灾情巡视路线.docx

1、灾情巡视路线灾情巡视路线的优化模型摘要： 这是一个分组离散的网络图论问题，本文的主要思想是将巡视路线的设计分为两个部分：首先生成一个可行的巡视路线，然后利用启发式算法对巡视路线进行调整；即利用prim算法得到最小生成树分组，然后将每棵树转化为求旅行商最短回路的MSTP问题，利用Dijkstra算法求得最短回路。问题一中，首先给出了原图的最小生成树图，再根据树图进行了简单的分组，分别讨论出最短路线，由于题中要药均衡的巡视路线，因此引进均衡度，再进行综合考虑得出最后结论。问题二中，首先在时间限制要求下，至少需要将原图划分为四个子图，再利用树状图大致划分出这四组，找出最优解。问题三中，加上上给定的时

2、间参数，完成巡视的最短时间受到单独巡视完离县城最远的乡（镇）或最远村所需时间得限制。采用一题中图上Dijkstra算法，可以求得从县城到各点的最短距离，进而在分组细分，得出最优模型。关键词：灾情巡视路线；优化模型；数学模型；最小生成树一、问题的提出 98年夏天某县遭受水灾，下图为该县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。问题： 1、若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2、假定巡视人员在各乡（镇

3、）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 3、在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。 4、若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。二、基本假设（1）各巡视组的车的速度相同，且都为匀速行驶。（2）各视组经过邻县的村及非本组巡视的乡（镇）或村时都只路过，不停留

4、。（3）巡视组都是从县政府出发，走遍各乡（镇）、村后，又回到县政府。（4）巡视人员在各乡（镇）停留2小时，在各村停留1小时，汽车匀速行驶的速度为每小时35千米。（5）巡视组在巡视时不考虑环境因素的影响，天气正常，无突发事件。（6）各组在巡视过程中，路面正常、畅通，车均能正常行驶。三、符号的说明乡（镇）A、B、C、.O、P、Q村1、2、3、.34、35巡视组组数第组的最短路程巡视人员在乡（镇）的巡视时间T巡视人员在村的巡视时间t汽车行驶速度v直接巡视完第j点所需要的时间均衡度四、建立模型与求解3.1模型分析问题一，只从路程上考虑，要使得总的路程最短且尽量分布均匀，即每组所走的路程尽量短且相差尽量

5、小。对于此问题我们先考虑大致分出各组的巡视路线，寻找较优的一些解；再从这些解中综合考虑使得每组所走路程相差不大的解，从中得出最优解。由于原图较复杂，对于巡视组的大致划分，我们可以利用原图的最小生成树（县城为树根）原理，首先用破圈法找出从O到各个地方的最短路径的树图。其次在对树图的树枝进行编号，最后讨论其分组：将其大致划分为三个部分，得出最优方案找出最小生成树后从中寻求每个部分的最短路，最终比较得出最优解。问题二，从时间上考虑，已知条件有T=2,t=1, 汽车行驶速度 V=35 公里/小时，全县共17乡（镇）（除O外），34个村，仅停留时间共需小时，若分为三组，每组平均用时需23小时，加上距离一

6、定会大于24小时，所以用三组不能够在24小时内完成巡视。故至少需要考虑分为四组，再利用树状图大致划分出这四组，找出最优解。问题三：考虑在时间限制条件下的最优解。事实上是在时间参数条件下给定的，完成巡视的最短时间受到单独巡视完离县城最远的乡（镇）或最远村所需时间得限制。采用一题中图上Dijkstra算法，可以求得从县城到各点的最短距离，进而在分组细分，得出最优模型。3.2模型的建立与求解 本题的第一问，要求设计分三组巡视时使总路程最短且各组尽可能均衡的路线。转化为在给定的加权网络图中寻找从点出发，行遍所有顶点至少一次再回到点，使得总路程最小的问题。记三组的巡视路线长度从小到大分别为、,则需要求解

7、此问题的目标数学表达式关系为： 以及 但是由于这两个目标是相互矛盾的，即不可能同时达到最小；因此在求解时因注意在两者兼顾的条件下寻找最优解。为了避免繁杂，我们将这两个目标表达式转换成另一个较合理的目标表达式： 根据前面的分析，首先运用破圈法找出从县政府通往各乡（镇)、村的最短路径，并对其分支编号，最后得出下图：过程见附录程序1图1有上图容易将图大致分为三部分，要使得三组巡视时使总路程尽量最短，我们容易找到两种分法如下：分法1：（6,1），（2,3），（5,4）如图：分法1对于分法一的求解：组名路 线路线长总路线长一O-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-15-I-18-

