灾情巡视路线.docx
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灾情巡视路线
灾情巡视路线的优化模型
摘要：
这是一个分组离散的网络图论问题，本文的主要思想是将巡视路线的设计分为两个部分：
首先生成一个可行的巡视路线，然后利用启发式算法对巡视路线进行调整；即利用prim算法得到最小生成树分组，然后将每棵树转化为求旅行商最短回路的MSTP问题，利用Dijkstra算法求得最短回路。
问题一中，首先给出了原图的最小生成树图，再根据树图进行了简单的分组，分别讨论出最短路线，由于题中要药均衡的巡视路线，因此引进均衡度，再进行综合考虑得出最后结论。
问题二中，首先在时间限制要求下，至少需要将原图划分为四个子图，再利用树状图大致划分出这四组，找出最优解。
问题三中，加上上给定的时间参数，完成巡视的最短时间受到单独巡视完离县城最远的乡（镇）或最远村所需时间得限制。
采用一题中图上Dijkstra算法，可以求得从县城到各点的最短距离，进而在分组细分，得出最优模型。
关键词：
灾情巡视路线；优化模型；数学模型；最小生成树
一、问题的提出
98年夏天某县遭受水灾，下图为该县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。
为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。
巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。
问题：
1、若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
2、假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。
要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
3、在上述关于T,t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。
4、若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。
二、基本假设
（1）各巡视组的车的速度相同，且都为匀速行驶。
（2）各视组经过邻县的村及非本组巡视的乡（镇）或村时都只路过，不停留。
（3）巡视组都是从县政府出发，走遍各乡（镇）、村后，又回到县政府。
（4）巡视人员在各乡（镇）停留2小时，在各村停留1小时，汽车匀速行驶的速度为每小时35千米。
（5）巡视组在巡视时不考虑环境因素的影响，天气正常，无突发事件。
（6）各组在巡视过程中，路面正常、畅通，车均能正常行驶。
三、符号的说明
乡（镇）
A、B、C、...O、P、Q
村
1、2、3、...34、35
巡视组组数
第
组的最短路程
巡视人员在乡（镇）的巡视时间
T
巡视人员在村的巡视时间
t
汽车行驶速度
v
直接巡视完第j点所需要的时间
均衡度
四、建立模型与求解
3.1模型分析
问题一，只从路程上考虑，要使得总的路程最短且尽量分布均匀，即每组所走的路程尽量短且相差尽量小。
对于此问题我们先考虑大致分出各组的巡视路线，寻找较优的一些解；再从这些解中综合考虑使得每组所走路程相差不大的解，从中得出最优解。
由于原图较复杂，对于巡视组的大致划分，我们可以利用原图的最小生成树（县城为树根）原理，首先用破圈法找出从O到各个地方的最短路径的树图。
其次在对树图的树枝进行编号，最后讨论其分组：
将其大致划分为三个部分，得出最优方案找出最小生成树后从中寻求每个部分的最短路，最终比较得出最优解。
问题二，从时间上考虑，已知条件有T=2,t=1,汽车行驶速度V=35公里/小时，全县共17乡（镇）（除O外），34个村，仅停留时间共需
小时，若分为三组，每组平均用时需23小时，加上距离一定会大于24小时，所以用三组不能够在24小时内完成巡视。
故至少需要考虑分为四组，再利用树状图大致划分出这四组，找出最优解。
问题三：
考虑在时间限制条件下的最优解。
事实上是在时间参数条件下给定的，完成巡视的最短时间受到单独巡视完离县城最远的乡（镇）或最远村所需时间得限制。
采用一题中图上Dijkstra算法，可以求得从县城到各点的最短距离，进而在分组细分，得出最优模型。
3.2模型的建立与求解
本题的第一问，要求设计分三组巡视时使总路程最短且各组尽可能均衡的路线。
转化为在给定的加权网络图中寻找从
点出发，行遍所有顶点至少一次再回到
点，使得总路程最小的问题。
记三组的巡视路线长度从小到大分别为
、
、
则需要求解此问题的目标数学表达式关系为：
以及
但是由于这两个目标是相互矛盾的，即不可能同时达到最小；因此在求解时因注意在两者兼顾的条件下寻找最优解。
为了避免繁杂，我们将这两个目标表达式转换成另一个较合理的目标表达式：
根据前面的分析，首先运用破圈法找出从县政府通往各乡（镇）、村的最短路径，并对其分支编号，最后得出下图：
过程见附录程序1
图1
有上图容易将图大致分为三部分，要使得三组巡视时使总路程尽量最短，我们容易找到两种分法如下：
