逻辑与数学.docx
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逻辑与数学
1形式逻辑的基本规律
形式逻辑的四条基本规律是同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。
它们是客观事物某些最普遍性质在思维中的反映，是正确思维必须满足的，是逻辑对正确思维的基本要求。
当然也是数学推理和数学证明所必须遵循的基本规律。
一、同一律
同一律的基本内容是：
在同一论证过程中，概念和判断必须保持同一性，亦即确定性。
同一律可用公式表示为：
A是A。
同一律的作用在于保证思维的确定性，这是正确思维要求满足的必要条件，一切正确思维都必须遵守同一律。
如果思维不遵守同一律，那么就没有确定的内容，也就不能正确反映客观事物。
在数学论证中也是如此，例如，在证明三角形的内角和定理时，应确定角的概念为大于0°小于180°的角，而且在证明过程中保持不变。
如果把角的概念扩展到任意角的概念，那么定理就不一定成立，就会形成混乱。
诡辩术经常扭曲同一律。
二、矛盾律
矛盾律的基本内容是：
在同一论证过程中，对同一对象的两个相互矛盾（对立）的判断，其中至少有一个是假的，不可能全是真的。
矛盾律可用公式表示为：
A是B，A不是B；这两个命题不会同时成立，也不会同时不成立。
例如，对两实数a和b，a＞b和a＜b，这两个判断至少有一个是假的。
又如判断"两条直线平行且相交"是错误的，因为平行与相交是矛盾的结论不能同时成立。
矛盾律要求正确思维不能自相矛盾，它也是正确思维必须满足的条件。
它的作用也在于保证思维的确定性，排除思维中的形式逻辑矛盾，但矛盾律决不否定客观事物本身存在着矛盾。
对同一对象的两个相互矛盾的判断，不可能同时为真，却有可能皆为假，这样的命题称为“相反”。
归谬法就是在矛盾律的基础上产生的。
三、排中律
排中律的基本内容是：
在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断，这两个相矛盾的判断必有一个是真的。
排中律可用公式表
例如，"△ABC是直角三角形"与"△ABC不是直角三角形"两矛盾判断必有一个是真的。
排中律要求一对矛盾判断不能同假，与矛盾律要求一对矛盾（对立）判断不能同真有区别，一对反对判断同假并不违反排中律。
例如：
"△ABC不是锐角三角形"与"△ABC不是直角三角形"是一对反对的判断，它们同假是可能的，因为△ABC有可能是钝角三角形。
四、充足理由律
充足理由律的基本内容是：
正确的判断必须有充足的理由。
充足理由律可用公式表示为：
因为B真，且B能推出A，所以A真。
也可以说，B是A成立的充足理由。
充足理由律是一切推理和证明必须遵循的最基本的逻辑规律。
不能想象，我们会认为一个毫无根据的判断是正确的，我们也不会毫无根据地提出一个判断。
2逻辑推理
演绎逻辑
2.1对当关系推理
对当关系推理是AEIO四种命题之间的推理：
A、E之间是反对关系，不同真，可同假。
一个真，另一个必假。
A、O，E、I之间是矛盾关系，不同真，不同假。
一真，另必假；一假，另必真。
A、I，E、O是差等关系，A真，I必真；I假，A必真；E真，O必真，O假，E必假
2.2变形推理
2.2.1换质推理
换质推理是通过改变前提中直言命题的联项，即将“是”改为“不是”或将“不是”改为“是”，从而推出结论的推理方法。
换质推理通常又称“换一个说法”，即肯定的命题用否定的方式来表达，或者否定的命题用肯定的方式来表达。
在进行换质推理时需要注意的是，除了需要改变联项外，同时还需要把结论中的谓项变为前提谓项的矛盾概念。
直言命题A、E、I、O的换质推理情况如下：
“所有S是P”可以换质为“所有S不是非P”。
“所有S不是P”可以换质为“所有S是非P”。
“有些S是P”可以换质为“有些S不是非P”。
“有些S不是P”可以换质为“有些S是非P”。
2.2.2换位推理
换位推理就是通过改变前提中直言命题的主项和谓项的位置，从而推出结论的推理方法。
换位推理通常又称为“倒过来说”。
在进行换位推理时，除了需要交换主项和谓项的位置外，还需要注意在前提中不周延的词项在结论中也不能周延。
直言命题A、E、I、O的换位推理情况如下：
“所有S是P”可以换位为“有些P是S”。
“所有S不是P”可以换位为“所有P不是S”。
“有些S是P”可以换位为“有些P是S”。
“有些S不是P”不能换位为“有些p不是S”。
2.3三段论
三段论公理是：
如果一类对象的全部都是什么，那么，它的小类，即部分对象也必然是什么；如果一类对象的全部都不是什么，那么，它的小类，即部分对象也必然不是什么。
