复变函数习题三答案.docx
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复变函数习题三答案
复变函数习题三答案
【篇一：
《复变函数》考试试题与答案各种总结】
xt>一、判断题（20分）：
1.若f（z）在z0的某个邻域内可导，则函数f（z）在z0解析.（）2.有界整函数必在整个复平面为常数.（）3.若
{zn}
收敛，则
{rezn}{imzn}
与
都收敛.（）
4.若f（z）在区域d内解析，且
f（z）?
0，则f（z）?
c（常数）.（）
5.若函数f（z）在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（）6.若z0是f（z）的m阶零点，则z0是1/f（z）的m阶极点.（）7.若
z?
z0
limf（z）
存在且有限，则z0是函数f（z）的可去奇点.（）
8.若函数f（z）在是区域d内的单叶函数，则f（z）?
0（?
z?
d）.（）9.若f（z）在区域d内解析,则对d内任一简单闭曲线c
?
c
f（z）dz?
0.
（）
10.若函数f（z）在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f（z）在区域d内恒等于常数.（）二.填空题（20分）
dz
?
__________.（n为自然数）
1、?
|z?
z0|?
1（z?
z）n
22sinz?
cosz?
_________.2.
3.函数sinz的周期为___________.
f（z）?
4.设
?
1
z2?
1，则f（z）的孤立奇点有__________.
n
5.幂级数
?
nz
n?
0
的收敛半径为__________.
6.若函数f（z）在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若n?
?
limzn?
?
z1?
z2?
...?
zn
?
n?
?
n，则______________.
lim
ez
res（n,0）?
z8.________，其中n为自然数.
sinz9.的孤立奇点为________.
z
limf（z）?
___zf（z）的极点，则z?
z0
10.若0是.
三.计算题（40分）：
1.设
1
f（z）?
（z?
1）（z?
2），求f（z）在d?
{z:
0?
|z|?
1}内的罗朗展式.
1
dz.?
|z|?
1cosz2.
3?
2?
7?
?
1
f（z）?
?
d?
c?
?
z3.设，其中c?
{z:
|z|?
3}，试求f（1?
i）.
w?
4.求复数
z?
1
z?
1的实部与虚部.
四.证明题.（20分）1.函数为常数.2.试证
:
f（z）?
f（z）在区域d内解析.证明：
如果|f（z）|在d内为常数，那么它在d内
在割去线段0?
rez?
1的z平面内能分出两个单值解析分支,
并求出支割线0?
rez?
1上岸取正值的那支在z?
?
1的值.
《复变函数》考试试题
（一）参考答案
一．判断题
?
2?
in?
11.?
；2.1；3.2k?
，（k?
z）；4.z?
?
i；5.1
0n?
1?
6.整函数；7.?
；8.三．计算题.
1.解因为0?
z?
1,所以0?
z?
1
?
1?
zn111n
?
?
z?
?
（）.f（z）?
?
?
2n?
02（z?
1）（z?
2）1?
z2（1?
）n?
0
2
1
；9.0；10.?
.
（n?
1）!
2.解因为
z?
resf（z）?
lim
z?
?
2
?
2
z?
?
2
?
lim1?
?
1,coszz?
?
?
sinzz?
?
2
resf（z）?
lim
z?
?
?
2
z?
?
?
2
?
lim1?
1.coszz?
?
?
?
sinz
所以
1
sf（z）?
resf（z）?
0.z?
2cosz?
2?
i（re?
?
z?
?
z?
2
2
2
3.解令?
（?
）?
3?
?
7?
?
1,则它在z平面解析,由柯西公式有在z?
3内,
f（z）?
?
（?
）
?
c?
?
z?
2?
i?
（z）.
所以f?
（1?
i）?
2?
i?
?
（z）z?
1?
i?
2?
i（13?
6i）?
2?
（?
6?
13i）.4.解令z?
a?
bi,则w?
z?
122a（?
1?
bi）2a（?
1）b2
.2?
1?
1?
122222
z?
1z?
1（a?
1）?
b（a?
1）?
ba（?
1）?
bz?
12（a?
1）z?
12b
.）?
1?
im（）?
z?
1（a?
1）2?
b2z?
1（a?
1）2?
b2
故re（
四.证明题.
1.证明设在d内f（z）?
c.令f（z）?
u?
iv,
则f（z）?
u2?
v2?
c2.
2
?
uux?
vvx?
0
两边分别对x,y求偏导数,得?
