无名谷的初中数学组卷.docx
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无名谷的初中数学组卷
2014年5月无名谷的初中数学组卷
一.解答题(共9小题)
1.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB上一点,作DE⊥BC于E,若BE=AC,BD=
,DE+BC=1,求:
∠ABC的度数.
2.如图1,已知AM∥BN,AC平分∠MAB,BC平分∠NBA.
(1)过点C作直线DE,分别交AM、BN于点D、E.求证:
AB=AD+BE;
(2)如图2,若将直线DE绕点C转动,使DE与AM交于点D,与NB的延长线交于点E,则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系?
请你给出结论并加以证明.
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=3,将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E,求△ADE的面积.
4.△ABC中,∠CAB=∠CBA=50°,O为△ABC内一点,∠OAB=10°,∠OBC=20°,求∠OCA的度数.
5.已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F.
(1)如图1,求证:
△ACE≌△DCB.
(2)如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB= _________ ;如图2,若∠ACD=90°,则∠AFB= _________ ;
(3)如图3,若∠ACD=β,则∠AFB= _________ (用含β的式子表示)并说明理由.
6.如图所示:
AM∥DN,AE、DE分别平分∠MAD和∠AND,并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.
(1)如图,当点B、C分别位于点AD的同侧时,猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系:
_________ .
(2)试证明你的猜想.
(3)若点B、C分别位于点AD的两侧时,试写出AD、AB、CD之间的关系,并选择一个写出证明过程.
7.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
求证:
PA=PC.
8.把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN,交边AC、BC于M、N.
(1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系?
证明你的结论;
(2)当∠ACD+∠MDN=90°时,AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系?
证明你的结论;
(3)如图③,在
(2)的结论下,若将M、N分改在CA、BC的延长上,完成图3,其余条件不变,则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论,不必证明)
9.(2008•宣武区二模)在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.
(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:
AB+AD=AC.
(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并给予证明.
2014年5月无名谷的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共9小题)
1.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB上一点,作DE⊥BC于E,若BE=AC,BD=
,DE+BC=1,求:
∠ABC的度数.
考点:
全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
延长BC到F,使CF=DE,连接AF,利用边角边定理求证△BDE≌△AFC,然后证明出∠BAF=90°,即可求得∠ABC的度数.
解答:
解:
延长BC到F,使CF=DE,连接AF(如图)
∵DE+BC=1,
∴BF=BC+CF=BC+DE=1
∵BE=AC,∠DEB=∠ACF=90°,DE=CF,
∴△BDE≌△AFC(SAS),
∵BD=
,
∴AF=BD=
,∠B=∠1,
∴AF=
BF,
∵∠B+∠2=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠ABC=30°.
点评:
此题对初二学生来说是个难题,因学生在作辅助线时大多数是延长某一线段或作某线段的平行线等,像这种:
延长BC到F,使CF=DE,学生一般考虑不到,因此是一道难题.
2.如图1,已知AM∥BN,AC平分∠MAB,BC平分∠NBA.
(1)过点C作直线DE,分别交AM、BN于点D、E.求证:
AB=AD+BE;
(2)如图2,若将直线DE绕点C转动,使DE与AM交于点D,与NB的延长线交于点E,则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系?
请你给出结论并加以证明.
考点:
全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
(1)如图1,延长AC交BE于Q,构建等腰△ABQ,则AB=BQ,根据等腰三角形性质求出AC=CQ,然后由平行线分线段成比例推知AD=EQ,即可得出答案.
(2)如图2,延长AC交BE于Q,证法同
(1),结论是AD=BE+AB.
解答:
(1)证明:
如图1,延长AC交BE于Q,
∵AC平分∠MAB,
∴∠1=∠2,
∵AM∥BN,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AB=BQ,
∵BC平分∠ABQ,
∴AC=CQ.
∵AM∥BN,
∴
=
=1,
∴AD=EQ,
∴AD+BE=AB;
(2)AD=BE+AB.理由如下:
如图2,延长AC交BE于Q,
∵AC平分∠MAB,
∴∠1=∠2,
∵AM∥BN,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AB=BQ,
∵BC平分∠ABQ,
∴AC=CQ.
∵AM∥BN,
∴
=
=1,
∴AD=EQ,
∴EQ=BE+BQ=BE+AB,即
∴AD=BE+AB.
点评:
本题考查了平行线等分线段定理,平行线性质,等腰三角形的性质等知识点的应用,主要考查学生的推理能力.