8、K-21-20-25-M-O191.1599.8二O-2-5-6-7-E-9-F-12-H-14-13-G-11-J-19-L-6-5-2-O216.4三O-E-29-Q-30-32-31-33-35-34-A-1-B-C-3-D-3-2-O192.3分法2：（1,2），（3,4），（5,6）如下图：分法2对于分法二的求解：组名路 线路线长总路线长一O-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-18-K-21-20-25-M-O191.1558.5二O-2-5-6-L-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-7-E-8-4-D-3-C-O241.9三O-R-29

9、-Q-30-32-31-33-35-34-A-B-1-O125.5对他们的求解过程详见附录中程序2从以上两表可以得出，从总路程长度考虑应当选择方案二，但从路程的均衡方面看，应当选择方案一。由此，我们引进衡量路程均衡的均衡度：定义：均衡度对于分法一，均衡度 对于分法二，均衡度 显然分法二的均衡度很差，二分法一的均衡度较好，经综合考虑我们最终选择分法一方案。即每组所走路程分别为：191.1公里；216.4公里；192.3公里， 总路程为 599.8公里对于第二问：首先还是利用最小生成树的分解法 ，将原图分解成树图，如上题中的图1 ；四组时同三组类似，首先我们把树图分成四部分，使得每组在自己的巡视区

10、域中停留时间尽量相等，且让每组所走区域相对集中。由于题中共有17个乡镇和35个村，停留时间共需要：小时， 因此每个组大约停留的时间为小时那么首先考虑区域的划分，使得每个组停留的时间在17小时左右，由这一条件，经综合分析后将原图大致划分为四个子图，如下图所示：最后再考虑路程，其方法是通过增边、换边等策略来找尽量短回路，其回路如图所示：各组巡视情况如下表：组名路线路线长度停留时间行走时间完成总时间1O-2-5-6-7-E-11-G-12-H-12-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O195.8175.5922.592O-(R)-29-Q-30-Q-28-27-26-N-24-23-22-17-

11、16-17-(R)199.2165.6921.693O-M-25-20-21-K-18-I-15-14-13-J-19-L-6-O159.1184.5422.544O-R-A-33-31-32-35-34-B-I-C-3-D-A-D-3-O166384.7422.74问题三如下图所示：在O点至所有点的最短距离中，O到H的距离最长，为77.5公里。那么，可以从O点出发，沿最短路线到达H点巡视，然后原路返回，沿途经过的点一律不停，所用的时间为：小时，H离O最远又代表县城，故这是在所给条件下完成的最短时间。所以完成巡视至少要用6.43小时。那么，根据这个时间限制再找出最佳巡视路线。起作法如下：（1）

12、对于H点按上述最短路方法巡视，记为第一组；（2）对第二组，从次远点考虑。次远点为14点，时间为小时，而，可见，这一组还可以顺便巡视一个村，在这条路上13与14相邻，那么，巡视13点，时间为6.16小时。如图：（3）第三组，再从次远点15考虑，从O到15点的最短时间为,由于，可见，这组可再巡视一村，从路中的相邻点中找出一伟巡视点18，因此所用时间为5.94小时。如下图：（4）第四组，再从次远点10考虑，从O到10点的最短时间为,由于，可见，这组可再巡视一村，经过综合考虑选择出点8，因此所用时间为6.22小时。如下图：以后的各组可以类似地检验得出。即对点，计算出及，若，不再加点：若，则可以加一个村

13、；若，则可加乡或者村。由此找，最后我们找出22组，其结果如下表：组号巡视路线停留点所用时间1 O-2-5-6-7-E-9-F-12-H-12-F-9-E-7-6-5-2-OH6.432 O-2-5-6-L-19-J-13-14-13-J-19-L-6-5-2-O14、136.163O-M-25-21-K-18-I-15-I-K-21 -25-M-O15、185.944O-2-5-6-7-E-8-E-9-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O10、86.225O-M-25-21-K-17-16-17-K-21-25-M-O16、175.4456O-2-5-6-7-E-9-F-12-6-11-E