?
uuy?
vvy?
0
（1）
（2）
因为函数在d内解析,所以ux?
vy,uy?
?
vx.代入
（2）则上述方程组变为
?
uux?
vvx?
022
.消去ux得,（u?
v）vx?
0.?
?
vux?
uvx?
0
1）若u?
v?
0,则f（z）?
0为常数.
2）若vx?
0,由方程
（1）
（2）及c.?
r.方程有ux?
0,uy?
0,vy?
0.所以u?
c1,v?
c2.（c1,c2为常数）.
2
2
所以f（z）?
c1?
ic2为常数.2.
证明f（z）?
的支点为z?
0,1.于是割去线段0?
rez?
1的z平面内变点就
不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.
由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?
0,1时,只有z的幅角增加?
.所以
f（z）?
的幅角共增加
?
.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分2
?
i?
2支在上岸之幅角为0,因而此分支在z?
?
1的幅角为,
故f（?
1）?
?
.
2
《复变函数》考试试题
（二）
一.判断题.（20分）
1.若函数f（z）?
u（x,y）?
iv（x,y）在d内连续，则u（x,y）与v（x,y）都在d内连续.（）
2.cosz与sinz在复平面内有界.（）3.若函数f（z）在z0解析，则f（z）在z0连续.（）4.有界整函数必为常数.（）5.如z0是函数f（z）的本性奇点，则limf（z）一定不存在.（）
z?
z0
6.若函数f（z）在z0可导，则f（z）在z0解析.（）7.若f（z）在区域d内解析,则对d内任一简单闭曲线c?
f（z）dz?
0.
c
（）
8.若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛.（）9.若f（z）在区域d内解析，则|f（z）|也在d内解析.（）
111
10.存在一个在零点解析的函数f（z）使f（）?
0且f（）?
n?
1,2,....
n?
12n2n
（）
二.填空题.（20分）
1.设z?
?
i，则|z|?
__,argz?
__,?
__
z?
1?
i
2.设f（z）?
（x2?
2xy）?
i（1?
sin（x2?
y2）,?
z?
x?
iy?
c，则limf（z）?
________.
3.
dz
?
|z?
z0|?
1（z?
z0）n?
_________.（n为自然数）
4.幂级数?
nzn的收敛半径为__________.
n?
0
?
5.若z0是f（z）的m阶零点且m0，则z0是f（z）的_____零点.6.函数ez的周期为__________.
7.方程2z5?
z3?
3z?
8?
0在单位圆内的零点个数为________.8.设f（z）?
1
，则f（z）的孤立奇点有_________.2
1?
z
9.函数f（z）?
|z|的不解析点之集为________.
z?
1
10.res（,1）?
____.4
z
三.计算题.（40分）
3
sin（2z）的幂级数展开式.1.求函数
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数
z
在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z
?
i处的值.
?
?
|z|dz，积分路径为
（1）单位圆（|z|?
1）
?
ii
3.计算积分：
i
的右半圆.
4.求
sinz
z?
2
（z?
）2
2
dz
.
四.证明题.（20分）
1.设函数f（z）在区域d内解析，试证：
f（z）在d内为常数的充要条件是f（z）在d内解析.
2.试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题
（二）参考答案
一.判断题.
【篇二：
复变函数习题详解习题三】
p>1.沿下列路线计算积分?
3?
i0
z2dz
。
（1）自原点到3?
i的直线段
（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至3?
i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向右至3?
i。
?
x?
3t,?
解
（1）?
y?
t,0?
t?
1，故z?
3t?
it，
0于是
?
3?
1
zdz?
2
?
0?
3t?
it?
?
3?
i?
dt
312
1
2
?
?
3?
i?
?
tdt
1113
?
（3?
i）3t3|?
?
3?
i?
?
033
（2）?
3?
i
z2dz?
?
3?
i
?
x?
3t,
?
z2dz?
?
c1z2dz?
?
c2z2dzc
。
1之参数方程为?
y?
t,?
0?
t?
1?
；c2之
?
x?
3,?
?
y?
t,?
0?
t?
1?
参数方程为
故
?
（3）?
3?
i
i
3?
i
z2dz?
?
9t2?
3dt?
?
?
3?
it?
?
idt?
6?
2
3?
i
11
26i3。
z2dz?
?
z2dt?
?
i
z2dz?
?
c3z2dz?
?
c4z2dz
。
c3:
z?
it?
0?
t?
