）=3d（AB）–2d（BC）=3（B-A）–2（C-B）=-3A+5B–2C.

边界运算有一个很好的性质。

直观上容易看到，“物体的边界没有边界”。

比如，三边形的边界是三条边组成的闭合链。

生活中我们说“闭合”的意思就是没有边界。

代数上体现为，连续两次求边界一定是零，

d[d（BCD）]=d[CD–BD+BC]=d（CD）–d（BD）+d（BC）=（D-C）–（D-B）+（C-B）=0

现在把剖分后的几何体的所有这样的“链”放在一起，它们之间有加减法（合并同类项），可以用系数乘，还可以“求边界”。

这就得到了一个代数对象，叫做这个剖分后的几何体的“链群”。

这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。

在链群中，可以由求边界运算得到的链叫做“边缘链”，比如，

2AB+2BC+2CA=d（2ABC）

说明等式左边这个链是一个边缘链。

没有边界的链叫做“闭链”。

边缘链一定是闭链，而闭链不一定是边缘链。

庞卡莱发现，“有多少闭链不是边缘链”这个性质与剖分无关，从而是几何体某种本性的代数体现。

怎样代数地描述这个性质？

考虑所有闭链，它们之间的加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法，庞卡莱叫它“同调群”。

现在来算球面的同调群。

顶点都没有边界，但是两个顶点的差一定是一条边的边界，

A-B=d（BA）

按照庞卡莱的语言，A-B是边缘链，将被等同于0,也就是说，在同调群中A-B=0,或者说A=B.这样，本质上只有一个0维对象，

A=B=C=D,

它可以被整数乘，这样我们得到球面的0维同调群

{…,-3A,-2A,-A,0,A,2A,3A,…}

这个代数对象的加法，数乘，跟全体整数的加法，数乘是一样的，用数学的语言来说，球面的0维同调群“同构于”整数集。

1维的链是六条边的组合，用代数运算（解线性方程组）或者几何直观都可以看到，没有边界的1维链总是由三边形的边界（AB+BC+CA）,（BC+CD+DB）,（AB+BD+DA）组成，按照庞卡莱的语言，球面上所有的1维闭链都是边缘链，都应该在同调群中等同于0，所以1维同调群是0.

2维的链是四个面的组合，xABC+yABD+zACD+wBCD,它是闭链的条件

d（xABC+yABD+zACD+wBCD）=0.

有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程，比如第一项

d（xABC）=x（BC–AC+AB）=xBC–xAC+xAB,

然后合并每条边的系数，令它等于零，就得到6个关于x,y,z,w的线性方程。

这个方程组的解是x=z=-y=-w.这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成

w（BCD–ACD+ABD–ABC）,

也就是说，总是括号中闭链的整数倍。

如果把括号里的闭链叫做s,那么球面的二维同调群就是

{…,-3s,-2s,-s,0,s,2s,3s,…}，

同构于整数集。

综上所述，球面的0维同调群和2维同调群都同构于整数集，1维同调群为0.再引入一个概念，同调群内含有多少个整数集，就说同调群的“秩”是多少。

把不同维同调群的“秩”交错加减，即，0维同调群的秩减去1维同调群的秩再加上2维同调群的秩再减去3维同调群的秩……,得到一个整数。

在简单例子里稍作计算，就会发现这个整数实际上是0维单形个数减去1维单形个数再加上2维单形个数再减去3维单形个数……，即，各维数单形个数的交错和。

这个数大家其实颇为熟悉，在高中立体几何最后应该提到过，叫做“欧拉示性数”，对凸多面体的表面，它就是V–E+F,而且总是等于2.实际上，所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面，这个“2”就是球面的各维数同调群的“秩”的交错和，1–0+1=2.

显然，欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量，只需要找一个剖分，然后数数几个顶点几条边几个面……，再加加减减就行了。

同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链，通俗一点说，告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是“中空”的。

它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。

有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群：

圆圈，轮胎面。

（提示：

先把它们剖分成单形。

）

庞卡莱发现了同调群以后，拿它来区分了一些三维的对象。

后来他发现，同调群不够精细。

比如，跟三维球面（二维球面的高一维推广）具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。

这促使他寻找更精细的拓扑性质。

这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的，就是道路。

两条道路如果首尾相接，就组成一条新的道路，这就是道路的乘法。

这里有两个问题需要处理，首先，不是任何两条道路都能相乘（必须首尾相接才可以），然后，即使能相乘，乘法也不满足结合律，运算起来不方便。

庞卡莱想到了办法解决这两个问题。

他在几何体内取一个基点，只考虑那些从这个点出发再回到这个点的道路，这些道路当然互相首尾相连；然后他规定，如果一条道路能在几何体内经过连续变形到另一条道路（见下图），这两条道路就被看作在同一个“道路类”中，这样规定后，“道路类”之间的乘法就满足结合律了。