分法1：
（6,1），（2,3），（5,4）
如图：
分法1
对于分法一的求解：
组名
路线
路线长
总路线长
一
O-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-15-I-18-K-21-20-25-M-O
191.1
599.8
二
O-2-5-6-7-E-9-F-12-H-14-13-G-11-J-19-L-6-5-2-O
216.4
三
O-E-29-Q-30-32-31-33-35-34-A-1-B-C-3-D-3-2-O
192.3
分法2：
（1,2），（3,4），（5,6）
如下图：
分法2
对于分法二的求解：
组名
路线
路线长
总路线长
一
O-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-18-K-21-20-25-M-O
191.1
558.5
二
O-2-5-6-L-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-7-E-8-4-D-3-C-O
241.9
三
O-R-29-Q-30-32-31-33-35-34-A-B-1-O
125.5
对他们的求解过程详见附录中程序2
从以上两表可以得出，从总路程长度考虑应当选择方案二，但从路程的均衡方面看，应当选择方案一。
由此，我们引进衡量路程均衡的均衡度：
定义：
均衡度
对于分法一，均衡度
对于分法二，均衡度
显然分法二的均衡度很差，二分法一的均衡度较好，经综合考虑我们最终选择分法一方案。
即每组所走路程分别为：
191.1公里；216.4公里；192.3公里，总路程为599.8公里
对于第二问：
首先还是利用最小生成树的分解法，将原图分解成树图，如上题中的图1；
四组时同三组类似，首先我们把树图分成四部分，使得每组在自己的巡视区域中停留时间尽量相等，且让每组所走区域相对集中。
由于题中共有17个乡镇和35个村，停留时间共需要：
小时，因此每个组大约停留的时间为
小时
那么首先考虑区域的划分，使得每个组停留的时间在17小时左右，由这一条件，经综合分析后将原图大致划分为四个子图，如下图所示：
最后再考虑路程，其方法是通过增边、换边等策略来找尽量短回路，其回路如图所示：
各组巡视情况如下表：
组名
路线
路线长度
停留时间
行走时间
完成总时间
1
O-2-5-6-7-E-11-G-12-H-12-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O
195.8
17
5.59
22.59
2
O-（R）-29-Q-30-Q-28-27-26-N-24-23-22-17-16-17-（R）
199.2
16
5.69
21.69
3
O-M-25-20-21-K-18-I-15-14-13-J-19-L-6-O
159.1
18
4.54
22.54
4
O-R-A-33-31-32-35-34-B-I-C-3-D-A-D-3-O
166
38
4.74
22.74
问题三
如下图所示：
在O点至所有点的最短距离中，O到H的距离最长，为77.5公里。
那么，可以从O点出发，沿最短路线到达H点巡视，然后原路返回，沿途经过的点一律不停，所用的时间为：
小时，H离O最远又代表县城，故这是在所给条件下完成的最短时间。
所以完成巡视至少要用6.43小时。
那么，根据这个时间限制再找出最佳巡视路线。
起作法如下：
（1）对于H点按上述最短路方法巡视，记为第一组；
（2）对第二组，从次远点考虑。
次远点为14点，时间为
小时，而
，可见，这一组还可以顺便巡视一个村，在这条路上13与14相邻，那么，巡视13点，时间为6.16小时。
如图：
（3）第三组，再从次远点15考虑，从O到15点的最短时间为
由于
，可见，这组可再巡视一村，从路中的相邻点中找出一伟巡视点18，因此所用时间为5.94小时。
如下图：
（4）第四组，再从次远点10考虑，从O到10点的最短时间为
由于
，可见，这组可再巡视一村，经过综合考虑选择出点8，因此所用时间为6.22小时。
如下图：
以后的各组可以类似地检验得出。
即对点
，计算出
及
，
若
，不再加点：
若
，则可以加一个村；若
，则可加乡或者村。
由此找，最后我们找出22组，其结果如下表：
组号
巡视路线
停留点
所用时间
1
O-2-5-6-7-E-9-F-12-H-12-F-9-E-7-6-5-2-O
H
6.43
2
O-2-5-6-L-19-J-13-14-13-J-19-L-6-5-2-O
14、13
6.16
3
O-M-25-21-K-18-I-15-I-K-21-25-M-O
15、18
5.94
4
O-2-5-6-7-E-8-E-9-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O
10、8
6.22
5
O-M-25-21-K-17-16-17-K-21-25-M-O
16、17
5.445
6
O-2-5-6-7-E-9-F-12-6-11-E-7-6-5-2-O
