空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案.docx

1、空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案【巩固练习】-、选择题1.设平面内两个向量的坐标分别为（ 1 , 2 , 1）, （-1 , 1 , 2）,则下列向量中是平面的法向量的是（ ）A. （-1, -2 , 5）B. (-1, 1 , -1)2.如图,ABCD AtBQQt是正方体，B1E1=D1F1=4C. (1 , 1, 1)A1B1D. (1 , -1 , -1)，则BE与DF!所成角的余弦值是1517B.C.D.3.如图,ABiG ABC是直三棱柱,BCA 90，点D1、F1分别是BCCA CCi，则BDi与AFi所成角的余弦值是（ 30A. -101B.-2,30C. -1

2、5、15D. -10A B1、4.若向量a(1, ,2)与 b(2 ,1,2）的夹角的余弦值为8，则9B.2C. 2或55D. 2 或555.在三棱锥P ABC 中，AB2底面ABC ,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（BC , AB=BC= PA，点0、D分别是 AC、PC的中点，0P丄21A. -68 3B. -3C. 604210D. 306.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面内的投影 SD的中点，且 SO=OD,则直线 BC与平面PAC的夹角是（A. 30 B. 45 C. 6017.在三棱锥 P- ABC 中，AB BC , AB=BC=PA ,

3、点 O、2)D. 75D分别是AC、PC的中点，0P丄A.亘 B. Ll C卫 D.卫6 3 60 30二、填空题&若平面 的一个法向量为n 3,0，直线I的一个方向向量为 b= 111 ，则I与 所成角的余弦值为 .9 正方体ABCD ABGDi中，E、F分别为AB、CG的中点，则异面直线 EF与AG所成 角的大小是 .10.已知三棱锥S ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面 ABC ,SA=3，那么直线 AB与平面SBC所成角的正弦值为 .11如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形，AB AE, FA FE,

4、AEF 45，则平面BDF和平面ABD的夹角余弦值三、解答题12如图，点P在正方体ABCD ABQQ的对角线上,(I )求DP与GC所成角的大小；(H )求DP与平面AADD!所成角的大小.13如图，四棱锥F ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC 2 , BD 2 , AE , CF都与平面ABCD垂直，AE 1 , CF 2，求平面ABF与平面ADF的夹角大小 14.如图（1）,在 RtA ABC 中，/ C = 90 BC = 3 , AC = 6, D, E 分别是 AC , AB 上 的点，且 DE / BC , DE=2，将 ADE沿DE折起到 A,DE的位置，使 A,C CD

5、，如 图（2）.（1）求证：AQ丄平面BCDE ;若M是AQ的中点，求CM与平面ABE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A!DP与平面AiBE垂直说明理由.15. (2016 浙江理)如图，在三棱台 ABC-DEF中，平面 BCFEL平面 ABC,/ ACB= 90, BE=EF= FC= 1 , BC= 2, AC= 3.(I )求证：EF丄平面ACFD(II )求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案与解析】1.【答案】B【解析】排除法平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零 排除A, C, D,选项为B.2.【答案】A【解析】设正方体的棱长为 1

6、,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，则3 1B(1,1，0)，Ei(1,4,1)，D(om F1(0，4,1)-uuir 3 1所以，BE1 (1-,1) (1,1,0) (0, -,1)，4 4uuun 1 1DF1 (0,1) (0,0,0) (0,-,1),4 415161517 ,17 174 4【解析】如图所示，以 C为原点建立的空间直角坐标系,则 A 1,0,0 ,B 0,1,0 ,C1 0,0,1 ,A 1,0,1 ,B1 0,1,1 ,由中点公式可知， D1 1丄,1, F1丄,01 ,2 2 2uuu 1 1 nur 1BD1 2 J * 1 a ,4.【答

7、案】C设 OD=SO=OA=OB=OCsf,a a 则 A (a, 0, 0), B (0, a, 0), C (-a , 0 , 0), P(0,-),2 2 urn uuu a a uju则 CA (2a,0,0), AP ( a, , ),CB (a,a,0),2 2设平面PAC的一个法向量为n ,r uuu r uuu则 n CA 0,n AP 0,2ax 02ay 2az 0，可取 n (0,1,1),uur r二 cos CB,nuun rCB n-uuu r-|CB| |n|2a2 2uuu r CB, n 60 ,直线BC与平面PAC的夹角为 故选Ao7.【答案】DQ OP 平

8、面ABC, OAOA OB, OA OP,【解析】8.【答案】90 60OC，ABOB OP.=30BC,以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O设AB设OPQ PAa,h,则P2a,xyz如图，自,0,0 ,Bo,自,。,C于0,0.0,0,h .7a,OD 耳,0,丄a ,4 4可求得平面PBC的法向量miir r cos OD,nuuir rOD nuuiri rOD nJ丽30设OD与平面PBC所成的角为，则sinmiir r cos OD, n21030【解析】 由cos n,b(3,3,0) (1,1,) 32 32、1 1 1、.63，知I与所成角的余弦值为9.【答案