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=3,将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E,求△ADE的面积.
考点:
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分析:
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G,过E作EF⊥AD交AD的延长线于F,得出平行四边形ABCG推出AG=BC=3,求出DG=1,证△DEF≌△CDG,推出GD=EF=1,根据三角形面积公式求出即可.
解答:
解:
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G,过E作EF⊥AD交AD的延长线于F,
则∠F=∠CGD=90°,
∵∠B=90°,
∴AB∥CG,
∵AD∥BC,
∴四边形ABCG是平行四边形,
∴AG=BC=3,
∴DG=3﹣2=1,
∵将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E,
∴DE=DC,∠EDC=90°,
∴∠EDF+∠CDG=90°,∠GDC+∠GCD=90°,
∴∠EDF=∠DCG,
在△DEF和△CDG中
∴△DEF≌△CDG(AAS),
∴GD=EF=1,
∴△ADE的面积是
×AD×EF=
×2×1=1.
点评:
本题考查了直角梯形,平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理的综合运用.
4.△ABC中,∠CAB=∠CBA=50°,O为△ABC内一点,∠OAB=10°,∠OBC=20°,求∠OCA的度数.
考点:
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分析:
作CD⊥AB于D,延长BO交CD于P,连接PA,求出∠PCA=∠POA,∠CAP=∠OAP,已知利用AAS可判定∠CAP≌△OAP,从而推出AC=AO,根据三角形内角和定理即可求得∠ACO的度数即可.
解答:
解:
作CD⊥AB于D,延长BO交CD于P,连接PA,
∵∠CAB=∠CBA=50°,
∴AC=BC,
∴AD=BD,
∵∠CAB=∠CBA=50°,
∴∠ACB=80°,
∵∠ABC=∠ACB=50°,∠OBC=20°,
∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP,
∠PAO=∠CAB﹣∠CAP﹣∠OAB=50°﹣20°﹣10°=20°=∠CAP,
∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°﹣20°=40°=∠ACD,
∵在△CAP和△OAP中,
,
∴△CAP≌△OAP,
∴AC=OA,
∴∠ACO=∠AOC,
∴∠OCA=
(180°﹣∠CAO),=
[180°﹣(∠CAB﹣∠OAB)=
(180°﹣40°)=70°.
点评:
此题主要考查等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理的综合运用.
5.已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F.
(1)如图1,求证:
△ACE≌△DCB.
(2)如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB= 120° ;如图2,若∠ACD=90°,则∠AFB= 90° ;
(3)如图3,若∠ACD=β,则∠AFB= 180°﹣β (用含β的式子表示)并说明理由.
考点:
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分析:
(1)求出∠ACE=∠DCB,根据SAS证出两三角形全等即可;
(2)根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,求出∠EAB+∠DBA=∠ACD,∠AFB=180°﹣(∠EAB+∠DBC),代入求出即可;
(3)根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,求出∠EAB+∠DBA=∠ACD,∠AFB=180°﹣(∠EAB+∠DBC),代入求出即可.
解答:
(1)证明:
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
∴∠ACE=∠DCB,
在△ACE和△DCB中
∵
,
∴△ACE≌△DCB;
(2)解:
∵∠ACD=60°,
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°,
∵△ACE≌△DCB,
∴∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,
∴∠CAE+∠DBC=60°,
∴∠AFB=180°﹣60°=120°;
当∠ACD=90°时,
∵∠ACD=90°,
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°,
∵△ACE≌△DCB,
∴∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,
∴∠CAE+∠DBC=90°,
∴∠AFB=180°﹣90°=90°;
故答案为:
120°,90°;
(3)解:
当∠ACD=β时,∠AFB=180°﹣β,理由是:
∵∠ACD=β,
∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β,
∵△ACE≌△DCB,
∴∠AEC=∠DBC,∠CDB=∠CAE,
∴∠CAE+∠DBC=β,
∴∠AFB=180°﹣(∠CAE+∠DBC)=180°﹣β;
故答案为:
180°﹣β.
点评:
本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的外角性质,三角形的内角和定理,解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系.
6.如图所示:
AM∥DN,AE、DE分别平分∠MAD和∠AND,并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.
(1)如图,当点B、C分别位于点AD的同侧时,猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系:
AD=AB+CD .
(2)试证明你的猜想.
(3)若点B、C分别位于点AD的两侧时,试写出AD、AB、CD之间的关系,并选择一个写出证明过程.
