最新初中数学竞赛专项训练找规律题方案优秀名师资料.docx

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最新初中数学竞赛专项训练找规律题方案优秀名师资料

初中数学竞赛专项训练--找规律题[方案]

观察——归纳—猜想——找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题

的思路是实施特殊向一般的简化;具体方法和步骤是:

（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳;

（2）猜想符合规律的一般性结论;

（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.

一、数字类

基本技巧

（一）标出序列号:

例如，观察下列各式数:

0，3，8，15，24，……。

我们把有关的量放在一起加以比较:

给出的数:

0，3，8，15，24，……。

序列号:

1，2，3，4，5，……。

2n容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是-1

（二）公因式法:

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。

2（2n,1）例如:

1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（），1，2，3，4，5（。

。

。

。

。

。

，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。

（三）增副

A:

2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18

3答案与3有关且是n的3次幂，即:

n+1

n2B:

2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即:

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用

（一）、

（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例:

2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列:

0、3、8、15、24……，

序列号:

1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，

22n,1n,1以此类推，得到第n个数为。

再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得

2n，1到原数列第n项

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例:

4，16，36，64，,，144，196，…,（第一百个数）

2同除以4后可得新数列:

1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n，原数列

2是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n，则求出第一百个数为

24*100=40000

（一）等差数列

例题:

2，5，8，（）。

例题5:

12，15，18，（），24，27。

A.20B.21C.22D.23

（二）等比数列

例题1:

2，1，1/2，（）。

A.0B.1/4C.1/8D.-1

例题2:

2，8，32，128，（）。

（三）平方数列

1、完全平方数列:

，4，9，16，25正序:

1

逆序:

100，81，64，49，36

2、一个数的平方是第二个数。

1）直接得出:

2，4，16，（256）

解析:

前一个数的平方等于第二个数，答案为256。

2）一个数的平方加减一个数等于第二个数:

1，2，5，26，（677）前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。

3、隐含完全平方数列:

1）通过加减一个常数归成完全平方数列:

0，3，8，15，24，（35）

前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35

2）相隔加减，得到一个平方数列:

例:

65，35，17，（3），1

A.15B.13C.9D.3

解析:

不难感觉到隐含一个平方数列。

进一步思考发现规律是:

65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现:

奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。

*（四）立方数列

立方数列与平方数列类似。

例题1:

1，8，27，64，（125）

解析:

数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。

例题2:

0，7，26，63，（124）

解析:

前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。

（五）、加法数列

数列中前两个数的和等于后面第三个数:

n1+n2=n3

例题1:

1，1，2，3，5，（8）。

A8B7C9D10

解析:

第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3+5=8答案为A。

例题2:

4，5，（9），14，23，37

A6B7C8D9

解析:

与例一相同答案为D

例题3:

22，35，56，90，（145）99年考题

A162B156C148D145

解析:

22+35-1=56，35+56-1=90，56+90-1=145，答案为D

（六）、减法数列

前两个数的差等于后面第三个数:

n1-n2=n3

例题1:

6，3，3，（0），3，-3

A0B1C2D3

解析:

6-3=3，3-3=0，3-0=3，0-3=-3答案是A。

（提醒您别忘了:

“空缺项在中间，从两边找规律”）

（七）、乘法数列

1、前两个数的乘积等于第三个数

例题1:

1，2，2，4，8，32，（256）

前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。

例题2:

2，12，36，80，（）（2007年考题）

A.100B.125C.150D.175

222，31，2解析:

2×1，3×4，4×9，5×16自然下一项应该为6×25,150选C，此题还可以变形为:

，，

222n，（n，1），53，44，…..,以此类推，得出

2、两数相乘的积呈现规律:

等差，等比，平方等数列。

例题2:

3/2，2/3，3/4，1/3，3/8（A）（99年海关考题）

A1/6B2/9C4/3D4/9

解析:

3/2×2/3=12/3×3/4=1/23/4×1/3=1/41/3×3/8=1/83/8×?

=1/16答案是A。

（八）、除法数列

与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式:

1、两数相除等于第三数。

2、两数相除的商呈现规律:

顺序，等差，等比，平方等。

（九）、质数数列

，3，5，7，11，13，17，19…由质数从小到大的排列:

2

（十）、循环数列

几个数按一定的次序循环出现的数列。

例:

3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4

以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。

1、二级数列

这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。

例1:

26122030（42）

A.38B.42C.48D.56

解析:

后一个数与前个数的差分别为:

4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。

例2:

2022253037（）

A.39B.45C.48D.51

解析:

后一个数与前一个数的差分别为:

2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C。

例3:

25112032（47）

A.43B.45C.47D.49

解析:

后一个数与前一个数的差分别为:

3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。

例4:

4571l19（35）

A.27B.31C.35D.41

解析:

后一个数与前一个数的差分别为:

1，2，4，8这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。

例5:

34716（43）

A.23B.27C.39D.43

解析:

后一个数与前一个数的差分别为:

1，3，9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。

例6:

3227232018（17）

A.14B.15C.16D.17

解析:

后一个数与前一个数的差分别为:

-5，-4，-3，-2这显然是一个等差数列，因而要选的答案与

18的差应该是-1，所以答案应该是D。

例7:

1，4，8，13，16，20，（25）

A.20B.25C.27D.28

解析:

后一个数与前一个数的差分别为:

3，4，5，3，4这是一个循环数列，因而要选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是B。

例8:

1，3，7，15，31，（63）

A.61B.62C.63D.64

解析:

后一个数与前一个数的差分别为:

2，4，8，16这显然是一个等比数列，因而要选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C。

例9:

