初中数学组卷.docx

初中数学组卷.docx

《初中数学组卷.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学组卷.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初中数学组卷

绝密★启用前

2018年初中数学组卷

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

题号

一

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一．解答题（共50小题）

1．

（1）已知：

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：

∠PAC+∠PBC=　　°（直接写出结论，不需证明）．

（2）已知：

如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，

（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．

2．已知：

点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB=OC．

（1）如图，若点O在边BC上，求证：

AB=AC；

（2）如图，若点O在△ABC的内部，则

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）若点O在△ABC的外部，则

（1）的结论还成立吗？

请画图表示．

3．如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4．求这个三角形各边的长．

4．某课外数学学习小组碰到这样一个问题：

已知等腰三角形两边长分别为3和5，求其周长．经过思考后，同学甲发言：

我认为这个等腰三角形的周长等于p，乙同学发言：

我认为这个等腰三等形的周长等于11．

（I）你的意见如何？

为什么？

（2）已知等腰三角形边长为3和6，求周长；

（3）通过对以上问题进行探究，你能得到一般规律吗？

5．如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分别为AB、BD中点．

（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系？

请证明你的结论；

（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系，并说明理由．

6．如图

（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．

（1）直接写出∠ABC的度数；

（2）如图

（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线．

①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；

②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？

如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．

（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：

①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．

（2）在

（1）作出点P后，在x轴的正半轴上求一点M，使△POM是等腰三角形．

8．如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰△AOB顶点A的坐标是（2，1），AO=AB．

（1）求点B的坐标．

（2）过点B作BC⊥OA，交OA的延长线于点C，一等腰直角三角尺如图2摆放，它的直角顶点为D，一条直角边与AB边重合，另一条直角边恰好过点O．

①请你通过观察，猜想OD与BC满足的数量关系，并证明你的猜想．

②当三角尺沿AB方向平移到图3所示的位置时，一条直角边仍与AB重合，另一条直角边交OB于点E，过E点作EF⊥OA于点F．请你猜想并证明EF，ED与BC之间满足的数量关系．

9．下面两题任选一题

（1）求证：

三角形一边上的中线小于另外两边之和的一半．

（2）求证：

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和是一个定值．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．

求证：

EC∥AB．

11．如图，在△ABC中，∠A=90°，△DCB为等腰三角形，D是AB边上一点，过BC上一点P，PE⊥AB，垂足为点E，PF⊥CD，垂足为点F，已知AD：

DB=1：

3，BC=

，求PE+PF的长．

12．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．

（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；

（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；

（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

13．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：

AE是△ABC的一条特异线；

（2）如图2，若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．

14．如图

（1），Rt△AOB中，

，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．

（1）求OC、BC的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图

（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？

求出所有满足条件的t值．

15．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（D在BC边上），BE⊥AC，垂足为点E，M为AB的中点，联结ME、MD、ED．

（1）当点AC边上时（如图），容易证明∠EMD=2∠DAC；当点E在CA的延长线上，请在图中画出相应的图形，并说明“∠EMD=2∠DAC”是否还成立？

若成立，请证明：

若不成立，请说明理由；

（2）如果△MDE为正三角形，BD=4，且AE=1，求△MDE的周长．

16．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求C点的坐标；

（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．

17．已知

，求边长为a，b的等腰三角形的周长．

18．如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30°，∠DBC=60°，已知轮船的航行速度为24海里/时，求AD的长度．

19．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

20．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的大小．

21．如果定义：

“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：

如图1所示，若PC=PB，则称点P为△ABC的准外心．

（1）观察并思考，△ABC的准外心有　　个．

（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD=

，在图中画出点P点，求∠APB的度数．

（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求PA的长．

22．在△ABC中，已知AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数．

23．运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．

（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：

h1+h2=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是　　；（直接写出结论不必证明）

（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：

y=

x+3、l2：

y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用

（1）、

（2）的结论求出点M的坐标．

24．已知：

在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；

（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明；

（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．

25．如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC的中点，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

求证：

DE=DF．

证明：

∵AB=AC，∴∠B=∠C①．

在△BDE和△CDF中，∠B=∠C，∠BED=∠CFD，BD=CD，∴△BDE≌△CDF②．∴DE=DF③．

上面的证明过程是否正确？

若正确，请写出①、②和③的推理根据．

（2）请你写出另一种证明此题的方法．

26．把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？

说明理由．

27．点P是△ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC=

∠A，BP、CP的延长线交AC、AB于D、E，求证：

BE=CD．

28．如图，△ABC中，AC=5，BC=10，BC上的高为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，设运动的时间为t秒；

（1）是否存在某一时刻使得MN垂直平分AC？

若存在，请求出t；若不存在，说明理由．

（2）直接写出t为何值时，△MNC为等腰三角形？

29．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6cm，∠OMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm2）．

