一阶微分方程的通解.docx

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一阶微分方程的通解

一阶微分方程的通解

　　§2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§2.1变量分离方程与变量替换§2.2线性微分方程与常数变易法§2.3恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：

将微分方程的求解问题化为积分问题。

　　§2.1变量分离方程与变量替换dNrNdyN（P5人口模型）dt求解ddtrN即dxay.N（t0）N0

（1）当y0:

是一个解.dy

（2）当y0:

yadx,两边积分得lnyaxc故yCeax一、变量分离方程dy1.变量分离方程的形式dxf（x）（y）.f（x）是x的连续函数,（y）是y的连续函数.dy2.变量分离方程的解法先分离变量,（y）f（x）dx.当（y）0再两边积分,（y）f（x）dxdyG（y）F（x）C（P31例1）例1求解方程dx3x2yy解:

先分离变量,dy3x2dxdy再两边积分,ydy3xdx12说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.或lnyx3lnC例2求解方程dxxy.解:

先分离变量,ydyxdx再两边积分,2dyydyxdx2解得1y21x21c222故通解为xyc,其中c为任意正常数.dyy（cdx）例3求解方程dxx（aby）,x0y0.（P31例2）解得lnyxc13即yexc13ec1ex即ycex333解:

（1）当y0:

是一个解.（aby）dy（cdx）dx

（2）当y0:

先分离变量,yxdx再两边积分,ydycxdx解得alnybyclnxdxk即yaebyxcedxk（k为任意正常数）综上,通解为yaebyxcedxk（k0为任意常数）aby故通解为ycex,其中c为任意常数.（此式含分离变量时丢失的解y=0）（P33例4）例4求解方程dxP（x）y,其中P（x）是x的连续函数.解:

（1）当y0:

是一个解.dy

（2）当y0:

先分离变量,yP（x）dx再两边积分,ydyP（x）dx1解得lnyP（x）dxdy（P42习题1

（2））练习解方程y2dx（x1）dy0,并求满足初值条件x0,y1的特解.解

（1）:

1当y0:

是一个解.dy1dxy2x1dy1dx再两边积分,x1y21解得ylnx1c1即ycln|1x|（c为任意常数）1综上,通解为ycln|1（c为任意常数）,另有解y0.x|2当y0:

先分离变量,P（x）dx即yce（c为任意非零常数）P（x）dx综上,通解为yce（c为任意常数）:

是P44页2.2节中的一阶齐次线性微分方程.解

（2）:

将x0,y1代入上述通解,可确定c1.1故特解为y1ln|1x|.1（P34例5）二、可化为变量分离方程的类型y1.齐次微分方程dyg（x）.dxy例5求解方程dxxtanx.ydyu解:

令ux,则yux,dyxduudx,故dxxddxuudu是变量分离方程.原方程化为xddxuutanu,即xdxtanudyyy解法:

通过变量替换（令ux）,化为变量分离方程.:

方程中不含未知函数及其导数的项称为自由项.1当tanu0:

即sinu0,是一个解.x2当tanu0:

先分离变量,cosududxsinucosudu1dxxsinu自由项＝0时：

齐次自由项≠0时：

非齐次再两边积分,解得lnsinulnxlnc即sinucx,（c为非零任意常数）y综上,通解为sinxcx（c为任意常数）（P35例6）例6求解方程xdx2xyy（x0）.ydyduu解:

令ux,则yux,dyxduudx,故dxxdxu原方程化为xddx2u是变量分离方程.dy2.形如dxa1xb1yc1的方程ab2dyaxbycc22222

（1）a1b1c1k（常数）原方程即dxak.2222xb2yc2dykaxkbykc1当u0:

即y0,是一个解.x2当u0:

先分离变量,1dudx2u

（2）a1b1kc1令ua2xb2y,此时duabdy,2222dx2dxkuc1u原方程化为ddxa2b2uc,是变量分离方程.dya1xb1ya1b1xyc1c20:

dxa2xb2ya2b2y,只需令uxa1b1（3）abx22c1,c2不全为0:

a1xb1yc10与a2xb2yc20代表两条相交直线,交点为（,）.通过坐标平移XxYy可将交点移到原点.dyaXbY方程化为dxa1Xb1Y22y2abc再两边积分,xdx21udu12解得uln（x）lnc即yxln（x）c,（当ln（x）c0）（P38例7）dyxy1例7求解方程dxxy3.解:

解方程组xy10,可得x1xy30y2dY,则dxdXdyXx1令Yy2dYXY化为Xdu12uu则（）式dXXYdX1u1当12uu20:

22Y因uX,则X2XYY02是变量分离方程.dYXY原方程化为dXXY（）两边取微分,得2XdX2XdY2YdX2YdY0即（XY）dX（XY）dY故X22XYY20为（*）式的解.2故（x1）2（x1）（y2）（y2）20为原方程的解.2当12uu20:

2（1u）ududX先分离变量,11du2dXX即22uu2再两边积分,1dXu2u2u21du2X2u2u1X再令uYX,则YuX,dYudXXdu,dYdudXuXdX,XY1uXY1u是变量分离方程.解得lnu22u12lnXlnc即X2（u22u1）c（c为非零任意常数）代回uY,可得Xx1（y2）22（x1）（y2）（x1）2c（c为非零任意常数）y2du1u即Xdu12uu2则（）式化为uXdX1udX1u2思考与练习作业习题2.1P421.

