精校版全国卷Ⅱ理数高考试题文档版含答案.docx

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精校版全国卷Ⅱ理数高考试题文档版含答案

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=

A．（–∞，1）B．（–2，1）

C．（–3，–1）D．（3，+∞）

2．设z=–3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

3．已知=（2,3），=（3，t），=1，则=

A．–3B．–2

C．2D．3

A．B．

C．D．

5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数B．平均数

C．方差D．极差

6．若a>b，则

A．ln（a−b）>0B．3a<3b

C．a3−b3>0D．│a│>│b│

7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面

8．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2B．3

C．4D．8

9．下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是

A．f（x）=│cos2x│B．f（x）=│sin2x│

C．f（x）=cos│x│D．f（x）=sin│x│

10．已知α∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A．B．

C．D．

11．设F为双曲线C：

的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为

A．B．

C．2D．

12．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是

A．B．

C．D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________．

14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________．

15．的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：

BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．

18．（12分）

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:

10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:

10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

19．（12分）

已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.

（1）证明：

{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

20．（12分）

已知函数.

（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；

（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线的切线.

21．（12分）

已知点A（−2,0），B（2,0），动点M（x,y）满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：

是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：

坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

23．[选修4—5：

不等式选讲]（10分）

已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学·参考答案

1．A2．C3．C4．D5．A

6．C7．B8．D9．A10．B

11．A12．B

13．0.9814．–3

15．616．26；

17．解：

（1）由已知得，平面，平面，

故．

又，所以平面．

（2）由

（1）知．由题设知≌，所以，

故，．

以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，

则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

即

所以可取n=.

设平面的法向量为m=（x，y，z），则

即

所以可取m=（1，1，0）．

于是．

所以，二面角的正弦值为．

18．解：

（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．

（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：

前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．

因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．

19．解：

（1）由题设得，即．

又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．

由题设得，即．

又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由

（1）知，，．

所以，

．

20．解：

（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．

因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．

综上，f（x）有且仅有两个零点．

（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．

由题设知，即，故直线AB的斜率．

曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，

所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．

21．解：

（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．

由得．

记，则．

于是直线的斜率为，方程为．

由得

．①

设，则和是方程①的解，故，由此得．

从而直线的斜率为．

所以，即是直角三角形．

（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．

设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．

因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．

因此，△PQG面积的最大值为．

22．解：

（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的任意一点．在中，，

经检验，点在曲线上．

所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中，即．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为．

23．解：

（1）当a=1时，．

当时，；当时，．

所以，不等式的解集为．

（2）因为，所以．

当，时，．

所以，的取值范围是．