这就是说，如果对某类对象的全部都有所断定，那么，对它的部分对象也就有所断定。
2.4联言推理
联言推理：
联言推理就是前提或结论为联言命题，并且根据联言命题的逻辑特征所进行的推理。
一个联言命题是真的，当且仅当其所有的支命题是真的。
联言命题的推理形式分为分解式和组合式。
分解式就是由前提中一个联言命题为真推出其任一支命题为真的联言推理。
例如：
联言命题“毛泽东是伟大的革命家并且是伟大的思想家”为真，那么必然推出“毛泽东是伟大的革命家”为真，也可必然推出“毛泽东是伟大的思想家”为真。
组合式就是由前提中一些支命题为真推出这些支命题所组成的联言命题为真的联言推理。
例如：
鲁迅是伟大的文学家，
鲁迅是伟大的思想家。
所以，鲁迅是伟大的文学家和思想家。
2.5选言推理
相容选言推理有两条规则：
规则1：
否定一部分选言支，就要肯定另一部分选言支。
规则2：
肯定一部分选言支，不能否定另一部分选言支。
根据规则，相容选言推理只有一个正确的形式，即否定肯定式
金敏是教师或者是律师，她不是教师，所以，她是律师。
不相容选言推理就是以不相容选言命题为前提，根据不相容选言命题的逻辑性质进行的推理。
不相容选言推理有两条规则：
规则1：
否定一部分选言支，就要肯定另一部分选言支。
规则2：
肯定一部分选言支，就要否定另一部分选言支。
根据规则，不相容选言推理有两个正确的形式：
1.要么小李得冠军，要么小王得冠军；小李没有得冠军，所以，小王得冠军。
2.要么去桂林旅游，要么去海南旅游；去桂林旅游，所以，不去海南旅游。
2.6假言推理
充分条件假言推理是根据充分条件假言命题的逻辑性质进行的推理。
充分条件假言推理有两条规则：
规则1：
肯定前件，就要肯定后件；否定前件，不能否定后件。
规则2：
否定后件，就要否定前件；肯定后件，不能肯定前件。
根据规则，充分条件假言推理有两个正确的形式：
例如：
1.如果谁骄傲自满，那么他就要落后；小张骄傲自满，所以，小张必定要落后。
2.如果谁得了肺炎，他就一定要发烧；小李没发烧，所以，小李没患肺炎。
例1和例2都是充分条件假言推理，前者是肯定前件式；后者是否定后件式。
这两个推理都符合推理规则，所以，都是正确的。
必要条件假言推理是根据必要条件假言命题的逻辑性质进行的推理。
必要条件假言推理有两条规则：
规则1：
否定前件，就要否定后件；肯定前件，不能肯定后件。
规则2：
肯定后件，就要肯定前件；否定后件，不能否定前件。
根据规则，必要条件假言推理有两个正确的形式：
例如：
1.只有年满十八岁，才有选举权；小周不到十八岁，所以，小周没有选举权。
2.只有选用优良品种，小麦才能丰收；小麦丰收了，所以，这块麦田选用了优良品种。
例1和例2都是必要条件假言推理，前者是否定前件式；后者是肯定后件式。
这两个推理都符合推理规则，所以，都是正确的。
充分必要条件假言推理是根据充分必要条件假言命题的逻辑性质进行的推理。
充分必要条件假言推理有两条规则：
规则1：
肯定前件，就要肯定后件；肯定后件，就要肯定前件。
规则2：
否定前件，就要否定后件；否定后件，就要否定前件。
根据规则，充分必要条件假言推理有四个正确的形式：
例如：
1.一个数是偶数当且仅当它能被2整除；这个数是偶数，所以，这个数能被2整除。
2.一个数是偶数当且仅当它能被2整除；这个数能被2整除，所以，这个数是偶数。
3.一个数是偶数当且仅当它能被2整除；这个数不是偶数，所以，这个数不能被2整除。
4.一个数是偶数当且仅当它能被2整除；这个数不能被2整除，所以，这个数不是偶数。
例1到例4分别是以上充分必要条件假言推理的四个正确的推理式。
2.7负推理
稻子都不是旱地作物。
并非稻子都不是旱地作物
如果用p表示原判断，其负判断即为“并非p”。
其真假关系如表：
p
非p
真假
假真
归纳逻辑
2.8枚举归纳法
从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法，就叫枚举归纳法。
它的模式是：
S1是P
S2是P
…
Si是P
（S1,S2,…Si都是S类中的全部分子）
所有S是P
枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量，因此，它所得到的结论的可靠程度较低，一旦遇到一个反例，结论就会被推翻。
但是，枚举归纳法仍有一定的作用，通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的假说。
2,9消去归纳法
