空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案.docx
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空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案
【巩固练习】
-、选择题
1.设平面内两个向量的坐标分别为（1,2,1）,（-1,1,2）,则下列向量中是平面的法向
量的是（）
A.（-1,-2,5）
B.（-1,1,-1）
2.如图,
ABCD—AtBQQt是正方体，
B1E1=D1F1=
4
C.（1,1,1）
A1B1
D.（1,-1,-1）
，则BE与DF!
所成角的余弦值是
15
17
B.
C.
D.
3.如图,
ABiG—ABC是直三棱柱,
BCA90，点
D1、F1分别是
BC
CACCi，则BDi与AFi所成角的余弦值是（
■30
A.-
10
1
B.-
2
30
C.-
15
、15
D.-
10
AB1、
4.若向量a
（1,,2）与b
（2,
1,2）的夹角的余弦值为
8，则
9
B.
2
C.2或
55
D.2或—
55
5.在三棱锥
P—ABC中，AB
2
底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（
BC,AB=BC=PA，点0、D分别是AC、PC的中点，0P丄
21
A.-
6
83
B.-
3
C.—
60
4210
D.——
30
6.（2015秋湛江校级期末）在正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面内的投影SD的中点，且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是（
A.30°B.45°C.60°
1
7.在三棱锥P-ABC中，ABBC,AB=BC=—PA,点O、
2
）
D.75°
D分别是AC、PC的中点，0P丄
A.亘B.LlC•卫D.卫
636030
二、填空题
&若平面的一个法向量为n3,0，直线I的一个方向向量为b=111，则I与所成
角的余弦值为.
9•正方体ABCDABGDi中，E、F分别为AB、CG的中点，则异面直线EF与AG所成角的大小是.
10.已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC,
SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为.
11•如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等
腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45，则平面BDF和平面ABD的夹角余弦值
三、解答题
12•如图，点P在正方体ABCDABQQ的对角线上,
（I）求DP与GC所成角的大小；
（H）求DP与平面AADD!
所成角的大小.
13•如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2,BD2,AE,CF
都与平面ABCD垂直，AE1,CF2，求平面ABF与平面ADF的夹角大小14.如图
（1）,在RtAABC中，/C=90°BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE//BC,DE=2，将△ADE沿DE折起到△A,DE的位置，使A,CCD，如图
（2）.
（1）求证：
AQ丄平面BCDE;
⑵若M是AQ的中点，求CM与平面ABE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A!
DP与平面AiBE垂直说明理由.
15.（2016浙江理）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFEL平面ABC,/ACB=90°,BE
=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
（I）求证：
EF丄平面ACFD
（II）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】排除法•
平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零排除A,C,D,选项为B.
2.【答案】A
【解析】设正方体的棱长为1,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则
31
B（1,1，0），Ei（1,4,1），D（omF1（0，4,1）-
uuir31
所以，BE1（1-,1）（1,1,0）（0,-,1），
44
uuun11
DF1（0,—,1）（0,0,0）（0,-,1）,
44
15
1615
「17,1717
44
【解析】如图所示，以C为原点建立的空间直角坐标系,
则A1,0,0,B0,1,0,C10,0,1,A1,0,1,B10,1,1,
由中点公式可知，D11丄,1,F1丄,01,
222
uuu11nur1
BD12'J*1a,
4.【答案】C
设OD=SO=OA=OB=OCsf,
aa则A（a,0,0）,B（0,a,0）,C（-a,0,0）,P（0,--）,
22urnuuuaauju
则CA（2a,0,0）,AP（a,,）,CB（a,a,0）,
22
设平面PAC的一个法向量为n,
ruuuruuu
则nCA0,nAP0,
2ax0
2ay2az0
，可取n（0,1,1）,
uurr
二cosCB,n
uunr
CBn
-uuur-
|CB||n|
2a22
uuur
•CB,n60,
•••直线BC与平面PAC的夹角为故选Ao
7.【答案】
D
QOP平面ABC,OA
OAOB,OAOP,
【解析】
8.【答案】
90°—60°
OC，AB
OBOP.
=30°
BC,
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O
设AB
设OP
QPA
a,
h,则P
2a,
xyz如图，
自,0,0,B
o,自,。
C
于0,0.
0,0,h.