考点:
全等三角形的判定与性质;角平分线的定义;平行线的性质.菁优网版权所有
专题:
证明题;开放型.
分析:
(1)从图中可猜测AD=AB+CD.
(2)通过添加辅助线EF,构建全等三角形,根据全等三角形的性质判定△ABE≌△AFE,进而证明AD=AB+CD.
(3)当点B位于点A左侧,点C位于点D右侧时,DC=AD+AB;当点B位于点A右侧,点C位于点D左侧时,AB=AD+CD.
解答:
解:
(1)AD=AB+CD;
(2)证明:
在AD上截取AF=AB,连接EF.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE和△AFE中,
AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,
∴△ABE≌△AFE,
∴∠ABC=∠AFE.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
又∵∠AFE+∠DFE=180°,
∴∠DFE=∠BCD.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE.
在△FDE和△CDE中,
∠DFE=∠DCE,∠ADE=∠CDE,DE=DE,
∴△FDE≌△CDE,
∴DF=CD,
∴AF+DF=AB+CD.
即AD=AB+CD;
(3)证明:
第一种情况:
当点B位于点A左侧,点C位于点D右侧时,DC=AD+AB.
在CD上截取DF=AD,连接EF.
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE
在△ADE和△FDE中,
DA=DF,∠ADE=∠CDE,DE=DE,
∴△ADE≌△FDE.
∴EA=EF,∠DAE=∠DFE.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠EAM,
∴∠DFE=∠EAM,
又∵∠BAE+∠EAM=180°,∠DFE+∠CFE=180°,
∴∠BAE=∠CFE.
∵AM∥DN,
∴∠ABC=∠BCD.
在△BAE和△CFE中,
∠BAE=∠CFE,∠ABC=∠BCD,EA=EF,
∴△BAE≌△CFE,
∴AB=FC.
∵DC=DF+FC,
∴DC=AD+AB;
第二种情况:
当点B位于点A右侧,点C位于点D左侧时,AB=AD+CD.
在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
在△ADE和△AEF中,
AF=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE,
∴△AEF≌△AED,
∴EF=ED,
∴∠AFE=∠ADE.
∵DE平分∠ADN,
∴∠ADE=∠EDN,
∴∠AFE=∠EDN,
又∵∠AFE+∠BFE=180°,∠EDN+∠EDC=180°,
∴∠BFE=∠EDC.
∵AM∥DN,
∴∠ABC=∠BCD.
在△BEF和△CED中,
∠BFE=∠EDC,∠ABC=∠BCD,DE=EF,
∴△BFE≌△CDE,
∴CD=BF.
∵AB=AF+FB,
∴AB=AD+CD.
点评:
本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质、平行线的性质,关键是添加好辅助线,构建好对应全等三角形,使问题得以解决.
7.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
求证:
PA=PC.
考点:
全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N,使AM=AE,CN=CF,可得PN=PM,则易证四边形EMFN是平行四边形,则可得ME=FN,∠EMA=∠CNF,即可证得△EAM≌△FCN,则可得PA=PC.
解答:
证明:
在PA和PC的延长线上分别取点M、N,使AM=AE,CN=CF.
∵AP+AE=CP+CF,
∴PM=PN.
∵PE=PF,
∴四边形EMFN是平行四边形.
∴ME=FN,∠EMA=∠CNF.
又∵∠AME=∠AEM,∠CNF=∠CFN,
∴△EAM≌△FCN.
∴AM=CN.
∵PM=PN,
∴PA=PC.
点评:
此题考查了全等三角形的判定与性质等知识.此题图形比较复杂,难度适中,解题的关键是数形结合思想的应用.
8.把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN,交边AC、BC于M、N.
(1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系?
证明你的结论;
(2)当∠ACD+∠MDN=90°时,AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系?
证明你的结论;
(3)如图③,在
(2)的结论下,若将M、N分改在CA、BC的延长上,完成图3,其余条件不变,则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论,不必证明)
考点:
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专题:
证明题;几何综合题.
分析:
(1)延长CB到E,使BE=AM,证△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,证△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可;
(2)延长CB到E,使BE=AM,证△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,证△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可;
(3)在CB截取BE=AM,连接DE,证△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,证△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可.