1?
；c4:
z?
3t?
i?
0?
t?
1?
，
1
2
故
?
3?
i
z2dz?
?
?
t2?
idt?
?
?
3t?
i?
?
3dt?
6?
1
26i3
?
x2?
iy?
dzy?
x?
y?
x2．分别沿与算出、积分0的值。
2
1?
i
解
（1）沿y?
x。
此时z?
t?
it?
0?
t?
1?
。
dz?
?
1?
i?
dt，于是
?
?
x
1?
i0
2
?
iydz?
?
t2?
it?
1?
i?
dt
?
1
?
?
115?
1i?
?
?
1?
i?
t2?
itdt?
?
1?
i?
?
?
?
?
?
?
i
066。
?
32?
?
?
?
22
（2）沿y?
x，此时z?
t?
it?
0?
t?
1?
。
dz?
?
1?
i2t?
dt，故
?
?
x
1?
i0
2
?
iydz?
?
t2?
it2?
1?
i2t?
dt
010
?
1
?
?
10
?
?
1?
i?
?
t2?
1?
i2t?
dt?
?
1?
i?
?
t2?
i2t3dt
?
?
15?
1i?
?
?
1?
i?
?
?
?
?
?
?
i
66。
?
32?
3.计算积分c
z，其中c是一条闭路，由直线段：
?
1?
x?
1，y?
0
x
?
x?
t,
?
[?
1,1]解区间的参数方程为?
y?
0,即z?
t?
?
1?
t?
1?
，从1到?
1的上半单位圆周的参
i?
数方程为z?
e?
0?
?
?
?
?
。
于是
c
zdz?
?
t?
i?
0t?
i?
0d?
t?
i?
0?
?
?
ei?
ei?
dei?
?
1
1?
?
?
ttdt?
?
idt?
?
i
?
1
1?
。
4．设f?
z?
在单连域d内解析，c为d内任何一条正向简单闭曲线，问
是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
c
c
re?
f?
z?
?
dz?
im?
f?
z?
?
dz?
0
解未必成立。
令f?
z?
?
z，c:
z?
1，则f?
z?
在全平面上解析，但是
i?
i?
cre?
f?
z?
?
dz?
?
reede
02?
2?
?
?
?
?
cos?
?
?
sin?
?
icos?
?
d?
?
?
i?
0
c
im?
f?
z?
?
dz?
?
imei?
dei?
02?
0
2?
?
?
?
?
sin?
?
?
sin?
?
icos?
?
d?
?
?
?
?
0
5.利用在单位圆上
?
1
z的性质及柯西积分公式说明
c
dz?
2?
i
，其中c表明单位圆周
z?
1,且沿正向积分。
证因在c上有
?
1
z，故
又由柯西积分公式有
c?
c
1dzz
于是
c
1
dz?
2?
iz
6．计算积分
c
?
2?
i
c
dzz
的值，其中c为正向圆周：
（1）z?
2；
（2）z?
4
2
解
（1）因在|z|?
2上有|z|?
2，z?
z?
|z|?
4，从而有
?
4
z，故有
dz?
c|z|
|z|?
2
2
?
2
dz?
4?
i|z|?
2z
?
16
z，故有
（2）因在c上有|z|?
4，z?
?
|z|?
16，从而有
2
dz?
c|z|
16|z|?
4
4
?
4
dz?
8?
i|z|?
4z
7．直接得到下列积分的结果，并说明理由。
3z?
5ez
dzdz2
（1）|z|?
1z?
2z?
4；
（2）|z|?
1cosz；
（3）|z|?
2
ez?
1dz
z
?
2
?
；（4）
|z|?
12
dz
z2?
1z3?
1
3z?
52
解
（1）因被积函数z?
2z?
4的奇点z?
?
1?
i均在|z|?
1的外部从而被积函数3z?
53z?
5
?
0
z2?
2z?
4在|z|?
1上解析，故由cauchy-gourssat定理，有|z|?
1z2?
2z?
4；
ez
（2）因被积函数cosz的奇点均在|z|=1的外部从而它在|z|?
1上解析，故
ez
|z|?
1coszdz?
0
ez2
（3）因被积函数ez?
1在全平面解析，故|z|?
2
?
?
zz2?
1
?
?
dz
=0。
111
|z|?
|z|?
23
2的外部从而它在2上解析，故（4）因被积函数z?
1z?
1的奇点在
1
|z|?
2
dz
（z2?