14、-7-6-5-2-O12、115.8457O-M-25-21-K-21-20-25-M-OK、205.8678O-2-5-6-7-E-11-G-11-E-7-6-5-2-OG5.5829O-M-25-21-K-18-I-18-K-21-25-M-OI5.4910O-2-5-6-L-19-J-19-L-6-5-2-OJ、196.10211O-2-5-6-7-E-9-F-9-E-7-6-5-2-OF、96.14812O-2-5-6-L-6-5-2-OL、6、56.22813O-2-5-6-7-E-7-6-5-2-OE、7、26.38214O-M-25-21-25-M-O21、M、256.26215

15、O-P-26-N-23-22-23-24-N-26-P-O22、23、246.3016O-P-26-N-26-27-26-P-O27、26、N6.2317O-R-29-Q-30-Q-28-P-OQ、30、286.1118O-R-31-32-35-34-A-1-O31、32、34、356.3219O-1-A-53-31-R-29-R-OA、33、295.9720O-2-3-D-4-D-3-2-O4、D、35.9921O-P-Q-R-OP、R5.3222O-1-B-C-O1、B、C5.98五、模型评价 该模型做出了题中给出要求的一些较优的解，但没有找出每个模型的最优意义解，在寻找解时，采用的是图形

16、，运用的是图论的一些基本方法，没有给出数学表达式的限制条件，而是采取直接从图中寻求优解。参 考 文 献1 钱颂迪主编，运筹学，清华大学出版社，1990年2 肖位枢主编，图论及其算法，航空工业出版社，1993年3 王树禾主编，数学模型基础，中国科学技术大学出版社，1996年4 叶其孝主编，大学生建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1998年附录程序1, 求最小生成树：T=;l=0;%l记录T的列数q(1)=-1;for i=2:n p(i)=1;q(i)=D(i,1);endk=1;while 1 if k=n disp(T); break; else min=inf; for i=2:n if

17、q(i)0&q(i)min min=q(i); h=i; end end end l=l+1; T(1,l)=h;T(2,l)=p(h); q(h)=-1; for j=2:n if D(h,j)q(j) q(j)=D(h,j); p(j)=h; end end k=k+1;end程序二，求每组的最短路程序：function S,D=minRoute(i,m,W)%图与网络论中求最短路径的Dijkstra算法 M-函数%格式 S,D=minroute(i,m,W)% i为最短路径的起始点,m为图顶点数,W为图的带权邻接矩阵，% 不构成边的两顶点之间的权用inf表示。显示结果为：S的每% 一列从

18、上到下记录了从始点到终点的最短路径所经顶点的序号；% D是一行向量，记录了S中所示路径的大小;%例如% clear;w=inf*ones(6);w(1,3)=10;w(1,5)=30;% w(1,6)=100;w(2,3)=5;w(3,4)=50;w(4,6)=10;% w(5,4)=20;w(5,6)=60;% i=1;s,d=minroute(i,6,w)% By X.D. Ding June 2000dd=;tt=;ss=;ss(1,1)=i;V=1:m;V(i)=;dd=0;i;% dd的第二行是每次求出的最短路径的终点，第一行是最短路径的值kk=2;mdd,ndd=size(dd);

19、while isempty(V) tmpd,j=min(W(i,V);tmpj=V(j); for k=2:ndd tmp1,jj=min(dd(1,k)+W(dd(2,k),V); tmp2=V(jj);tt(k-1,:)=tmp1,tmp2,jj; end tmp=tmpd,tmpj,j;tt;tmp3,tmp4=min(tmp(:,1); if tmp3=tmpd, ss(1:2,kk)=i;tmp(tmp4,2); else,tmp5=find(ss(:,tmp4)=0);tmp6=length(tmp5); if dd(2,tmp4)=ss(tmp6,tmp4) ss(1:tmp6+1,kk)=ss(tmp5,tmp4);tmp(tmp4,2); else, ss(1:3,kk)=i;dd(2,tmp4);tmp(tmp4,2); end;end dd=dd,tmp3;tmp(tmp4,2);V(tmp(tmp4,3)=; mdd,ndd=size(dd);kk=kk+1;end; S=ss; D=dd(1,:);