解答:
(1)AM+BN=MN,
证明:
延长CB到E,使BE=AM,
∵∠A=∠CBD=90°,
∴∠A=∠EBD=90°,
在△DAM和△DBE中
,
∴△DAM≌△DBE,
∴∠BDE=∠MDA,DM=DE,
∵∠MDN=∠ADC=60°,
∴∠ADM=∠NDC,
∴∠BDE=∠NDC,
∴∠MDN=∠NDE,
在△MDN和△EDN中
,
∴△MDN≌△EDN,
∴MN=NE,
∵NE=BE+BN=AM+BN,
∴AM+BN=MN.
(2)AM+BN=MN,
证明:
延长CB到E,使BE=AM,连接DE,
∵∠A=∠CBD=90°,
∴∠A=∠DBE=90°,
∵∠CDA+∠ACD=90°,∠MDN+∠ACD=90°,
∴∠MDN=∠CDA,
∵∠MDN=∠BDC,
∴∠MDA=∠CDN,∠CDM=∠NDB,
在△DAM和△DBE中
,
∴△DAM≌△DBE,
∴∠BDE=∠MDA=∠CDN,DM=DE,
∵∠MDN+∠ACD=90°,∠ACD+∠ADC=90°,
∴∠NDM=∠ADC=∠CDB,
∴∠ADM=∠CDN=∠BDE,
∵∠CDM=∠NDB
∴∠MDN=∠NDE,
在△MDN和△EDN中
,
∴△MDN≌△EDN,
∴MN=NE,
∵NE=BE+BN=AM+BN,
∴AM+BN=MN.
(3)BN﹣AM=MN,
证明:
在CB截取BE=AM,连接DE,
∵∠CDA+∠ACD=90°,∠MDN+∠ACD=90°,
∴∠MDN=∠CDA,
∵∠ADN=∠ADN,
∴∠MDA=∠CDN,
∵∠B=∠CAD=90°,
∴∠B=∠DAM=90°,
在△DAM和△DBE中
,
∴△DAM≌△DBE,
∴∠BDE=∠ADM=∠CDN,DM=DE,
∵∠ADC=∠BDC=∠MDN,
∴∠MDN=∠EDN,
在△MDN和△EDN中
,
∴△MDN≌△EDN,
∴MN=NE,
∵NE=BN﹣BE=BN﹣AM,
∴BN﹣AM=MN.
点评:
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生运用性质进行推理的能力,运用了类比推理的方法,题目比较典型,但有一定的难度.
9.(2008•宣武区二模)在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.
(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:
AB+AD=AC.
(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并给予证明.
考点:
全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
(1)由AC平分∠DAB,∠DAB=120°,可得∠CAB=∠CAD=60°,又由∠B=∠D=90°,即可得∠ACB=∠ACD=30°,根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可得AB+AD=AC;
(2)首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F,由AC平分∠DAB,可得CE=CF,又由∠B与∠D互补,可证得△CED≌△CFB,则可得AD+AB=AE+AF,又由AE+AF=AC,则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC;
(3)首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段,垂足分别是E、F,与
(2)同理可得△CEB≌△CFD,则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°,即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=
AC.
解答:
证明:
(1)在四边形ABCD中,
∵AC平分∠DAB,∠DAB=120°,
∴∠CAB=∠CAD=60°.
又∵∠B=∠D=90°,
∴∠ACB=∠ACD=30°.
∴AB=AD=
AC,
即AB+AD=AC.
(2)AB+AD=AC.
证明如下:
如图②,过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F.
∵AC平分∠DAB,
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠D=180°,
∠ABC+∠CBF=180°,
∴∠CBF=∠D.
又∵∠CED=∠CFB=90°,
∴△CED≌△CFB.
∴ED=BF.
∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF.
∵AC为角平分线,∠DAB=120°,
∴∠ECA=∠FCA=30°,
∴AE=AF=
AC,
∴AE+AF=AC,
∴AB+AD=AE+AF=AC.
∴AB+AD=AC.
(3)AB+AD=
AC.
证明如下:
如图③,过C点分别作AB和AD延长线的垂线段,垂足分别是E、F.
∵AC平分∠DAB,
∵CE⊥AD,CF⊥AF,
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠EDC.
又∵∠CED=∠CFB=90°.
∴△CFB≌△CED(AAS).
∴CB=CD.
延长AB至G,使BG=AD,连接CG.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBG=180°,
∴∠CBG=∠ADC.
∴△GBC≌△ADC(SAS).
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°.
∴∠ACG=90°.
∴AG=
AC.
∴AB+AD=
AC.
点评:
此题考查了全等三角形的判定与性质,四边形的性质,直角三角形的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是数形结合思想的应用.