这些“道路类”也组成一个代数对象，有乘法运算，这个对象叫做几何体的“基本群”，或者“1维同伦群”。

来点感性认识。

线段的基本群只有一个元素，就是静止在基点的道路。

线段里的其他任何从基点出发回到基点的道路都可以在线段内连续变形到静止在基点的道路。

我们把只包含一个元素的基本群称为“平凡的”。

再看圆周，它的基本群是所有整数组成的。

绕圆周n圈的道路不能在圆周上连续变形到绕圆周m圈的道路，而把它们首尾相接的结果就是绕圆周n+m圈的道路，这里道路类之间的乘法体现为整数间的加法。

第三个例子，球面，它的基本群是平凡的，因为球面上所有由基点出发的回路都可以在球面上连续变形（滑缩）为静止在基点的道路（见左图）。

具有平凡基本群的几何体称为“单连通的”。

基本群的计算涉及到更深入的细节，比如拓扑的具体定义，拓扑空间之间的映射，等等，无法在这里详加解释。

有兴趣进一步了解的朋友请参阅《基础拓扑学》，阿姆斯特朗（M.A.Armstrong）著；孙以丰译。

发明了基本群以后，庞卡莱觉得这个更加精确的拓扑性质应该足以把三维球面从其它三维几何体中区分出来，但他自己无法证明。

这就是举世闻名的庞卡莱猜想：

单连通的三维封闭几何体一定是三维球面。

这个猜想及其推广主导了代数拓扑学一百年的发展，最终在2004年由俄罗斯数学家裴若曼给出证明。

裴若曼因此在2006年获得数学界最高荣誉——菲尔兹奖。

1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。

这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。

即使是争取这样一个职位，也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。

1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严格数学定义。

之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题，委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。

黎曼选了两个思虑多时的课题，外加一个还未及考虑的课题——关于几何学的基本假设。

他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。

然而，委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。

当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间的相互关系问题，从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力，再加上长期的贫穷，一度让黎曼崩溃。

但不久他就重新振作起来，用7个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。

为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲，黎曼只用了一个公式，并且忽略了所有计算细节。

尽管如此，估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。

只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。

黎曼在演讲中提出了“弯曲空间”的概念，并给出怎样研究这些空间的建议。

“弯曲空间”正是后世拓扑学研究的主要对象。

在这些对象上，除了可以运用代数拓扑的工具，还可以运用微积分工具，这就形成了“微分拓扑学”。

回到黎曼的演讲。

黎曼认为，几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的，甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。

黎曼认为，几何对象应该是一些多度延展的量，体现出各种可能的度量性质。

而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。

欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。

但是，我们可以考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何，比如大到不可测的几何，以及小到不可测的几何。

接着，黎曼开始了关于延展性，维数，以及将延展性数量化的讨论。

他给了这些多度延展的量（几何对象）一个名称，德文写作mannigfaltigkeit,英文翻译为 manifold，英文字面意思可以理解为“多层”，中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为“流形”，取自文天祥《正气歌》，“天地有正气，杂然赋流形”，而其原始出处为《易经》，“大哉乾元，万物资始，乃统天。

云行雨施，品物流形。

” 这个翻译比英文翻译更加符合黎曼的原意，即多样化的形体。

黎曼定义的“n维流形”大概是这个样子的：

以其中一个点为基准，则周围每个点的位置都可以用n个实数来确定。

后人将这种性质总结为：

流形的局部与n维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。

如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来，成为“整体微积分”，则称此流形为“微分流形”。

一个简单的例子就是二维球面。

我们都知道，二维球面上没有整体适用的坐标。

经度和纬度是一组很好的坐标，但是在南北两极，经度无从定义。

尽管如此，球面的每个局部都可以画在平面上，这就是地图。

把各个区域的地图收集在一起，重叠的部分用比例尺协调一下，就得到整个球面。

这样，坐标（或地图）只存在于每个局部，而整个球面其实是地图之间的重叠关系。

球面是二维流形，因为球面的局部同平面（二维欧氏空间）的局部具有相同的延展性质。

球面的整体结构显然跟平面不同。

沿着球面的某个方向往前走，比如，从赤道某点出发往东走，最终会回到出发点。

而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。

研究流形的整体结构，以及整体结构与局部结构之间的关系，就是“拓扑学”的核心课题。

微分流形上可以使用微积分的工具，再辅之以前面介绍过的代数工具（同调群，同伦群），就形成了威力强大的“微分拓扑学”。

这门学问的发展使我们对5维以上的单连通微分流形（回忆先前介绍的“单连通”概念，即每条曲线可于流形内滑缩为一点）有了比较彻底的认识。

到了80年代，数学家对4维单连通“拓扑流形”也有了彻底的认识，然而4维“微分流形”却是无比复杂的对象。

比如，直观上最简单的四维流形，四维欧氏空间，也就是所有（x,y,z,t）这样的数组组成的空间，有无穷多个“微分结构”，通俗一点说，这个流形上有无穷多种“整体微积分”可做，而我们通常做的四元微积分只是其中一种。

