高中数学 必修1第一章 集合与函数概念 131第1课时.docx

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高中数学必修1第一章集合与函数概念131第1课时

1.3.1　单调性与最大（小）值

第1课时　函数的单调性

学习目标

　1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.

知识点一　函数的单调性

思考　画出函数f（x）＝x、f（x）＝x2的图象，并指出f（x）＝x、f（x）＝x2的图象的升降情况如何？

答案　两函数的图象如下：

函数f（x）＝x的图象由左到右是上升的；函数f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.

梳理　一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义：

设函数f（x）的定义域为I：

（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.

知识点二　函数的单调区间

思考　我们已经知道f（x）＝x2的减区间为（－∞，0]，f（x）＝

的减区间为（－∞，0），这两个减区间能不能交换？

答案　f（x）＝x2的减区间可以写成（－∞，0），而f（x）＝

的减区间（－∞，0）不能写成（－∞，0]，因为0不属于f（x）＝

的定义域.

梳理　一般地，有下列常识：

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.

（2）单调区间D⊆定义域I.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大.

类型一　求单调区间并判断单调性

例1　如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解　y＝f（x）的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f（x）在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.

反思与感悟　函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.

跟踪训练1　写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性.

解　先画出f（x）＝

的图象，如图.

所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有（－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞），其中单调减区间是（－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞）.

类型二　证明单调性

命题角度1　证明具体函数的单调性

例2　证明f（x）＝

在其定义域上是增函数.

证明　f（x）＝

的定义域为[0，＋∞）.

设x1，x2是定义域[0，＋∞）上的任意两个实数，且x1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＝

.

∵0≤x1

＋

>0，

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴f（x）＝

在它的定义域[0，＋∞）上是增函数.

反思与感悟　运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1

取值→作差→变形→定号→小结.

跟踪训练2　求证：

函数f（x）＝x＋

在[1，＋∞）上是增函数.

证明　设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1

－（x2＋

）

＝（x1－x2）＋（

－

）＝（x1－x2）＋

＝（x1－x2）（1－

）＝（x1－x2）（

）.

∵1≤x1

∴

>0，故（x1－x2）（

）<0，

即f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴f（x）＝x＋

在区间[1，＋∞）上是增函数.

命题角度2　证明抽象函数的单调性

例3　已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：

函数f（x）在R上是增函数.

证明　方法一　设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.

f（x1）－f（x2）＝f（x＋y）－f（y）＝f（x）＋f（y）－1－f（y）＝f（x）－1.∵x>0，∴f（x）>1，f（x）－1>0，

∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.

∴函数f（x）在R上是增函数.

方法二　设x1>x2，则x1－x2>0，

从而f（x1－x2）>1，即f（x1－x2）－1>0.

f（x1）＝f[x2＋（x1－x2）]＝f（x2）＋f（x1－x2）－1>f（x2），故f（x）在R上是增函数.

反思与感悟　因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f（x1）－f（x2），但可以借助题目提供的函数性质来确定f（x1）－f（x2）的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.

跟踪训练3　已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0

f（x）在R上是减函数.

证明　∵对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），令m＝1，n＝0，可得f

（1）＝f

（1）·f（0），

∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f

（1）≠0，∴f（0）＝1.

令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f（m＋n）＝f（0）＝f（－x）·f（x）＝1，∴f（x）f（－x）＝1，

又∵－x＞0时，0＜f（－x）＜1，

∴f（x）＝

＞1.

∴对任意实数x，f（x）恒大于0.

设任意x10，

∴0

∴f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）f（x1）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<0，

∴f（x）在R上是减函数.

类型三　单调性的应用

命题角度1　利用单调性求参数范围

例4　若函数f（x）＝

是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（　　）

A.[

，

）

B.（0，

）

C.[

，＋∞）

D.（－∞，

]∪[

，＋∞）

答案　A

解析　要使f（x）在R上是减函数，需满足：

解得

≤a＜

.

反思与感悟　分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.

跟踪训练4　已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________.

答案　a≤1或a≥2

解析　由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞），减区间为（－∞，a]，而f（x）在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a，＋∞）或[1,2]⊆（－∞，a]，即a≤1或a≥2.

命题角度2　用单调性解不等式

例5　已知y＝f（x）在定义域（－1,1）上是减函数，且f（1－a）

解　f（1－a）

解得0

，

即所求a的取值范围是0

.

反思与感悟　若已知函数f（x）的单调性，则由x1，x2的大小，可得f（x1），f（x2）的大小；由f（x1），f（x2）的大小，可得x1，x2的大小.

跟踪训练5　在例5中若函数y＝f（x）的定义域为R，且为增函数，f（1－a）

解　∵y＝f（x）的定义域为R，且为增函数，

f（1－a）

，

∴所求a的取值范围是（

，＋∞）.

1.函数y＝f（x）在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是（　　）

A.[－2,0]B.[0,1]

C.[－2,1]D.[－1,1]

答案　C

2.函数y＝

的减区间是（　　）

A.[0，＋∞）B.（－∞，0]

C.（－∞，0），（0，＋∞）D.（－∞，0）∪（0，＋∞）

答案　C

3.在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2）的是（　　）

A.f（x）＝x2B.f（x）＝

C.f（x）＝|x|D.f（x）＝2x＋1

答案　B

4.已知函数y＝f（x）满足：

f（－2）>f（－1），f（－1）

A.函数y＝f（x）在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增

B.函数y＝f（x）在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减

C.函数y＝f（x）在区间[－2,0]上的最小值是f（－1）

D.以上的三个结论都不正确

答案　D

5.若函数f（x）在R上是减函数，且f（|x|）>f

（1），则x的取值范围是（　　）

A.x<1B.x>－1

C.－11

答案　C

1.若f（x）的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f（x）在A和B上都单调递减，未必有f（x）在A∪B上单调递减.

2.对增函数的判断，对任意x1

（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0或

>0.对减函数的判断，对任意x1f（x2），相应地也可用一个不等式来替代：

（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<0或

<0.

3.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.

4.若f（x），g（x）都是增函数，h（x）是减函数，则：

①在定义域的交集（非空）上，f（x）＋g（x）单调递增，f（x）－h（x）单调递增，②－f（x）单调递减，③

单调递减（f（x）≠0）.

5.对于函数值恒正（或恒负）的函数f（x），证明单调性时，也可以作商

与1比较.

课时作业

一、选择题

1.函数y＝

的单调减区间是（　　）

A.（－∞，1），（1，＋∞）B.（－∞，1）∪（1，＋∞）

C.{x∈R|x≠1}D.R

答案　A

解析　单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当.故选A.

2.如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（　　）

A.

>0

B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0

C.若x1

D.

>0

答案　C

解析　因为f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1

3.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3,1）是其图象上的两点，那么－1

A.（－3,0）

B.（0,3）

C.（－∞，－1]∪[3，＋∞）

D.（－∞，0]∪[1，＋∞）

答案　B

解析　由已知f（0）＝－1，f（3）＝1，

∴－1