无名谷的初中数学组卷.docx

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无名谷的初中数学组卷

2014年5月无名谷的初中数学组卷

一．解答题（共9小题）

1．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=

，DE+BC=1，求：

∠ABC的度数．

2．如图1，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．

（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E．求证：

AB=AD+BE；

（2）如图2，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？

请你给出结论并加以证明．

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=3，将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E，求△ADE的面积．

4．△ABC中，∠CAB=∠CBA=50°，O为△ABC内一点，∠OAB=10°，∠OBC=20°，求∠OCA的度数．

5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．

（1）如图1，求证：

△ACE≌△DCB．

（2）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　_________　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　_________　；

（3）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=　_________　（用含β的式子表示）并说明理由．

6．如图所示：

AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点．过点E的直线分别交AM、DN于B、C．

（1）如图，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：

　_________　．

（2）试证明你的猜想．

（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程．

7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．

求证：

PA=PC．

8．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？

证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？

证明你的结论；

（3）如图③，在

（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

9．（2008•宣武区二模）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：

AB+AD=AC．

（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明．

2014年5月无名谷的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共9小题）

1．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=

，DE+BC=1，求：

∠ABC的度数．

考点：

专题：

计算题．

分析：

延长BC到F，使CF=DE，连接AF，利用边角边定理求证△BDE≌△AFC，然后证明出∠BAF=90°，即可求得∠ABC的度数．

解答：

解：

延长BC到F，使CF=DE，连接AF（如图）

∵DE+BC=1，

∴BF=BC+CF=BC+DE=1

∵BE=AC，∠DEB=∠ACF=90°，DE=CF，

∴△BDE≌△AFC（SAS），

∵BD=

，

∴AF=BD=

，∠B=∠1，

∴AF=

BF，

∵∠B+∠2=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠ABC=30°．

点评：

此题对初二学生来说是个难题，因学生在作辅助线时大多数是延长某一线段或作某线段的平行线等，像这种：

延长BC到F，使CF=DE，学生一般考虑不到，因此是一道难题．

2．如图1，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．

（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E．求证：

AB=AD+BE；

（2）如图2，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？

请你给出结论并加以证明．

考点：

分析：

（1）如图1，延长AC交BE于Q，构建等腰△ABQ，则AB=BQ，根据等腰三角形性质求出AC=CQ，然后由平行线分线段成比例推知AD=EQ，即可得出答案．

（2）如图2，延长AC交BE于Q，证法同

（1），结论是AD=BE+AB．

解答：

（1）证明：

如图1，延长AC交BE于Q，

∵AC平分∠MAB，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=BQ，

∵BC平分∠ABQ，

∴AC=CQ．

∵AM∥BN，

∴

=1，

∴AD=EQ，

∴AD+BE=AB；

（2）AD=BE+AB．理由如下：

如图2，延长AC交BE于Q，

∵AC平分∠MAB，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=BQ，

∵BC平分∠ABQ，

∴AC=CQ．

∵AM∥BN，

∴

=1，

∴AD=EQ，

∴EQ=BE+BQ=BE+AB，即

∴AD=BE+AB．

点评：

本题考查了平行线等分线段定理，平行线性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=3，将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E，求△ADE的面积．

考点：

分析：

过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，过E作EF⊥AD交AD的延长线于F，得出平行四边形ABCG推出AG=BC=3，求出DG=1，证△DEF≌△CDG，推出GD=EF=1，根据三角形面积公式求出即可．

解答：

解：

过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，过E作EF⊥AD交AD的延长线于F，

则∠F=∠CGD=90°，

∵∠B=90°，

∴AB∥CG，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCG是平行四边形，

∴AG=BC=3，

∴DG=3﹣2=1，

∵将DC绕点D逆时针旋转90°得到点E，

∴DE=DC，∠EDC=90°，

∴∠EDF+∠CDG=90°，∠GDC+∠GCD=90°，

∴∠EDF=∠DCG，

在△DEF和△CDG中

∴△DEF≌△CDG（AAS），

∴GD=EF=1，

∴△ADE的面积是

×AD×EF=

×2×1=1．

点评：

本题考查了直角梯形，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用．

4．△ABC中，∠CAB=∠CBA=50°，O为△ABC内一点，∠OAB=10°，∠OBC=20°，求∠OCA的度数．

考点：

分析：

作CD⊥AB于D，延长BO交CD于P，连接PA，求出∠PCA=∠POA，∠CAP=∠OAP，已知利用AAS可判定∠CAP≌△OAP，从而推出AC=AO，根据三角形内角和定理即可求得∠ACO的度数即可．