（1）求等边△ABC的边长；

（2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？

若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．

30．如图，点B，E关于y轴对称，且E在AC的垂直平分线上，一直点C（5，0）．

（1）如果∠BAE=40°，那么∠C=　　°；

（2）如果△ABC的周长为16cm，AC=6cm，那么△ABE的周长=　　cm；

（3）AB+BO=　　．

31．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD和AE，求∠D，∠DAE的度数．

32．如图所示，∠ABC=90°，AB=BC，AE是角平分线，CD⊥AE于D，可得CD=

AE，请说明理由．

33．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，△ACB≌△DAC，则∠ABC=　　°；

（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长．

34．惠民中学八年级数学学习兴趣小组的同学对“如图，AD是△ABC的边BC上的高，添加一个条件使△ABC是等腰三角形”这一问题展开讨论：

添加∠BAD=∠CAD或BD=CD很容易说明△ABC是等腰三角形．也有同学提出：

添加①AB+BD=AC+CD或②AB﹣BD=AC﹣CD也能说明△ABC是等腰三角形．我添加的是　　（只能在①、②中选择一个）

证明：

35．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE，若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度数．

36．已知：

如图，∠ACB=90°，D、E是AB上的两点，且AE=AC，BD=BC，EF⊥CD于F，

求证：

CF=EF．

37．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，

①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．

②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

38．

（1）已知：

如图RT△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：

DA=DB=DC．

（2）利用上面小题的结论，继续研究：

如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？

请说明理由．

39．如图，△ABC中，∠ABC=42°，D是BC边上一点，DC=AB，且∠DAB=27°．

（1）△ABC是　　三角形；

（2）证明你的结论．

40．如图1，过△ABC顶点A作BC边上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定λA=

．特别地，当D、E重合时，规定λA=0．另外对λB、λC也作类似规定．

（1）①当△ABC中，AB=AC时，则λA=　　；②当△ABC中，λA=λB=0时，则△ABC的形状是　　；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=30°，求λA和λC的值；

（3）如图3，正方形网格中，格点△ABC的λA=　　；

（4）判断下列三种说法的正误（正确的打“√”错误的打“×”）

①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形　　；

②若△ABC中λA=1，则△ABC为直角三角形　　；

③若△ABC中λA＞1，则△ABC为钝角三角形　　；

（5）通过本题解答，同学们应该有这样的认识：

一个无论多么陌生、多么综合的问题，其实都来自于书本已学的基础知识．因此，我们今后应重视基础知识的学习；同时在解决问题时或者解决问题后，应该思考该问题的本质和目的：

①巩固哪些基础知识；②培养我们哪些方面能力；③向我们渗透哪些数学思想．本题之所以是一道综合题，就是因为涉及到的知识点多、面广．下面就请你谈谈本题中所用到的、已学过的性质、定理、公理或判定等．（至少列举两条）

41．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）尺规作图：

作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．

求证：

EF=2DE．

42．在△ABC中，AB=AC，AC⊥BA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行．

（1）在图1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图2所示的位置时，请你通过观察、测量、猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在

（2）的基础上沿BC方向继续向右平移到图3所示的位置（点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与△ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合）时，

（2）中的猜想是否仍然成立？

（不用说明理由）

43．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60°，∠BCE=50°，求∠AED的度数．

44．

（1）如图，△ABC纸片中，∠A=36°，AB=AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度；

（2）已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是　　；（请画出示意图，并标明必要的角度）

（3）现将

（1）中的等腰三角形改为△ABC中，∠A=36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是　　．（直接写出答案）．

45．已知：

如图，△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，∠BDC=150°，求∠A的度数．

46．

（1）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：

DE=DF；

（2）由第一小问可以得到的结论是：

等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，提问如果：

DE、DF分别是AB、AC边上的中线或∠ADB、∠ADC的平分线，它们还相等吗？

（只写出结果，不用证明）

47．已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形．若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．

48．已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系为　　．

49．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：

①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D

小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？

说说你的理由；

（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率．

50．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：

顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题

（1）．

（1）已知：

如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：

△ABD与△DBC都是等腰三角形；

（2）在证明了该命题后，小乔发现：

下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；

（3）接着，小乔又发现：

其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：

要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）

（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．

2018年初中数学组卷

参考答案

一．解答题（共50小题）

1．180°；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．无数；22．；23．h1﹣h2=h；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．35；10；5；31．；32．；33．45；34．①或②；35．；36．；37．；38．；39．等腰；40．0；等边三角形；2；×；√；√；41．；42．；43．；44．45°或36°；72°、108°、90°、126°；45．；46．；47．；48．∠ABC=135°﹣

∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C，或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角；49．；50．；