（2）（4）（7）变量分离方程1.（5）2.

（1）（3）可化为变量分离方程§2.2线性微分方程与常数变易法一、一阶线性微分方程1.一般形式dydxP（x）yQ（x）y与y之间是线性关系.自由项（与y,y无关的项）3.一阶非齐次线性微分方程

（1）形式dxP（x）yQ（x）,Q（x）0

（2）解法第一步:

先求对应齐次微分方程的通解.P（x）dxyce（c为任意常数）第二步:

将常数c变易为函数c（x）,代入原方程确定c（x）即可得到原非齐次方程的通解.令yc（x）eP（x）dxdy2.一阶齐次线性微分方程

（1）形式dydxf（x）y为原方程的解,

（2）解法分离变量法.见P33例4.通解为yceP（x）dxP（x）dxdydc（x）P（x）dx则dxdxeP（x）c（x）eyp（x）dxdc（x）代入原方程可得dxQ（x）eP（x）dx积分得c（x）Q（x）edxc（c为任意常数）（P45例1）dy例1求方程（x1）dxnyex（x1）n1的通解.解:

第一步:

先求对应齐次微分方程的通解.求解方程（x1）dxny:

当y0且x10,先分离变量,y（xndx1）dy再两边积分,y（xndx1）lnynlnx1lncycx1得对应齐次方程的通解为yc（x1）nn得对应齐次方程的通解为yc（x1）ndy第二步:

将常数c变易为函数c（x）,代入原方程确定c（x）即可得到原非齐次方程的通解.dy令yc（x）（x1）n为原方程（x1）dxnyex（x1）n1的解,dydc（x）则dxdx（x1）nnc（x）（x1）n1dydc（x）（x1）dxdx（x1）n1nc（x）（x1）ndc（x）于是有dxexdy积分得c（x）exc故所求通解为y（x1）n（exc）,c为任意常数:

也可直接套公式,yceP（x）dxndxcex1c（x1）nQ（x）e:

也可直接套公式,yp（x）dxeP（x）dxdxc3练习解方程dxysinx.（P48习题1

（1））当y0,先分离变量,ydxdy再两边积分,ydxdydy练习2tx解方程ddt3xe.（P48习题1

（2））解:

第一步:

求解方程dyy:

dx解:

第一步:

求解方程dx3x:

dtx当x0,先分离变量,dx3dtx再两边积分,dx3dt得对应齐次方程的通解为ycex得对应齐次方程的通解为xce3t第二步:

令yc（x）ex为原方程dxysinx的解,dydc（x）dc（x）则dxdxexc（x）ex于是有dxexsinxx积分得c（x）12e（sinxcosx）cdy第二步:

令xc（t）e3t为原方程dx3xe2t的解,dt3t3tx则ddtdte3c（t）edc（t）于是有dte5tdc（t）5t积分得c（t）15ec故所求通解为ycex1（sinxcosx）,c为任意常数22t3t故所求通解为x15ece,c为任意常数（P46例2）dy例2求方程dxy的通解.2xy22xy22xdx注：

方程变形为dyyyy,二、伯努利微分方程1.形式dxP（x）yQ（x）yn,常数n0,1当n0,为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程.当n1,为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程.dy关于x为非齐次线性微分方程自变量为.yx2x解:

第一步:

求解方程ddyy:

x2当x0,先分离变量,dxydyx2再两边积分,dxydy2.解法dy

（1）方程两边除以yn,化为方程:

yndxP（x）y1nQ（x）dzyn

（2）考虑yndx是如何得到的:

令zy1n,则dxdx.dydy得对应齐次方程的通解为xcy2x2x第二步:

令xc（y）y2为原方程ddyyy的解,2dc（y）x1则ddydyy2c（y）y于是有dyy积分得c（y）lnycdzP（x）y1nQ（x）方程可化为一阶线性微分方程dxdc（y）（3）利用常数变易法求得通解之后再变量还原.做变量替换zy1n,即可化为一阶线性微分方程求解.故所求通解为xy2（clny）,c为任意常数例如求dyyx2的通解dx2x2y此为伯努利方程,n1.第一步（P48例3）dyy例3求方程dx6xxy2的通解.解:

当y0:

是一个解.dydz2y做变量替换zy2,则dxdx2ydxxx2dyy2当y0:

第一步:

做变量替换zy1,dzy2则dxdxdydy6xy2dxxydzdz6z6得dxxyx,即dxxxdzzx2于是有dxx第二步一阶线性微分方程常数变易法,可得zcx1x32第三步dz6zx第二步:

解一阶线性微分方程dxxcx2常数变易法,可得zx68代回原变量,得通解y2cx1x32cx第三步:

变量代回,得通解1yx68,86即通解为xyxc.824思考与练习作业习题2.2P481.