解答：

解：

作CD⊥AB于D，延长BO交CD于P，连接PA，

∵∠CAB=∠CBA=50°，

∴AC=BC，

∴AD=BD，

∵∠CAB=∠CBA=50°，

∴∠ACB=80°，

∵∠ABC=∠ACB=50°，∠OBC=20°，

∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP，

∠PAO=∠CAB﹣∠CAP﹣∠OAB=50°﹣20°﹣10°=20°=∠CAP，

∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°﹣20°=40°=∠ACD，

∵在△CAP和△OAP中，

，

∴△CAP≌△OAP，

∴AC=OA，

∴∠ACO=∠AOC，

∴∠OCA=

（180°﹣∠CAO），=

[180°﹣（∠CAB﹣∠OAB）=

（180°﹣40°）=70°．

点评：

此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理的综合运用．

5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．

（1）如图1，求证：

△ACE≌△DCB．

（2）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　120°　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　90°　；

（3）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=　180°﹣β　（用含β的式子表示）并说明理由．

考点：

分析：

（1）求出∠ACE=∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；

（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；

（3）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可．

解答：

（1）证明：

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△DCB中

∵

，

∴△ACE≌△DCB；

（2）解：

∵∠ACD=60°，

∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，

∵△ACE≌△DCB，

∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，

∴∠CAE+∠DBC=60°，

∴∠AFB=180°﹣60°=120°；

当∠ACD=90°时，

∵∠ACD=90°，

∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°，

∵△ACE≌△DCB，

∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，

∴∠CAE+∠DBC=90°，

∴∠AFB=180°﹣90°=90°；

故答案为：

120°，90°；

（3）解：

当∠ACD=β时，∠AFB=180°﹣β，理由是：

∵∠ACD=β，

∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β，

∵△ACE≌△DCB，

∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，

∴∠CAE+∠DBC=β，

∴∠AFB=180°﹣（∠CAE+∠DBC）=180°﹣β；

故答案为：

180°﹣β．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系．

6．如图所示：

AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点．过点E的直线分别交AM、DN于B、C．

（1）如图，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：

　AD=AB+CD　．

（2）试证明你的猜想．

（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程．

考点：

专题：

证明题；开放型．

分析：

（1）从图中可猜测AD=AB+CD．

（2）通过添加辅助线EF，构建全等三角形，根据全等三角形的性质判定△ABE≌△AFE，进而证明AD=AB+CD．

（3）当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB；当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD．

解答：

解：

（1）AD=AB+CD；

（2）证明：

在AD上截取AF=AB，连接EF．

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠FAE．

在△ABE和△AFE中，

AB=AF，∠BAE=∠FAE，AE=AE，

∴△ABE≌△AFE，

∴∠ABC=∠AFE．

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

又∵∠AFE+∠DFE=180°，

∴∠DFE=∠BCD．

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE．

在△FDE和△CDE中，

∠DFE=∠DCE，∠ADE=∠CDE，DE=DE，

∴△FDE≌△CDE，

∴DF=CD，

∴AF+DF=AB+CD．

即AD=AB+CD；

（3）证明：

第一种情况：

当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB．

在CD上截取DF=AD，连接EF．

∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠CDE

在△ADE和△FDE中，

DA=DF，∠ADE=∠CDE，DE=DE，

∴△ADE≌△FDE．

∴EA=EF，∠DAE=∠DFE．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠EAM，

∴∠DFE=∠EAM，

又∵∠BAE+∠EAM=180°，∠DFE+∠CFE=180°，

∴∠BAE=∠CFE．

∵AM∥DN，

∴∠ABC=∠BCD．

在△BAE和△CFE中，

∠BAE=∠CFE，∠ABC=∠BCD，EA=EF，

∴△BAE≌△CFE，

∴AB=FC．

∵DC=DF+FC，

∴DC=AD+AB；

第二种情况：

当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD．

在AB上截取AF=AD，连接EF．

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE．

在△ADE和△AEF中，

AF=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，

∴△AEF≌△AED，

∴EF=ED，

∴∠AFE=∠ADE．

∵DE平分∠ADN，

∴∠ADE=∠EDN，

∴∠AFE=∠EDN，

又∵∠AFE+∠BFE=180°，∠EDN+∠EDC=180°，

∴∠BFE=∠EDC．

∵AM∥DN，

∴∠ABC=∠BCD．

在△BEF和△CED中，

∠BFE=∠EDC，∠ABC=∠BCD，DE=EF，

∴△BFE≌△CDE，

∴CD=BF．

∵AB=AF+FB，

∴AB=AD+CD．

点评：

本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质、平行线的性质，关键是添加好辅助线，构建好对应全等三角形，使问题得以解决．