1）（z3?
1）=0
8．沿指定曲线的正向计算下列各积分。
（1）c
c
ez
dz
z?
2，c:
|z?
2|?
1
cos?
z
5
（2）z?
1dz
，c:
|z|?
r?
1
（3）
sinz?
?
?
?
z?
?
2?
?
2
c
dz
，c:
|z|?
2
dz
c:
|z|?
322c
2（4）（z?
1）（z?
4）
3z2?
7z?
1
dz3cz?
1（5），c:
|z?
i|?
1；
dz
22
（6）cz?
a，c:
|z?
a|?
a
?
a?
0?
cosz
dz?
（7）cz3，其中c?
c1?
c2，c1:
|z|?
2，c2:
|z|?
3；
ez
cz?
a3
（8），其中a为|a|?
1的任何复数，c:
|z|?
1；
e?
zsinz
dz,c:
|z?
i|?
2
（9
）cz2
（10）
c
3z?
2
dz4
z?
1，c:
|z?
?
1?
i?
|?
2
解
（1）由cauchy积分公式，c
ez
dz?
2?
iez
z?
2
z?
2
?
2?
e2i
?
5
i12；
cos?
z2?
i
?
cos?
z?
dz?
cz?
154!
（2）由高阶求导公式，
z?
1
?
?
（3）由高阶求导公式，
sinz
c
?
?
?
?
z?
?
2?
?
2
dz?
2?
i?
sinz?
z?
?
2
?
0
；
（4）因被积函数的奇点z?
?
i在c的内部，z?
?
2i在c的外部，故由复合闭路定
理及cauchy积分公式有：
c
dzdzdz
?
?
11
（z2?
1）（z2?
4）|z?
i|?
3（z2?
1）（z2?
4）|z?
i|?
3（z2?
1）（z2?
4）
=
1|z?
i|?
3
1
z?
iz2?
4dz?
z?
i
1|z?
i|?
3
1
z?
iz2?
4dz
z?
i
?
2?
i
1
（z?
i）（z2?
4）
?
2?
i
z?
i
1
（z?
i）（z2?
4）
z?
?
i
?
?
3
?
?
3
?
0
3z2?
7z?
1
（5）因被积函数
z?
13
的奇点z?
?
1在c:
|z?
i|?
1的外部从而它在|z?
i|?
1上解
3z2?
7z?
1
3
c
z?
1析，故由cauchy-gourssat定理，有
dz
=0。
?
（6）解1：
解2：
c
dz
?
22cz?
a
1
z?
adz?
2?
i1z?
az?
a
?
z?
a
i
a，
c
dz1?
?
z2?
a22a?
?
?
c
1
dz?
z?
a
c
1?
dz?
z?
a?
1
?
2?
i?
0?
?
?
i2aa
cosz
dz?
（7）cz3
cosz
?
c1z3
?
c2
cosz
dzz3
由复合闭路定理
coszcosz
dz?
c1z3czz3dz
coszcosz
dz?
c1z3c?
2z3?
0
即
x
cosz
dz?
0cz3
（8）当|a|?
1时，a在cez2?
izdz?
e?
?
eai3
2!
z?
az?
a
c
?
?
当|a|?
1时，a在c的外部，故由cauchy-gourssat定理得
ez
cz?
a3dz?
0；
（9）由cauchy积分公式得
e?
zsinz?
z
cz2?
2?
i（esinz）|z?
0?
2?
i
3z?
2
（10）被积函数z4?
1的奇点z?
1，i在c的内部而奇点z?
?
1，?
i在c的外部，作
圆周c1:
|z?
1|?
r和c2:
|z?
1|?
r且取r充分小使得c1和c2均在c的内部并且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及cauchy积分定理得
3z?
2
dz?
z4?
1
3z?
2
dz?
c1z4?
1
3z?
2
dz
c2z4?
1
c
【篇三：
复变函数试题与答案】
>一、选择题
1．当z?
1?
i时，z100?
z75?
z50的值等于（）1?
i
（a）i（b）?
i（c）1（d）?
1
2．设复数z满足arc（z?
2）?
?
3，arc（z?
2）?
5?
，那么z?
（）6
1331?
i（d）?
?
i2222（a）?
1?
3i（b）?
3．复数z?
tan?
?
i（3?
i（c）?
?
?
?
?
?
）的三角表示式是（）2
?
?
?
）?
i?
?
）]（b）sec?
（a）sec22?
?
