复变函数习题三答案.docx

1、复变函数习题三答案复变函数习题三答案【篇一：复变函数考试试题与答案各种总结】xt一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若 zn 收敛，则 re znim zn 与 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域d内解析，且 f(z)?0，则f(z)?c（常数）.( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )7.若 z?z0 limf(z) 存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.

2、( ) 8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c ? c f(z)dz?0. ( ) 10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d内恒等于常数.（） 二.填空题（20分） dz ?_.（n为自然数） 1、 ?|z?z0|?1(z?z)n 22sinz?cosz? _. 2. 3.函数sinz的周期为_. f(z)? 4.设 ? 1 z2?1，则f(z)的孤立奇点有_. n 5.幂级数 ?nz n?0 的收敛半径为_. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_. 7

3、.若n? limzn? z1?z2?.?zn ? n?n，则_. lim ez res(n,0)? z8._，其中n为自然数.sinz9. 的孤立奇点为_ . z limf(z)?_zf(z)的极点，则z?z0 10.若0是. 三.计算题（40分）： 1. 设 1 f(z)? (z?1)(z?2)，求f(z)在d?z:0?|z|?1内的罗朗展式. 1 dz.?|z|?1cosz2. 3?2?7?1 f(z)?d? c?z3. 设，其中c?z:|z|?3，试求f(1?i). w? 4. 求复数 z?1 z?1的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?

4、f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内 在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z?1的值. 复变函数考试试题（一）参考答案 一 判断题 ?2?in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，(k?z)；4. z?i； 5. 1 0n?1? 6. 整函数；7. ?；8. 三计算题. 1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1 ? 1?zn111n ?z?(). f(z)? 2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?0 2 1 ； 9. 0； 10. ?. (n?1)!2. 解 因为 z? r

5、esf(z)?lim z? ? 2 ? 2 z? ? 2 ?lim1?1, coszz?sinzz? ? 2 resf(z)?lim z? ? 2 z? ?2 ?lim1?1. coszz?sinz 所以 1 sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re?z?z? 2 2 2 3. 解 令?(?)?3?7?1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)? ?(?) ?c?z?2?i?(z). 所以f?(1?i)?2?i?(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则 w? z?122a(?1?bi)2a(?1)b2

6、 . 2?1?1?122222 z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b , . )?1?im()? z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2 故 re( 四. 证明题. 1. 证明 设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv, 则f(z)?u2?v2?c2. 2 ?uux?vvx?0 两边分别对x,y求偏导数, 得? ?uuy?vvy?0 (1)(2) 因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy?vx. 代入 (2) 则上述方程组变为 ?uux?vvx?022 . 消去ux得, (u?v)vx?0. ? ?vux?uvx?0 1) 若u?v?

7、0, 则 f(z)?0 为常数. 2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 2 2所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.证明f(z)? 的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就 不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以 f(z)?的幅角共增加 ? . 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2 ?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z?1的幅角为, 故

8、f(?1)?. 2 复变函数考试试题（二） 一. 判断题.（20分） 1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在d内连续. ( ) 2. cos z与sin z在复平面内有界.( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( ) z?z0 6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0. c ( ) 8. 若数列zn收敛，则r

9、ezn与imzn都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析. ( ) 111 10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,. n?12n2n ( ) 二. 填空题. (20分) 1. 设z?i，则|z|?_,argz?_,?_ z?1?i 2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则limf(z)?_. 3. dz ?|z?z0|?1(z?z0)n?_.（n为自然数）4. 幂级数?nzn的收敛半径为_ . n?0 ? 5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_零点. 6

10、. 函数ez的周期为_. 7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为_. 8. 设f(z)? 1 ，则f(z)的孤立奇点有_. 2 1?z 9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为_. z?1 10. res(,1)?_. 4 z 三. 计算题. (40分) 3 sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数 z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z ?i处的值. ?|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1） ?ii 3. 计算积分：i 的右半圆. 4. 求 sinz z?2 (

11、z?)2 2 dz . 四. 证明题. (20分) 1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析. 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 复变函数考试试题（二）参考答案 一. 判断题.【篇二：复变函数习题详解习题三】p 1.沿下列路线计算积分? 3?i0 z2dz 。 （1）自原点到3?i的直线段 （2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至3?i； （3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向右至3?i。 ?x?3t,? 解（1）?y?t, 0?t?1，故z?3t?it，0于是 ? 3?1 zdz? 2 ?0?3t?it?3?i?dt 312 1 2

12、 ?3?i? ? tdt 1113 ?(3?i)3t3|?3?i?033（2）? 3?i z2dz? 3?i ?x?3t, ?z2dz?c1z2dz?c2z2dzc 。1之参数方程为?y?t,?0?t?1?；c2之 ?x?3,? ?y?t,?0?t?1? 参数方程为 故 ? （3）? 3?i i 3?i z2dz?9t2?3dt?3?it?idt?6? 2 3?i 11 26i3。 z2dz?z2dt? i z2dz?c3z2dz?c4z2dz 。 c3:z?it?0?t?1?；c4:z?3t?i?0?t?1?， 1 2 故 ? 3?i z2dz?t2?idt?3t?i?3dt?6? 1 26