7a,
OD耳,0,丄a,
44
可求得平面PBC的法向量
miirrcosOD,n
uuirr
ODn
uuirir
ODn
"J
丽
30
设OD与平面PBC所成的角为，
则sin
miirrcosOD,n
210
30
【解析】由cosn,b
（3,3,0）（1,1,）
•3232、111
、.6
3
，知I与
所成角的余弦值为
9.【答案】30
【解析】以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2,0,0）,
则E（1，0,0），F（2,2，1），Ci（2,2，2），Ai（0,0，2），uuuuumr
•••EF（1,2,1）,ACi（2,2,0）,
uuuuuuuL
•cosEF,ACr屈ACu（佃1“2,。
）三,
IEFIIACI462T22
uuuuur
•cosEF,A1C130
SE交SE于F,连
【解析】
本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角
过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE过A作AF垂直于
•BC丄AF,AF丄SE•AF丄面SBC,
【解析】
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE,
所以AE丄AB.
又因为平面ABEF丄平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEFT平面ABCD=AB
0,1）,C（1,1,0）.
所以,
设平面BDF和平面ABD的夹角为，则
Muuu\|0033JH
coscosq,AE}————=.
\杵JU11
12.【解析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设DA为单位长，则
页=（ZQ）°
连结BD，RD，在平面BB1D1D内，延长DP,交BQ于点H，
设亠7=「7.（m>0），
由条件知，丄匸＞=60；
由丄•-'=土12=|二•*'=||二」二|cos<丄，—'A>
可得2m=
玄_（鱼,空1）
解得m=二.所以匸］-=
_乡。
+导0+化农
（I）因为COS<丄、>=一J:
所以<—匚，“丄>=：
，即DP与CG所成的角的大小是45°
（n）因为平面4他®的一个法向量是DC=（QSlr0）,
也x0+鸟1+1x0
__2了
又cos<—a,r?
>=1用J22,
所以二，即DP与平面AADD!
所成角的大小为60°
注意：
由于点P在正方体ABCDAiBiCiDi的对角线DiB上且/PDA=60°,直接设点P
的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的
位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法.显然尽管求解过程是用向
量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的
考查.
13.【解析】如图，以匚为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系
设平面ABF的法向量为"-1：
--'■'
则由
眄-AB=0,
得
［孚+”0,
2/42z=0
令"1，得卜=7叫三（-近*-1「1）
同理，可求得平面ADF的法向量®八八'一
0
所以平面ABF与平面ADF的夹角—.
2
由刼卫•£=（］,再£40一，可獰i
L-a-+2v=0.
幔设这样恂点P存在，设其坐标为働0卫h其申PE［Q”
设平面上］DP的法向量为w=［姑jjz）t则Wj4i£^0jnv3P>=0
xZb=〔oj-2V3）*函=0—工o\朋以
所以m=I、P花.平面其:
卫？
丄平面如£,当且仅爭的宵=仏閑4+誉+戸=0一
解得尸7与肚［0月矛盾・所以找段孔上不存在点F,便平面A-D?
平面.；至垂直.
15.【解析】
（I）延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
14.【解析】
则哀=皿7®^£=（-1,2.0）pCl^fO.L血
因为平面BCFE!
平面ABC,且AC丄BC,所以BF丄AC.
又因为EF//BC,BE=EF=FC=1,BC=2,
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，贝UBF丄CK.
所以BF丄平面ACFD
（H）方法一：
过点F作FQ丄AK,连结BQ.
因为BF丄平面ACK,所以BF丄AK,贝UAK丄平面BQF,所以BQ丄AK.
所以，/BQF是二面角B-AD-F的平面角.
在RtAACK中，AC=3,CK=2,得FQ13
在RtABQF中，FQ,BF3，得cosBQF3.
134
所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为方法如图，延长AD,BE,CF相交于一点&则厶BCK为等边三角形.
取BC的中点0,贝UK0丄BC,又平面BCFEL平面ABC,所以，K0丄平面ABC.
以点0为原点，分别以射线OB,0K的方向为x,z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意得
B（1,0,0）,C（1,0,0）,K（0,0,3）,
设平面ACK的
勺法向量为
m
（X1,
yzj
，平面abk的法向量为n（x2,y2,z2）,
LUULT
由
AC•m
0
得
3y1
0
IT
（3,Q1）；
LLJLTLT
厂
取m
AK•m
0
X1
3y1
3z1
0
uujr
由
AB•n
0
得
2x2
3y2
0
r
L
JJLTr
\3z2
取n
（3,2,3）.
AK•n
0
X2
3y2
0
丁是，
所以,
cosm,n
irr.
m•n3
irr'_
|m|-|n|4'
.3
4
面角B-AD-F的平面角的余弦值为
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