3?
3?
?
?
）?
i?
?
）]22
?
（c）?
sec3?
3?
?
?
?
?
）?
i?
?
）]（d）?
sec?
?
?
）?
i?
?
）]2222
224．若z为非零复数，则z?
与2z的关系是（）
2222（a）z?
?
2z（b）z?
?
2z
22（c）z?
?
2z（d）不能比较大小
５．设x,y为实数，则动点（x,y）z1?
x?
?
yi,z2?
x?
?
yi且有z1?
z2?
12，
的轨迹是（）
（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?
3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为
1?
3i，则原向量对应的复数是（）
（a）2（b）1?
i（c）3?
i（d）3?
i
1
７．使得z2?
z成立的复数z是（）2
（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数
８．设z为复数，则方程z?
?
2?
i的解是（）
（a）?
3333?
i（b）?
i（c）?
i（d）?
?
i4444
９．满足不等式z?
i?
2的所有点z构成的集合是（）z?
i
（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域
10．方程z?
2?
3i?
2所代表的曲线是（）
（a）中心为2?
3i，半径为2的圆周（b）中心为?
2?
3i，半径为２的圆周
（c）中心为?
2?
3i，半径为2的圆周（d）中心为2?
3i，半径为２的圆周
11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）
（a）z?
1?
2（b）z?
3?
z?
3?
4z?
2
z?
a?
1（a?
1）（d）z?
a?
z?
a?
c?
0（c?
0）1?
az（c）
12．设f（z）?
1?
z1?
2?
3i,z2?
5?
i,，则f（z1?
z2）
（a）?
4?
4i（b）4?
4i（c）4?
4i（d）?
4?
4i
13．limim（z）?
im（z0）（）x?
x0z?
z0
（a）等于i（b）等于?
i（c）等于0（d）不存在
14．函数f（z）?
u（x,y）?
iv（x,y）在点z0?
x0?
iy0处连续的充要条件是（）
（a）u（x,y）在（x0,y0）处连续（b）v（x,y）在（x0,y0）处连续
（c）u（x,y）和v（x,y）在（x0,y0）处连续（d）u（x,y）?
v（x,y）在（x0,y0）处连续2
z2?
z?
115．设z?
c且z?
1，则函数f（z）?
的最小值为（）z
（a）?
3（b）?
2（c）?
1（d）1
二、填空题
1．设z?
（1?
i）（2?
i）（3?
i），则z?
（3?
i）（2?
i）
2．设z?
（2?
3i）（?
2?
i），则argz?
3．设z?
arg（z?
i）?
3?
，则z?
4
（cos5?
?
isin5?
）2
4．复数的指数表示式为2（cos3?
?
isin3?
）
5．以方程z?
7?
i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?
2?
z?
2?
5所表示的区域是曲线的内部6
７．方程2z?
1?
i?
1所表示曲线的直角坐标方程为2?
（1?
i）z
８．方程z?
1?
2i?
z?
2?
i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射?
?
2i22，圆周x?
（y?
1）?
1的像曲线为z410．lim（1?
z?
2z）?
z?
1?
i
三、若复数z满足z?
（1?
2i）z?
（1?
2i）?
3?
0，试求z?
2的取值范围．
四、设a?
0，在复数集c中解方程z2?
2z?
a.
五、设复数z?
?
i，试证z是实数的充要条件为z?
1或im（z）?
0.21?
z
3
六、对于映射?
?
11（z?
），求出圆周z?
4的像.2z
七、试证１.z1?
0（z2?
0）的充要条件为z1?
z2?
z1?
z2；z2
z1?
0（zj?
0,k?
j,k,j?
1,2,?
n））的充要条件为z2２.
z1?
z2?
?
?
zn?
z1?
z2?
?
?
zn.
八、若limf（z）?
a?
0，则存在?
?
0，使得当0?
z?
z0?
?
时有f（z）?
x?
x01a.2
九、设z?
x?
iy，试证x?
y
2?
z?
x?
y.
十、设z?
x?
iy，试讨论下列函数的连续性：
?
2xy,z?
0?
1.f（z）?
?
x2?
y2?
0,z?
0?
?
x3y?
z?
02.f（z）?
?
x2?
y2.
?
0,z?
0?
第二章解析函数
一、选择题：
1．函数f（z）?
3z在点z?
0处是（）
（a）解析的（b）可导的
（c）不可导的（d）既不解析也不可导
2．函数f（z）在
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