7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．

求证：

PA=PC．

考点：

专题：

证明题．

分析：

首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC．

解答：

证明：

在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．

∵AP+AE=CP+CF，

∴PM=PN．

∵PE=PF，

∴四边形EMFN是平行四边形．

∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．

又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，

∴△EAM≌△FCN．

∴AM=CN．

∵PM=PN，

∴PA=PC．

点评：

此题考查了全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．

8．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？

证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？

证明你的结论；

（3）如图③，在

（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

考点：

专题：

证明题；几何综合题．

分析：

（1）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；

（2）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；

（3）在CB截取BE=AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可．

解答：

（1）AM+BN=MN，

证明：

延长CB到E，使BE=AM，

∵∠A=∠CBD=90°，

∴∠A=∠EBD=90°，

在△DAM和△DBE中

，

∴△DAM≌△DBE，

∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，

∵∠MDN=∠ADC=60°，

∴∠ADM=∠NDC，

∴∠BDE=∠NDC，

∴∠MDN=∠NDE，

在△MDN和△EDN中

，

∴△MDN≌△EDN，

∴MN=NE，

∵NE=BE+BN=AM+BN，

∴AM+BN=MN．

（2）AM+BN=MN，

证明：

延长CB到E，使BE=AM，连接DE，

∵∠A=∠CBD=90°，

∴∠A=∠DBE=90°，

∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，

∴∠MDN=∠CDA，

∵∠MDN=∠BDC，

∴∠MDA=∠CDN，∠CDM=∠NDB，

在△DAM和△DBE中

，

∴△DAM≌△DBE，

∴∠BDE=∠MDA=∠CDN，DM=DE，

∵∠MDN+∠ACD=90°，∠ACD+∠ADC=90°，

∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，

∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，

∵∠CDM=∠NDB

∴∠MDN=∠NDE，

在△MDN和△EDN中

，

∴△MDN≌△EDN，

∴MN=NE，

∵NE=BE+BN=AM+BN，

∴AM+BN=MN．

（3）BN﹣AM=MN，

证明：

在CB截取BE=AM，连接DE，

∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，

∴∠MDN=∠CDA，

∵∠ADN=∠ADN，

∴∠MDA=∠CDN，

∵∠B=∠CAD=90°，

∴∠B=∠DAM=90°，

在△DAM和△DBE中

，

∴△DAM≌△DBE，

∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE，

∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，

∴∠MDN=∠EDN，

在△MDN和△EDN中

，

∴△MDN≌△EDN，

∴MN=NE，

∵NE=BN﹣BE=BN﹣AM，

∴BN﹣AM=MN．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．

9．（2008•宣武区二模）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：

AB+AD=AC．

（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明．

考点：

分析：

（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；

（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC；

（3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与

（2）同理可得△CEB≌△CFD，则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=

AC．

解答：

证明：

（1）在四边形ABCD中，

∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，

∴∠CAB=∠CAD=60°．

又∵∠B=∠D=90°，

∴∠ACB=∠ACD=30°．

∴AB=AD=

AC，

即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．

证明如下：

如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．

∵AC平分∠DAB，

∴CE=CF．

∵∠ABC+∠D=180°，

∠ABC+∠CBF=180°，

∴∠CBF=∠D．

又∵∠CED=∠CFB=90°，

∴△CED≌△CFB．

∴ED=BF．

∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．

∵AC为角平分线，∠DAB=120°，

∴∠ECA=∠FCA=30°，

∴AE=AF=

AC，

∴AE+AF=AC，

∴AB+AD=AE+AF=AC．

∴AB+AD=AC．

（3）AB+AD=

AC．

证明如下：

如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．

∵AC平分∠DAB，

∵CE⊥AD，CF⊥AF，

∴CE=CF．

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∠ADC+∠EDC=180°，

∴∠ABC=∠EDC．

又∵∠CED=∠CFB=90°．

∴△CFB≌△CED（AAS）．

∴CB=CD．

延长AB至G，使BG=AD，连接CG．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，

∴∠CBG=∠ADC．

∴△GBC≌△ADC（SAS）．

∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．

∴∠ACG=90°．

∴AG=

AC．

∴AB+AD=

AC．

点评：

此题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．

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