F.培根所提出的“三表法”和“排斥法”相结合的归纳法，以及J.S.密尔提出的求因果联系的契合法、差异法（见密尔求因果五法），都是消去归纳法。
它们的共同特征是：
根据所研究的对象有选择地安排事例或实验,然后通过比较消去某些假说,得到比较可靠的结论。
以下所说的两种消去归纳法是用条件句的术语对密尔方法的改进。
①假定要探求被研究现象a的必要条件，推广密尔的“求同法”,可以先比较a出现的各种场合。
如果发现在a出现的各种场合的先行情况中仅仅有一个共同情况b,那么b是a的一个必要条件；如果不止有一个共同情况,那么a可能有几个必要条件。
显然，在这些场合中的某个场合不出现的情况c不能是a出现的必要条件。
如果在先行情况中没有一个共同情况，这并不意味着a没有必要条件。
在这里，a的必要条件也许是两个或两个以上先行情况的析取。
例如，c和d不是各种场合的共同情况,a出现的必要条件也许是“c或者d”的出现。
对“c或者d”还可作进一步的分析。
上述方法是密尔的契合法的推广。
② 假定要探求被研究现象a的充分条件，根据改进过的密尔的“差异法”，可以选择两种场合，即正面场合和反面场合。
在正面场合中,a出现；而在反面场合中,a不出现。
反面场合可以选择若干个。
然后对几种场合进行比较。
如果仅仅有一个先行情况b属于正面场合但不属于任一反面场合，那么b是a的一个充分条件；如果有两个或两个以上的先行情况属于所有的正面场合但不属于任一反面场合，那么a可能有几个充分条件。
显然,在各个反面场合出现的任一先行情况不能是a的充分条件。
如果不存在一个先行情况使得正面场合不同于任一反面场合，这并不意味着a没有充分条件。
因为,a的充分条件也许是两个或两个以上情况的合取。
例如,c和d是两种场合中的两个情况,“c并且d”（但不是它们中的单独一个）的出现也许是a出现的充分条件。
上述方法是密尔的“差异法”的推广。
在应用消去归纳法时，充分条件和必要条件可以互相定义。
a出现是b出现的必要条件，当且仅当a不出现是b不出现的充分条件。
例如，施肥是获得丰收的必要条件，不施肥就是得不到丰收的充分条件。
在应用消去归纳法确定被研究现象的条件时，利用这种相互关系可以把①、②两种方法结合起来使用。
2,10假说方法
假说方法根据一组证据提出一个或一些假说，然后从某一特定的假说演绎出一些结论，这可以写成蕴涵式：
"A→B"，接着检验这些结论。
如果检验的结果是：
塡B，根据否定式推理：
就要否定这个假说。
如果检验的结果是B真,就暂时接受这个假说。
这里应用的是以下形式的归纳推理：
接受或排除一个假说的过程是很复杂的，往往不能一次完成。
有时，一个假说可以解释一些现象，但不能解释另一些现象，在这样的情况下，就不能简单地肯定或否定这个假说。
一般说来,在两个或两个以上的假说中,能解释的现象数量较大或最大的假说与不能解释的现象数量之差较大或最大的假说,是可以暂时接受的,它们具有较高程度的可靠性。
应用假说方法的过程是一个不断地提出、检验、修改、排除或确定假说过程，在这个过程中，需要应用归纳，也需要应用演绎。
例如，科学史上关于光的本性的两个著名假说“微粒说”和“波动说”，它们都各自能解释一些光的现象，但又不能完全解释另一些光的现象，只具有一定程度的真实性，后来终于被“波粒二象说”（见波－粒二象性）所取代。
现代类型
简介
19世纪中叶以后，归纳方法的研究和数学里的概率统计相结合，得到了迅速的发展。
现代不同的科学领域所应用的归纳方法不尽相同。
如在设计科学实验时用培根、密尔的归纳方法与数理统计相结合的方法，在医学和经济学中多应用数理统计。
现代归纳逻辑在理论方面的一种发展趋势，就是用数理逻辑的工具对归纳推理进行系统的、形式化的研究，构造出各种归纳逻辑的公理系统。
概率逻辑和模态归纳逻辑就是其中的两种。
2.11概率逻辑
概率逻辑与数学中的概率统计不同，后者的发展是由于数学和实验科学的需要；而概率逻辑是由于数理逻辑的发展和研究归纳逻辑的需要。
概率逻辑从20世纪20年代开始形成不同的系统，在其发展过程中，R.卡尔纳普作出了重要贡献。
卡尔纳普把归纳推理主要分为5种：
①直接推理。
这是从总体到样本的推理。
所谓总体是指所考察的一类事物，样本则是从总体中随机抽出的若干个体组成的子类。
直接推理的前提是总体中某一性质M出现的频率，结论是某个样本中M出现的同样频率。
② 预测的推理。
这是从一个样本到另一个不同样本的推理。
③ 类比推理。
即根据两个个体之间的相似性从一个个体到另一个个体的推理。
④ 逆推理。
这是从一个样本到总体的推理。
⑤ 普遍的推理。
这是从样本到具有普遍形式的假设的推理。
卡尔纳普认为,归纳逻辑是关于归纳推理的理论,是以概率的概念为基础的，归纳逻辑就是概率逻辑。