（69），36，19，10，5，2

A.77B.69C.54D.48

解析:

前一个数与后一个数的差分别为:

3，5，9，17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应该是B。

，2，6，15，31，（56）例10:

1

A.53B.56C.62D.87

解析:

后一个数与前一个数的差分别为:

1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。

例11:

1，3，18，216，（5184）

A.1023B.1892C.243D.5184

解析:

后一个数与前一个数的比值分别为:

3，6，12这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D:

216*24=5184。

例12:

-21716（28）43

A.25B.28C.3lD.35

解析:

后一个数与前一个数的差值分别为:

3，6，9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。

例13:

1361015（）

A.20B.21C.30D.25222解析:

相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即:

1+3=4=2，6+10=16=4，则15+,=36=6呢，答案应该是B。

例14:

102，96，108，84，132，（36），（228）

解析:

后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面的数应为-96，132-96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。

二、设计类

【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

三、动态类

【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A，A，A，„。

123若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A点到A点的回形线为第2圈，„„，依此类推。

则12

第10圈的长为。

【例4】已知甲运动方式为:

先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为:

先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P，第2次从点P出发按乙方式运动到点P，第3次从点112P出发再按甲方式运动到点P，第4次从点P出发再按乙方式运动到点P,„„。

依此运动规律，则经过2334

第11次运动后，动点P所在位置P的坐标是。

11

解析:

【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，„„归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10,79。

【例4】（,3，,4）

四、计算类

【例10】观察下列等式:

，„„则第n个等式可以表示为。

解析:

【例10】

【例11】观察下列各式:

，，

，„„根据前面的规律，得:

。

（其中n为正整数）

解析:

【例11】

【例12】观察下列等式:

观察下列等式:

4,1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，„„这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n?

1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为。

解析:

【例12】（n?

1，n表示了自然数）

五、图形类

【例13】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。

观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有个。

解析:

【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4,4，第二个正方形的正点数有3×4,4,8，第三个正方形的整点数为4×4,4,12个，„„故第10个正方形的整点数为11×4-4,40，

【例14】“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。

按此规律，第六个图案中应种植乙种植物株。

【例14】第一个图案中以乙中植物有2×2,4个，第二个图案中以乙中植物有3×3,9个，第三个图案中以乙中植物有4×4,16个，„„故第六个图案中以乙中植物有7×7,49个.

练习

一、数字排列规律题

1、观察下列各算式:

2221+3=4=21+3+5=9=3，1+3+5+7=16=4

按此规律

（1）试猜想:

1+3+5+7+…+2005+2007的值,

（2）推广:

1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少,2、下面数列后两位应该填上什么数字呢,23581217____3、请填出下面横线上的数字。

112358____21

4、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第100个数是什么,

5、有一串数字36101521___第6个是什么数,6、观察下列一组数的排列:

1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、„，那么第2005个数是（）.

A（1B（2C（3D（4

7、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为_________个（二、几何图形变化规律题

1、观察下列球的排列规律（其中?

是实心球，?

是空心球）:

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

„„

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个（

2、观察下列图形排列规律（其中?

是三角形，?

是正方形，?

是圆），?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是（填图形名称）.

三、数、式计算规律题

1、已知下列等式:

32?

1,1;

332?

1，2,3;

3332?

1，2，3,6;

33332?

1，2，3，4,10;

由此规律知，第?

个等式是（、观察下面的几个算式:

2

1+2+1=4，

1+2+3+2+1=9，

1+2+3+4+3+2+1=16，

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，„

根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果:

1+2+3+„+99+100+99+„+3+2+1=____.

1，，n,nn，13、1+2+3+„+100,,经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+„+，其中,是正整数.2

，，nn，1现在我们来研究一个类似的问题:

1×2+2×3+„,,观察下面三个特殊的等式

1，，1，2,1，2，3,0，1，23

1，，2，3,2，3，4,1，2，33

1，，3，4,3，4，5,2，3，43

2.正弦：

1，3，4，5,20将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4,3

读完这段材料，请你思考后回答:

（3）若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）1，2，2，3，？

，100，101,?

?

，，，，1，2，3，2，3，4，？

，nn，1n，2,

?

，，，，1，2，3，2，3，4，？

，nn，1n，2,

1、在现实的情境中理解数学内容，利用学到的数学知识解决自己身边的实际问题，获得成功的体验，增强学好数学的信心。

223344552222已知:

2，,2，，3，,3，，4，,4，，5，,5，，4、338815152424

bb2„，若10，,10，符合前面式子的规律，则a，b,aa

13.1—3.4入学教育1加与减

（一）1P2-3参考答案:

1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。

22一、1、

（1）1004

（2）（n+1）

2、2330。

数列中每两个相邻数字间的差分别是1，2，3，4，5，6，7。

3、13。

这一数列后面一个数是前面相邻两个数的和。

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

4、34。

考虑时，可以从第一个数开始，每3个数加一个括号（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），……一共加了33个括号，剩下的一个必是第100个。

每个括号的第一个数分别是1，2，3，……因此第100个数必然是34。

1、会数、会读、会写100以内的数;在具体情境中把握数的相对大小关系;能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。

5、28。

3+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=28,所以第6个是28。

其实一般这类的规律题无非就是在数的基础上加减乘除，有些麻烦点的就是一个数乘上倍数后在加1或减1。

6、A7、33

二、1、6022、圆

333332三、1、1，2，3，4，5,15

②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；2、10000

（6）直角三角形的外接圆半径111，，，，，，，，，，nn，1n，2nn，1n，2n，33，100，101，102、?

343400或?

?

343

①垂直于切线;②过切点;③过圆心.4、109.