13、i3 ?x2?iy?dzy?x?y?x2分别沿与算出、积分0的值。 2 1?i 解（1）沿y?x。此时z?t?it?0?t?1?。dz?1?i?dt，于是 ?x 1?i0 2 ?iydz?t2?it?1?i?dt ? 1 ? 115?1i? ?1?i?t2?itdt?1?i?i 066。 ?32? ? ?22 （2）沿y?x，此时z?t?it?0?t?1?。dz?1?i2t?dt，故 ?x 1?i0 2 ?iydz?t2?it2?1?i2t?dt 010 ? 1 ? 10 ?1?i?t2?1?i2t?dt?1?i?t2?i2t3dt ? 15?1i? ?1?i?i 66。 ?32? 3.计算积

14、分c z，其中c是一条闭路，由直线段：?1?x?1，y?0x ?x?t, ? ?1,1解 区间的参数方程为?y?0,即z?t?1?t?1?，从1到?1的上半单位圆周的参 i? 数方程为z?e?0?。于是 c zdz?t?i?0t?i?0d?t?i?0?ei?ei?dei? ?1 1? ?ttdt?idt?i ?1 1? 。 4设f?z?在单连域d内解析，c为d内任何一条正向简单闭曲线，问 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 c c re?f?z?dz? im?f?z?dz?0 解 未必成立。 令f?z?z，c:z?1，则f?z?在全平面上解析，但是 i?i? cre?f?z?

15、dz?reede 02? 2? ? ?cos?sin?icos?d?i?0 c im?f?z?dz?imei?dei? 02?0 2? ? ?sin?sin?icos?d?0 5.利用在单位圆上 ? 1 z的性质及柯西积分公式说明 c dz?2?i ，其中c表明单位圆周z?1,且沿正向积分。 证 因在c上有 ? 1 z，故 又由柯西积分公式有 c? c 1dzz 于是 c 1 dz?2?iz 6计算积分 c ?2?i c dzz 的值，其中c为正向圆周：（1）z?2；（2）z?4 2 解 （1）因在|z|?2上有|z|?2，z?z?|z|?4，从而有 ? 4 z，故有 dz?c|z| |z|?

16、2 2 ? 2 dz?4?i|z|?2z ? 16 z，故有 （2）因在c上有|z|?4，z?|z|?16，从而有 2 dz?c|z| 16|z|?4 4 ? 4 dz?8?i|z|?4z 7直接得到下列积分的结果，并说明理由。 3z?5ez dzdz2 （1）|z|?1z?2z?4；（2）|z|?1cosz； （3）|z|?2 ez?1dz z ? 2 ? ；（4） |z|? 12 dz z2?1z3?1 3z?52 解 （1）因被积函数z?2z?4的奇点z?1?i均在|z|?1的外部从而被积函数3z?53z?5 ?0 z2?2z?4在|z|?1上解析，故由cauchy-gourssat定理

17、，有|z|?1z2?2z?4； ez （2）因被积函数cosz的奇点均在|z|=1的外部从而它在|z|?1上解析，故 ez |z|?1coszdz?0 ez2 （3）因被积函数ez?1在全平面解析，故|z|?2 ? zz2?1 ? ?dz =0。 111 |z|?|z|?23 2的外部从而它在2上解析，故 （4）因被积函数z?1z?1的奇点在 1 |z|? 2 dz (z2?1)(z3?1)=08沿指定曲线的正向计算下列各积分。 （1）c c ez dz z?2，c:|z?2|?1 cos?z 5 （2）z?1dz ，c:|z|?r?1 （3） sinz?z? 2? 2 c dz ，c:|z|

18、?2 dz ,c:|z|?322c 2 （4）(z?1)(z?4) 3z2?7z?1 dz3cz?1（5），c:|z?i|?1； dz 22 （6）cz?a，c:|z?a|?a ?a?0? cosz dz? （7）cz3，其中c?c1?c2，c1:|z|?2，c2:|z|?3； ez cz?a3 （8），其中a为|a|?1的任何复数，c:|z|?1； e?zsinz dz,c:|z?i|?2 （9）cz2 （10） c 3z?2 dz4 z?1，c:|z?1?i?|?2 解 （1）由cauchy积分公式，c ez dz?2?iez z?2 z?2 ?2?e2i ?5 i12； cos?z2?i