概率是一组命题即某些给定的证据和另一个命题即假设之间的关系，也就是证据对假设的确证度，卡尔纳普称之为概率1，以便与相对频率即概率2相区别。
设证据为e,假设为h，确证度q=c（h,e），c称为确证函数或c函数。
卡尔纳普利用数理逻辑和语义学的方法，构造了一个以研究确证度为对象的概率逻辑系统，并对他所提出的5种归纳推理作了概率的处理。
2,12模态归纳逻辑
在概率逻辑发展之后，20世纪中叶以来，有的学者如美国的P.J.科恩用模态逻辑作为处理归纳推理的工具。
科恩指出，卡尔纳普的概率逻辑面临不少困难，对归纳推理不宜作概率处理。
他所提出的归纳逻辑的研究对象是证据e对假设h的支持度，用s（h,e）表示,s称为支持函数。
在他看来，支持度可列为不同的等级，不同等级的支持度，就是证据给予假设不同等级的必然性，一个被证明了的理论就是由较低级的必然性达到较高级的必然性。
不同等级的支持度是广义模态逻辑的研究对象。
科恩证明了一个广义模态逻辑系统满足他的支持函数的全部要求。
现代归纳逻辑正处在深入研究的新阶段，它与现代形式逻辑即数理逻辑的一些分支，以及与信息论、模糊数学和人工智能等学科密切结合、相互渗透，并以这些学科为工具，不断地开拓新的领域。
性的知识。
因为，归纳逻辑是从小范围推知大范围、从过去推知未来的方法，故无法保证其普遍性和必然性。
比如，过去欧洲人通过世世代代经验的归纳，确信“凡是天鹅都是白的”，但是后来在澳大利亚发现了黑天鹅，它就被否定了。
2、是所谓的休谟问题。
休谟认为，由归纳前提到归纳结论的推理，是建立在所谓的“归纳原理”之上的。
而归纳原理本身却又正是归纳的结果。
因此，这里就犯了循环论证的错误。
也就是说纯粹的、单一的归纳逻辑的使用也不具有合理性的基础。
休谟问题也被称之为“归纳合理性问题”。
对于演绎逻辑，可从叫做前提的已知事实，‘必然的’得出的推理”。
如果前提为真，则结论必然为真。
这区别于溯因推理和归纳推理，它们的前提可以预测出高概率的结论，但是不确保结论为真。
“演绎推理”还可以定义为结论在普遍性上不大于前提的推理，或“结论在确定性上，同前提一样”的推理。
3演绎推理数理逻辑
数理逻辑就是符号化的形式逻辑，是现代逻辑与古典逻辑相对
数理逻辑的主要分支包括：
模型论、证明论、递归论和公理化集合论
数理逻辑包括哪些内容呢？
这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。
命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。
命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。
如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。
这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。
例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。
利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。
命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。
逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数0和1，相当于命题演算中的“真”和“假”。
谓词演算也叫做命题涵项演算。
在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。
命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。
常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。
命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。
如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。
演算的基本论证形式
名字
相继式
描述
肯定前件论式
（p→q）;p├q
如果p则q;p;所以,q
否定后件论式
（p→q）;¬q├¬p
如果p则q;非q;所以，非p
假言三段论式
（p→q）;（q→r）├（p→r）
如果p则q;如果q则r;所以，如果p则r