12、11
5.845
7
O-M-25-21-K-21-20-25-M-O
K、20
5.867
8
O-2-5-6-7-E-11-G-11-E-7-6-5-2-O
G
5.582
9
O-M-25-21-K-18-I-18-K-21-25-M-O
I
5.49
10
O-2-5-6-L-19-J-19-L-6-5-2-O
J、19
6.102
11
O-2-5-6-7-E-9-F-9-E-7-6-5-2-O
F、9
6.148
12
O-2-5-6-L-6-5-2-O
L、6、5
6.228
13
O-2-5-6-7-E-7-6-5-2-O
E、7、2
6.382
14
O-M-25-21-25-M-O
21、M、25
6.262
15
O-P-26-N-23-22-23-24-N-26-P-O
22、23、24
6.30
16
O-P-26-N-26-27-26-P-O
27、26、N
6.23
17
O-R-29-Q-30-Q-28-P-O
Q、30、28
6.11
18
O-R-31-32-35-34-A-1-O
31、32、34、35
6.32
19
O-1-A-53-31-R-29-R-O
A、33、29
5.97
20
O-2-3-D-4-D-3-2-O
4、D、3
5.99
21
O-P-Q-R-O
P、R
5.32
22
O-1-B-C-O
1、B、C
5.98
五、模型评价
该模型做出了题中给出要求的一些较优的解，但没有找出每个模型的最优意义解，在寻找解时，采用的是图形，运用的是图论的一些基本方法，没有给出数学表达式的限制条件，而是采取直接从图中寻求优解。
参考文献
[1]钱颂迪主编，运筹学，清华大学出版社，1990年
[2]肖位枢主编，图论及其算法，航空工业出版社，1993年
[3]王树禾主编，数学模型基础，中国科学技术大学出版社，1996年
[4]叶其孝主编，大学生建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1998年
附录
程序1,求最小生成树：
T=[];l=0;%l记录T的列数
q
（1）=-1;
fori=2:
n
p（i）=1;q（i）=D（i,1）;
end
k=1;
while1
ifk>=n
disp（T）;
break;
else
min=inf;
fori=2:
n
ifq（i）>0&q（i）min=q（i）;
h=i;
end
end
end
l=l+1;
T（1,l）=h;T（2,l）=p（h）;
q（h）=-1;
forj=2:
n
ifD（h,j）q（j）=D（h,j）;
p（j）=h;
end
end
k=k+1;
end
程序二，求每组的最短路程序：
function[S,D]=minRoute（i,m,W）
%图与网络论中求最短路径的Dijkstra算法M-函数
%格式[S,D]=minroute（i,m,W）
%i为最短路径的起始点,m为图顶点数,W为图的带权邻接矩阵，
%不构成边的两顶点之间的权用inf表示。
显示结果为：
S的每
%一列从上到下记录了从始点到终点的最短路径所经顶点的序号；
%D是一行向量，记录了S中所示路径的大小;
%例如
%clear;w=inf*ones（6）;w（1,3）=10;w（1,5）=30;
%w（1,6）=100;w（2,3）=5;w（3,4）=50;w（4,6）=10;
%w（5,4）=20;w（5,6）=60;
%i=1;[s,d]=minroute（i,6,w）
%ByX.D.DingJune2000
dd=[];tt=[];ss=[];ss（1,1）=i;V=1:
m;V（i）=[];dd=[0;i];
%dd的第二行是每次求出的最短路径的终点，第一行是最短路径的值
kk=2;[mdd,ndd]=size（dd）;
while~isempty（V）
[tmpd,j]=min（W（i,V））;tmpj=V（j）;
fork=2:
ndd
[tmp1,jj]=min（dd（1,k）+W（dd（2,k）,V））;
tmp2=V（jj）;tt（k-1,:
）=[tmp1,tmp2,jj];
end
tmp=[tmpd,tmpj,j;tt];[tmp3,tmp4]=min（tmp（:
1））;
iftmp3==tmpd,ss（1:
2,kk）=[i;tmp（tmp4,2）];
else,tmp5=find（ss（:
tmp4）~=0）;tmp6=length（tmp5）;
ifdd（2,tmp4）==ss（tmp6,tmp4）
ss（1:
tmp6+1,kk）=[ss（tmp5,tmp4）;tmp（tmp4,2）];
else,ss（1:
3,kk）=[i;dd（2,tmp4）;tmp（tmp4,2）];
end;end
dd=[dd,[tmp3;tmp（tmp4,2）]];V（tmp（tmp4,3））=[];
[mdd,ndd]=size（dd）;kk=kk+1;
end;S=ss;D=dd（1,:
）;
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