19、 ?cos?z?dz?cz?154!（2）由高阶求导公式， z?1 ? （3）由高阶求导公式， sinz c ? ?z? 2? 2 dz?2?i?sinz? z? ? 2 ?0 ； （4）因被积函数的奇点z?i在c的内部，z?2i在c的外部，故由复合闭路定 理及cauchy积分公式有： c dzdzdz ?11 (z2?1)(z2?4)|z?i|?3(z2?1)(z2?4)|z?i|?3(z2?1)(z2?4) = 1|z?i|? 3 1 z?iz2?4dz? z?i 1|z?i|? 3 1 z?iz2?4dz z?i ?2?i 1 (z?i)(z2?4) ?2?i z?i 1 (z?i)(z

20、2?4) z?i ? ? 3 ? ? 3 ?0 3z2?7z?1 （5）因被积函数 z?13 的奇点z?1在c:|z?i|?1的外部从而它在|z?i|?1上解 3z2?7z?1 3 c z?1析，故由cauchy-gourssat定理，有 dz =0。 ? （6）解1： 解2： c dz ?22cz?a 1 z?adz?2?i1z?az?a ? z?a i a， c dz1? ? z2?a22a? ? c 1 dz?z?a c 1?dz?z?a? 1 ?2?i?0?i2aa cosz dz? （7）cz3 cosz ?c1z3 ?c2 cosz dzz3 由复合闭路定理 coszcosz dz

21、?c1z3czz3dz coszcosz dz?c1z3c?2z3?0 即 x cosz dz?0cz3 （8）当|a|?1时，a在cez2?izdz?e?eai3 2!z?az?a c ? 当|a|?1时，a在c的外部，故由cauchy-gourssat定理得 ez cz?a3dz?0； （9）由cauchy积分公式得 e?zsinz?z cz2?2?i(esinz)|z?0?2?i 3z?2 （10）被积函数z4?1的奇点z?1，i在c的内部而奇点z?1，?i在c的外部，作 圆周c1:|z?1|?r和c2:|z?1|?r且取r充分小使得c1和c2均在c的内部并且互不相交也互不包含，则由复合

22、闭路定理及cauchy积分定理得 3z?2 dz?z4?1 3z?2 dz? c1z4?1 3z?2 dz c2z4?1 c【篇三：复变函数试题与答案】一、 选择题 1当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（ ） 1?i （a）i （b）?i（c）1 （d）?1 2设复数z满足arc(z?2)? 3，arc(z?2)?5?，那么z?（ ） 6 1331?i （d）?i 2222（a）?1?3i （b）? 3复数z?tan?i(3?i （c）?)的三角表示式是（ ） 2 ?)?i?) （b）sec?（a）sec22?3?3?)?i?) 22 ?（c）?sec3?3?)?i?)（d）?s

23、ec?)?i?) 2222 224若z为非零复数，则z?与2z的关系是（ ） 2222（a）z?2z （b）z?2z 22（c）z?2z （d）不能比较大小 设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x?yi,z2?x?yi且有z1?z2?12， 的轨迹是（ ） （a）圆 （b）椭圆 （c）双曲线（d）抛物线 一个向量顺时针旋转?3，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为 1?3i，则原向量对应的复数是（ ） （a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i 1使得z2?z成立的复数z是（ ） 2 （a）不存在的（b）唯一的 （c）纯虚数 （d）实数 设z为复数，则方程z?2?i的解是（

24、） （a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）?i 4444 满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（ ） z?i （a）有界区域 （b）无界区域 （c）有界闭区域 （d）无界闭区域 10方程z?2?3i?2所代表的曲线是（ ） （a）中心为2?3i，半径为2的圆周 （b）中心为?2?3i，半径为的圆周 （c）中心为?2?3i，半径为2的圆周 （d）中心为2?3i，半径为的圆周 11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2 z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c） 12设f(z)?1?,z1

25、?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ） （a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i 13limim(z)?im(z0)（ ） x?x0z?z0 （a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在 14函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（ ） （a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续 （c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（ ） z （a）?3 （b

26、）?2（c）?1 （d）1 二、填空题 1设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i) 2设z?(2?3i)(?2?i)，则argz? 3设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4 (cos5?isin5?)2 4复数的指数表示式为 2(cos3?isin3?) 5以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为 不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6 方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z 方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线 对于映射? 2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410lim(

27、1?z?2z)? z?1?i 三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围 四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a. 五、设复数z?i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z 3六、对于映射?11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z 七、试证.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2 z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n)的充要条件为 z2. z1?z2?zn?z1?z2?zn. 八、若limf(z)?a?0，则存在?0，使得当0?z?z0?时有f(z)?x?x01a. 2 九、设z?x?iy，试证x?y 2?z?x?y. 十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)?x2?y2 ?0,z?0? ?x3y?,z?02.f(z)?x2?y2. ?0,z?0? 第二章解析函数 一、选择题： 1函数f(z)?3z在点z?0处是( ) （a）解析的（b）可导的 （c）不可导的 （d）既不解析也不可导 2函数f(z)在