（2）（3）（4）常数变易法1.（11）（15）伯努利方程§2.3恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程1.预备知识

（1）设u（x,y）是连续可微的函数,则u（x,y）的全微分为udxudydu（x,y）xy2.恰当微分方程

（1）定义若有函数u（x,y）,使得du（x,y）M（x,y）dxN（x,y）dy则称M（x,y）dxN（x,y）dy0为恰当微分方程.通解为u（x,y）c.

（2）若du（x,y）0,则u（x,y）c.ydxxdy0d（xy）（3x2yy2）dx（x32xy）dy0d（x3yxy2）f（x）dxg（y）dy0df（x）dxg（y）dyudxudy0xy通解为u（x,y）c.

（2）需要考虑的问题如何判别M（x,y）dxN（x,y）dy0是恰当微分方程?

若M（x,y）dxN（x,y）dy0是恰当微分方程,如何求u（x,y）?

若M（x,y）dxN（x,y）dy0不是恰当微分方程,能否转化?

3.方程为恰当微分方程的充要条件设M（x,y）,N（x,y）在某矩形域内是x,y的连续函数,且具有连续的一阶偏导数,则方程M（x,y）dxN（x,y）dy0为恰当微分方程的M（x,y）N（x,y）充要条件为yx.已知M（x,y）dxN（x,y）dy0为恰当微分方程,则存在二元函数u（x,y）,使udxudyM（x,y）dxN（x,y）dydu（x,y）xyuu于是有M（x,y）x,N（x,y）yM（x,y）2uN（x,y）2uyx,xxyy已知M（x,y）N（x,y）x,yuM（x,y）,uN（x,y）于是有xy需要构造二元函数u（x,y）,使udxudydu（x,y）M（x,y）dxN（x,y）dyxy于是有u（x,y）M（x,y）dx（y）.这里（y）是y的任意可微函数.uN（x,y）:

下面选择（y）,使yuM（x,y）dxd（y）N（x,y）,解dyyy于是有于是有M（x,y）N（x,y）xy与x无关.M（x,y）dx]dy,故（y）[NyM（x,y）dx]dy.于是有u（x,y）M（x,y）dx[Nyd（y）M（x,y）dx.可得dyNy即u（x,y）存在,从而M（x,y）dxN（x,y）dy0为恰当微分方程.5注:

恰当微分方程通解为（P53例1）例1求方程（3x26xy2）dx（6x2y4y3）dy0的通解.解:

（1）M3x26xy2,N6x2y4y3,M12xy,yM（x,y）dx[NyM（x,y）dx]dyc.4.恰当微分方程的解法

（1）不定积分法第一步:

判断方程是否为恰当方程.（若是则下一步）N12xy,xMN,故为恰当微分方程.yx第二步:

求u（x,y）M（x,y）dx（y）uN（x,y）求（y）.第三步:

由y

（2）方法1:

不定积分法u（x,y）M（x,y）dx（y）x33x2y2（y）3x26xy22234u因yN（x,y）,即6xy（y）6xy4y故（y）y第四步:

通解为u（x,y）c.于是有u（x,y）x33x2y2y4故通解为x33x2y2y4c.练习验证方程（exy）dx（x2siny）dy0为恰当方程,并求其通解.解:

（1）Mexy,Nx2siny,M1,N1,xyMN,故为恰当微分方程.yx

（2）分组凑微法采用分项组合的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.:

应熟记一些简单二元函数的全微分.（书P54）ydxxdydxyydxxdydy2ydxxdydx2

（2）u（x,y）M（x,y）dx（y）exxy（y）exyxyyxux（y）x2siny故（y）2cosy因yN（x,y）,即于是有u（x,y）exxy2cosy故通解为exxy2cosyc.ydxxdydlnxyxyydxxdydarctanxyx2y2ydxxdy1xydlnxyx2y22（P54例2）例2求方程（3x26xy2）dx（6x2y4y3）dy0的通解.解:

方法2:

分组凑微法方程即3x2dx6xy2dx6x2ydy4y3dy0d（x3）3y2d（x2）3x2d（y2）d（y4）d（3x2y2）（P55例3）x1例3求方程（cosx1y）dx（yy2）dy0的通解.1x解:

（1）Mcosx1y,Nyy2,M1,N1,xy2yy2MN,故为恰当微分方程.yx

（2）方法1:

不定积分法u（x,y）M（x,y）dx（y）sinxlny（y）cosx1y方程即d（x33x2y2y4）0于是有u（x,y）x33x2y2y4故通解为x3xyyc.32241（y）1x,u故（y）x因yy2yyN（x,y）,即yx于是有u（x,y）sinxlnyy故通解为sinxlnyxyc.6（P55例3）1x例3求方程（cosx1y）dx（yy2）dy0的通解.1x解:

（1）Mcosx1y,Nyy2,M1,N1,xy2yy2（P60习题1

（1））练习验证方程（x2y）dx（x2y）dy0为恰当方程,并求其通解.解:

（1）Mx2y,Nx2y,M1,yN1,xMN,故为恰当微分方程.yxMN,故为恰当微分方程.yx

（2）方法2:

分组凑微法x1方程即cosxdx1ydx