选言三段论式
（p∨q）;¬p├q
要么p要么q;非p;所以,q
创造性二难论式
（p→q）∧（r→s）;（p∨r）├（q∨s）
如果p则q;并且如果r则s;但是要么p要么r;所以，要么q要么s
破坏性二难论式
（p→q）∧（r→s）;（¬q∨¬s）├（¬p∨¬r）
如果p则q;并且如果r则s;但是要么非q要么非s;所以，要么非p要么非r
简化论式
（p∧q）├p
p与q为真;所以，p为真
合取式
p,q├（p∧q）
p与q分别为真;所以，它们结合起来是真
增加论式
p├（p∨q）
p是真;所以析取式（p或q）为真
合成论式
（p→q）∧（p→r）├p→（q∧r）
如果p则q;并且如果p则r;所以，如果p是真则q与r为真
德·摩根定律
（1）
¬（p∧q）├（¬p∨¬q）
（p与q）的否定等价于（非p或非q）
德·摩根定律
（2）
¬（p∨q）├（¬p∧¬q）
（p或q）的否定等价于（非p与非q）
交换律
（1）
（p∨q）├（q∨p）
（p或q）等价于（q或p）
交换律
（2）
（p∧q）├（q∧p）
（p与q）等价于（q与p）
结合律
（1）
p∨（q∨r）├（p∨q）∨r
p或（q或r）等价于（p或q）或r
结合律
（2）
p∧（q∧r）├（p∧q）∧r
p与（q与r）等价于（p与q）与r
分配律
（1）
p∧（q∨r）├（p∧q）∨（p∧r）
p与（q或r）等价于（p与q）或（p与r）
分配律
（2）
p∨（q∧r）├（p∨q）∧（p∨r）
p或（q与r）等价于（p或q）与（p或r）
双重否定律
p├¬¬p
p等价于非p的否定
换位律
（p→q）├（¬q→¬p）
如果p则q等价于如果非q则非p
实质蕴涵律
（p→q）├（¬p∨q）
如果p则q等价于要么非p要么q
实质等价律
（1）
（p↔q）├（p→q）∧（q→p）
（p等价于q）意味着，（如果p是真则q是真）与（如果q是真则p是真）
实质等价律
（2）
（p↔q）├（p∧q）∨（¬q∧¬p）
（p等价于q）意味着，要么（p与q都是真）要么（p和q都是假）
输出律
（p∧q）→r├p→（q→r）
从（如p与q为是真则r是真）我们可以证明（如果q是真则r为真的条件是p为真）
输入律
p→（q→r）├（p∧q）→r
如果p，则（q为真时，r为真）等价于如果（p与q）为真，则r为真
重言式
p├（p∨p）
p是真等价于p是真或p是真
排中律
├（p∨¬p）
p或非p是真
indiscernibilityofidenticals
p=q;p→r├q→r
p=q且p则r等价q则r
数学与逻辑的关系
集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。
逻辑演算是一种公理系统，其中的定理都是逻辑规律特别是推理形式。
19世纪70年代G.弗雷格首先建立了一个完全的逻辑演算体系，其后G.皮亚诺也为此做了不少贡献，最后由B.A.W.罗素和A.N.怀特海完成了建立一个初步自足的完全的二值外延逻辑系统的工作。
弗雷格对逻辑的兴趣来自数学基础问题的研究。
他认为，人们应该考虑如何定义数的概念并证明关于自然数的定理。
他认为，数学真理虽也要通过感性才为人所认识，但认识的来源并不就等于证明的根据，数学命题似乎可以纯粹从逻辑规律得到证明。
从日常语言不能表达严格和复杂的思想这一考虑出发，他发明了一种表意的语言，名之为“概念语言”，用以表达其逻辑演算。
这种语言虽然精确，但由于是二维的图形，不便理解，因之他的著作开始时影响很小。
弗雷格的重要贡献之一是把数学里的函数概念引入逻辑并发展了量词理论。
他的另一重要贡献是，区别了对象语言（演算里的语言）和语法语言（讲述演算所用的语言）。
一个严格的逻辑演算必须有它本身的推导或演算规则，这种规则不应在演算里表达，是现代逻辑所谓的变形规则。
在其概念语言中，弗雷格曾举出一些演算规则，如分离规则等。
他从集合论的角度利用“遗传性”定义了数的序列，为以后定义自然数序列及说明数学归纳法做了准备。
由于他没有深入研究集合论，因而未能全面地阐明逻辑和数学的关系。
从古希腊亚里士多德的逻辑发展到今天，逻辑经过了两千多年的历史。
亚里士多德的逻辑经过中世纪发展比较成熟，就形成了古典的形式逻辑。
到了19世纪末20世纪初，德国的数学家和逻辑学家叫弗雷格、英国的数学家和逻辑学家罗素他们创建了叫数理逻辑，这种逻辑是不同于亚里士多德的逻辑，叫做经典的逻辑演算。
从弗雷格、罗素以后我们就开始了现代逻辑的发展历程。
弗雷格和罗素创建的这个叫经典的逻辑
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