9、】30【解析】 以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B （2, 0, 0）,则 E（ 1，0, 0），F（ 2, 2，1），Ci（ 2, 2，2），Ai（ 0, 0，2）， uuu uumr EF （1,2,1）, ACi （2,2,0）,uuu uuuu L cosEF,ACr 屈 ACu（佃1“2,。）三,I EF I I AC I 46 2T2 2uuu uur cos EF, A1C1 30SE交SE于F,连【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE过A作AF垂直于 BC丄 AF, AF丄 SE AF丄面 SBC,【

10、解析】因为 ABE为等腰直角三角形，AB=AE,所以AE丄AB.又因为平面ABEF丄平面ABCD, AE 平面ABEF,平面ABEFT平面ABCD=AB0, 1 ), C ( 1, 1 , 0 ).所以,设平面BDF和平面ABD的夹角为 ，则M uuu| 0 0 3 3JHcos cos q ,AE = . 杵 JU 1112.【解析】如图，以点 D为原点建立空间直角坐标系 D xyz，设DA为单位长，则页=(ZQ) 连结BD，RD，在平面BB1D1D内，延长DP,交BQ于点H，设亠7=7 . ( m 0 )，由条件知 ，丄匸 =60 ；由丄-= 土 12 =| 二*= | 二二 |cos可得

11、2m =玄 _ （鱼,空1）解得m =二.所以匸-=_ 乡。+导0+化农(I )因为 COS= 一 J :,所以 =：，即DP与CG所成的角的大小是 45 (n)因为平面 4他的一个法向量是DC = (QS lr 0),也 x0+鸟 1 + 1x0_ _2 了又 cos= 1 用 J2 2 ,所以二，即DP与平面A ADD!所成角的大小为 60 注意：由于点 P在正方体 ABCDAiBiCiDi的对角线 DiB上且/ PDA=60 ,直接设点 P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与 DP相关的角度问题，因此根据点 P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法 .显然尽

12、管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低， 体现了对学生全面的几何方法的考查.13.【解析】如图，以 匚为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系设平面ABF的法向量为- 1： - - 则由眄-AB = 0,得孚+”0,2/4 2z= 0令1，得卜=7叫三(-近* - 11)同理，可求得平面 ADF的法向量 八八一0所以平面 ABF与平面ADF的夹角.2由刼卫=(,再40一，可獰iL-a-+2v=0.幔设这样恂点P存在，设其坐标为働0卫h其申PEQ”设平面上DP的法向量为w=姑jj z)t则Wj4i0j nv3P= 0xZb=oj -2V3)* 函=0 工o 朋以所以m=

13、I、P 花.平面其:卫？丄平面如,当且仅爭的宵=仏閑4+誉+戸=0一解得尸7 与肚0月矛盾所以找段孔上不存在点F,便平面A-D? 平面.；至 垂直.15.【解析】(I )延长AD, BE, CF相交于一点K,如图所示.14.【解析】则哀=皿 7 =(-1,2.0) pClfO.L 血因为平面 BCFE!平面ABC,且AC丄BC,所以BF丄AC.又因为 EF/ BC, BE= EF= FC= 1 , BC= 2,所以 BCK为等边三角形，且 F为CK的中点，贝U BF丄CK.所以BF丄平面ACFD(H )方法一：过点F作FQ丄AK,连结BQ.因为BF丄平面 ACK,所以BF丄AK,贝U AK丄平

14、面BQF,所以BQ丄AK.所以，/ BQF是二面角B-AD-F的平面角.在 RtAACK中，AC= 3, CK= 2,得 FQ 13在 RtA BQF 中，FQ , BF 3，得 cos BQF 3 .13 4所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为 方法 如图，延长AD, BE, CF相交于一点 &则厶BCK为等边三角形.取BC的中点 0,贝U K0丄BC,又平面 BCFEL平面 ABC,所以，K0丄平面ABC.以点0为原点，分别以射线 OB, 0K的方向为x, z的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意得B(1,0, 0),C( 1,0, 0), K(0,0,3),设平面ACK 的勺法向量为m(X1,y zj，平面abk的法向量为n (x2, y2, z2),LUU LT由AC m0得3y10IT(3, Q 1)；LLJLT LT厂,取mAK m0X13y13z10uuj r由AB n0得2x23y20rLJJLT r 3z2,取n(3, 2, 3).AK n0X23y20丁是，所以,cos m, nir r .m n 3ir r _|m|- | n| 4 .34面角B-AD-F的平面角的余弦值为