新必修二 82 立体图形的直观图斜二测画法 教案+练习.docx
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新必修二82立体图形的直观图斜二测画法教案+练习
8.2立体图形的直观图（斜二测画法）
【要点梳理】
要点一、平行投影（选讲）
1．中心投影
我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．
2．平行投影
我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．
3．中心投影与平行投影的区别与联系
（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．
（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．
要点二、斜二测画法
在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．
要点诠释：
用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．
要点三、立体图形的直观图
（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤
①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；
②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；
③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；
④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；
⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．
（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：
轴上）的线段，其平行性和长度都不变．
（4）三视图与直观图的联系与区别
三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：
①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．
②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．
要点四、已知三视图画直观图
三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．
由三视图画直观图，一般可分为两步：
第一步：
想象空间几何体的形状．
三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．
正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体。
每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：
（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；
（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；
（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．
第二步：
利用斜二测画法画出直观图．
当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．
【典型例题】
类型一、平行投影与中心投影
例1．下列命题中正确的是（）
A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心
【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．
举一反三：
【变式1】有下列说法：
①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
类型二、空间几何体的直观图
例2．画出水平放置的等边三角形的直观图.
【总结升华】斜二测画法的作图技巧：
1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；
2.在原图中平行于
轴和
轴的线段在直观图中仍然平行于
轴和
轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；
3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面
垂直的
轴，平行于
轴的线段长度保持不变.
举一反三：
【变式1】已知正角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A＇B＇C＇的面积为（）
A．
B．
C．
D．
【总结升华】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可．反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的．
例3．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC中最长的边为________．
举一反三：
【变式1】如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，B′O′＝O′C′＝C′A′，则原△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．等腰非直角三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
例4．画出底面为边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图．
【总结升华】本题主要考查空间几何体的直观图的画法．解题的关键是先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二测画法的规则及步骤画出直观图．建系后观察哪些线段分别与x、y、z轴平行或重合，找到对应顶点即可．
例5．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图．
例6．根据三视图（如下图），画出物体的直观图．
【巩固练习】
1．在下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的命题的个数是（）．
①相等的角在直观图中对应的角仍相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．以正方形相邻两边为坐标轴建立直角坐标系，在这一坐标系下用斜二测画法画出的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）．
A．16B．64C．16或64D．以上都不对
3．水平放置△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A＇B＇C＇，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形
4．如下图所示为一个平面图形的直观图，则此平面图可能是下列选项中的（）
5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，
原三角形的面积为________．
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图，已知A＇C＇=3，B＇C＇=2，则A＇B＇边上的中线的实际长度为________．
7．如下图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
8．如图，正方形
的边长为
，它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.
8.2立体图形的直观图（答案）
【典型例题】
类型一、平行投影与中心投影
例1．下列命题中正确的是（）
A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心
【答案】D【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正确．两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条直线的投影不可能平行，故C错．
两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．
【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．
举一反三：
【变式1】有下列说法：
①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
类型二、空间几何体的直观图
例2．画出水平放置的等边三角形的直观图.
【解析】画法，如图：
（1）在三角形ABC中，取AB所在直线为x轴，AB边的高所在直线为y轴；画出相应的
轴和
轴，两轴交于点
，且使
；
（2）以
为中点，在
轴上取
，在
轴上取
；
（3）连接
、
，并擦去辅助线
轴和
轴，便获得正△ABC的直观图△
.
【总结升华】斜二测画法的作图技巧：
1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；
2.在原图中平行于
轴和
轴的线段在直观图中仍然平行于
轴和
轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；
3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面
垂直的
轴，平行于
轴的线段长度保持不变.