这是4维的特殊性，因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。

也许“4”就是传说中的上帝之数，我们的宇宙就是用4个参数来描述的（3个参数表示空间，1个参数表示时间），我们的时空是一个四维流形。

如果我们忘掉时间，只考察我们生活的空间。

它的形态会是怎样？

这是黎曼在演讲结尾提出的问题。

这个问题到现在还没有答案。

这个答案需要物理学家、天文学家、宇宙学家去寻找。

宇宙空间会不会是一个三维球面？

如果是三维球面，那我们沿着一个方向往前飞行，最终总会回到起点。

 黎曼所描述的几何经常被形容为“爬虫的几何”，因为黎曼假设观察者处于流形内部。

对人类来说，二维流形是非常直观的对象，它们通常被称为“曲面”。

而三维流形却难以想象，正因为我们处于宇宙空间这个三维流形内部。

爬虫几乎是二维的生物，它们靠爬行来感知周围世界。

1884年英国小说家E.A.Abbott的科幻小说《平面国》描述了真正的二维爬虫，以及它们对额外维（仅仅是第三维）的恐惧不安。

现在让我们体会一下二维爬虫的世界。

假设这个世界是一个二维球面，任何事件都发生在这个球面上。

最重要的是，光线沿着球面传播。

而我们人类可以从外部观察这个二维球面世界。

古希腊数学家就已经知道，球面上连接两点的所有曲线段中存在最短者，即以球心为圆心的弧（称为“大圆弧”）。

爬虫通过测量也能发现这个最短线段，但在爬虫的世界里，“球心”并不存在。

我们假设爬虫的光学定律也要求光线沿短程线传播，所以二维球面上的光线，即短程线，在人类看来是一些大圆弧。

一个处于球面上P点处的光源发出的所有光线沿着大圆传播，它们将汇聚于P的“对极点”P’（人类倾向于定义对极点P’为三维空间中连接P和球心的直线与球面的另一交点；而爬虫将定义对极点为离P最远的那个点）。

爬虫们实际上看到两个发光点P和P’，一个是真实的，另一个是像（按高中物理的说法，P’处的发光点是P处光源的“实像”）。

这是因为光线在P’汇聚之后再次散开，眼睛将告诉大脑这些光线是从P’发出来的。

有延展的物体，比如一个四边形爬虫，不妨设它的眼睛长在“前边”。

那么它往前看将看见自己的“后边”，往左看将看见自己的“右边”。

它看到了自己在“远方”成的像。

有多远？

圆周率乘以这个二维世界的半径。

有趣的是，对于正好处在此爬虫对极点的观察者而言，爬虫“无处不在”，往任何一个方向看都能看到爬虫，非常恐怖的景象。

这个世界的另一个显著特点是，它“有限无边”。

如果爬虫认定一个方向往前爬，它可以永远爬下去，不会碰到“世界的边缘”，此即“无边”；而如果爬虫会丈量面积，那么它发现这个世界的总面积是有限的，如果它一直往前爬，它会一次又一次地回到起点，此即“有限”。

有限无边的二维流形当然不必是球面。

比如，爬虫的世界完全可以是我们人类所谓“轮胎面”，数学家叫它“环面”。

在这样一个世界里，房地产开发商将是一个危险的职业，因为有时候画了一个圈来圈地，结果什么都没有圈进去。

比如轮胎上的经线圈和纬线圈。

脑满肠肥的开发商们应该庆幸我们人类脚下正好是一个球面，随便画个圈都会有收获。

言归正传，数学家们发现我们人类观察到的轮胎面并非其最自然的形式。

这个二维流形更自然的模型是把一个正方形的对边等同起来。

这是一个奇怪的世界，光线在正方形内沿直线传播，当你疑惑光线到达正方形的上边缘以后将往何处去时，你忘记了这个世界是“有限无边”的，上边缘和下边缘是同一条线，所以光线又从下边缘射上来。

这个世界里，点光源不会成像，因为它发出的光走的是平面上（正方形内）的直线，正常发散，永不重聚。

但是爬虫仍然会看到远方的自己。

与球面世界不同的是，爬虫会看到无穷多个自己：

朝任何一个斜率为有理数的方向看，就会从某个角度看到自己。

怎么理解这个现象？

可以用这个正方形的无穷多个