举一反三：
【变式1】已知正角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A＇B＇C＇的面积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A＇B＇C＇的边长及夹角求解．
如上图
（1）、
（2）所示的实际图形和直观图．由图
（2）可知，A＇B＇=AB=a，
，在图
（2）中作C＇D＇⊥A＇B＇于D＇，则
．
∴
．
【总结升华】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可．反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的．
例3．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC中最长的边为________．
答案：
AC
【解析】由图知B′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，则原图中BC∥y轴，则∠ABC＝90°，
AC为Rt△ABC的斜边，故AC是△ABC中最长的边．
举一反三：
【变式1】如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，B′O′＝O′C′＝C′A′，则原△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．等腰非直角三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
答案：
D
【解析】建立平面直角坐标系，在x轴上截取BO＝CO＝B′O′，过C作y轴平行线并在上面截取AC＝2OC，连接AB，则得△A′B′C′的原△ABC，如图所示，由于AC⊥BC，且AC＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形
例4．画出底面为边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图．
【解析】
（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，∠xOy=45°（或135°），∠xOz=90°，如下图
（1）．
（2）画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB=1.2cm，EF＇=0.6cm．
（3）画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP=1.5cm．
（4）成图．顺次连接以、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图
（2）．
【总结升华】本题主要考查空间几何体的直观图的画法．解题的关键是先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二测画法的规则及步骤画出直观图．建系后观察哪些线段分别与x、y、z轴平行或重合，找到对应顶点即可．
例5．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图．
【解析】这个几何体（部件）是一个简单的组合体，可以先画出下面的圆柱，再画出上面的圆锥．
画法：
（1）如下图
（1）所示，画x轴、，y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．（底面是圆，可以不用画y轴，参考新版教材P110例3）
（2）画圆柱的两底面．按x、y轴画出底面⊙O，使直径为3cm（以O为中点，在X轴上取线段AB，使OA=OB=1.5cm，利用椭圆模型画椭圆，使其经过A、B两点。
这个椭圆就是下底面），在z轴上截取OO＇，使OO＇=3cm，过O＇作Ox的平行线O＇x＇，Oy的平行线O＇y＇，利用O＇x＇与O＇y＇画出底面⊙O＇，使其直径为3cm．
（3）画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO＇等于圆锥的高3cm．
（4）成图．连接A＇A、B＇B、PA＇、PB＇，擦去辅助线，得到此几何体（部件）的直观图，如下图
（2）所示．
【总结升华】解此类题，首先要根据题目中的条件、尺寸想象出实物模型，然后建立坐标系，按直观图的画法，作出其对应的直观图．
例6．根据三视图（如下图），画出物体的直观图．
【解析】
（1）画轴．建立空间直角坐标系，使∠xOy=45°，∠xOz=90°，如右图．（可以不建立y轴）
（2）画圆柱的两底面和圆台的上底面．画出底面圆O，在z轴上截取O＇，使OO＇等于三视图中相应高度．过O＇作Ox的平行线O＇x＇，Oy的平行线O＇y＇，利用O＇x＇与O＇y＇画出底面圆O＇（与画圆O一样），在z轴上截取O″，使O＇O″与三视图中O＇O″等高．过O″作Ox的平行线O″x″，Oy的平行线O″y″，作圆O″．
（3）成图．连接AA＇，A＇A″，B″B＇，B＇B，整理得到三视图所表示的立体图的直观图，如右图所示．
【巩固练习】
1．在下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的命题的个数是（）．
①相等的角在直观图中对应的角仍相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【解析】由斜二测画法的定义知，③④正确．
2．以正方形相邻两边为坐标轴建立直角坐标系，在这一坐标系下用斜二测画法画出的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）．
A．16B．64C．16或64D．以上都不对
【答案】C【解析】此平行四边形的一边长是4，如果是在
轴正半轴上的边长是4，则平行四边形的另一边长是2，那么这时平行四边形的面积是16；如果是在
轴上的边长是4，则行四边形的另一边长是8，那么这时平行四边形的面积是64，故选C．
3．水平放置△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A＇B＇C＇，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形
【答案】C【解析】将△A＇B＇C＇还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．
4．如下图所示为一个平面图形的直观图，则此平面图可能是下列选项中的（）
【答案】C【解析】很明显平面图形是梯形，在直观图中，右边的线段与y＇轴平行，因此平面图形的上底与右边的腰应垂直．
5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．
【答案】
【解析】如右图，由底边长A＇B＇=1，
，那么原来的高线为
，则原三角形的面积
．
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图，已知A＇C＇=3，B＇C＇=2，则A＇B＇边上的中线的实际长度为________．
【答案】
【解析】由于直观图中，∠A＇B＇C＇=45°，则在原图形中∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB=5，故斜边上的中线长为
．
7．如下图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
【解析】由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．
画法：
（1）画轴．如下图
（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．
（2）画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO＇，使OO＇等于三视图中相应高度，过O＇作Ox的平行线O＇x＇，Oy的平行线O＇y＇，利用O＇x＇与O＇y＇画出上底面A＇B＇C＇D＇，如上图
（1）．
（3）画正四棱锥的顶点，在Oz上截取点P，使PO＇等于三视图中相应的高度，如上图
（1）．
（4）成图．连接PA＇、PB＇、PC＇、PD＇、A＇A、B＇B、C＇C、D＇D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如上图
（2）．
8．如图，正方形
的边长为
，它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.
【解析】逆向运用斜二测画法规则：
“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y轴的为垂直.
如图，建立直角坐标系
在
轴上取
；
在
轴上取
；
在过点
的
轴的平行线上取
.
连接
各点，即得到了原图形.
由作法可知，
为平行四边形，
∴平行四边形OABC的周长为
，
面积为
.
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