总结升华：
1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2.在利用正弦定理求角C时，因为sinCsin（180°C），所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍
类型二：
余弦定理的应用：
例3.已知ABC中，AB3、BC「37、AC4，求ABC中的最大角。
思路点拨：
首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解
解析：
•••三边中BC37最大，•BC其所对角A最大，
222222
ABACBC34（、37）1
根据余弦疋理：
cosA-,
ABgAC234
•/0°A180°,•A120°
故ABC中的最大角是A120°.
总结升华：
1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系
举一反三：
【变式1】已知ABC中a3,b5,c7,求角C.
2b22_23272
【答案】根据余弦定理：
c°sCabC53
2ab235
•/0°C180°,•C120°
【变式2】在ABC中，角代B,C所对的三边长分别为a,b,c，若
a:
b:
c6:
2:
（31）,求ABC的各角的大小.
【答案】设a,6k,b
2k,c.'31
根据余弦定理得：
c°sB
2、3
1.6
45°;
同理可得A
60°;
•C180°
AB75°
【变式3】在
ABC中，若
a2b2
2
cbc，求角
A.
【答案】•-b2c2a2
bc,
•cosA
b2c2
a2
2bc
•/0°A180°,•A
120°
类型三：
正、余弦定理的综合应用
求b及A.
例4.在ABC中，已知a2、3,c；6、2,B450,
b，然后继续用
思路点拨：
画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边
余弦定理或正弦定理求角
解析：
A.
⑴由余弦定理得:
2accosB
=（23）2
（.62）2223C6.2）c°s450
=12（'一62）243（-31）
=8
•b22.
⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:
（法一：
余弦定理）
（2•2）2C6、2）2（2-3）2
222bca
•••c°sA
bc
222（62）
•A60°.
（法二：
正弦定理）
tsinA
aS"B窮E0
又•••622.41.43.8,
2321.83.6
•••avc，即00vAv90°,
•••A60°.
总结升华：
画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
举一反三：
【变式1】在ABC中，已知b3,c4,A135°.求B和C.
【答案】由余弦定理得：
a23242234cos135o251^2,
•a,251226.48
•C1800（AB）25053/.
【变式2】在ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a2,b22,
c.6、2，求角A和sinC
其他应用题详解
-、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
B.3akm
D.2akm
AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120=2a2-2a2X—1=3a2，
•°AB=,3a.
答案B
2•张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东
A.22km
C.33km
BSab
ZABS=180-75=105,所以/ASB=45°•由正弦定理知石^45，所以
有CE=25X2=50,CF=15X2=30,且ZECF=120；
EF=CE2+CF2-2CECFcos120
=502+302-2X50X30cos120=70.
答案D
4.
（2014济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°测得塔基B的俯角为45°那么塔AB的高度是（
B.
201+23m
解析如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB=20m,所以
BM=20m.又在Rt小MD中,
DM=20m,ZADM=30°••AM=DMtan30.
••AB=AM+MB=203+20
=201+弘）.
答案A
5.
B姮
B.5
n5
D.5
（2013天津卷）在厶ABC中，/ABC=$AB^2，BC=3，贝Usin/BAC二（）
A迈
A.10
C3.10
C.10
解析由余弦定理AC2=AB2+BC2—2ABBCcosZABC=（：
2）2+32—2X〔；2
迈厂sinZABC3X2
x3X2=5，所以AC=*；5，再由正弦定理：
sin/BAC=—acBC=—5—=
10.
答案C
6.
50km/h的速度由B向C行驶,
（2014滁州调研）线段AB外有一点C，/ABC=60°AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以则运动开始多少h后，两车的距离最小（）
B.
A69
A.43
D.
C70
C.43
解析如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E,则
AD=80t，BE=50t.因为AB=200,所以BD=200—80t,问题就是求DE最小时
t的值.
由余弦定理，得
222
DE2=BD2+BE2—2BDBEcos60
22
=（200—80t）2+2500t2—（200—80t）50t
=12900t2—42000t+40000.
当t=70时,DE最小.
答案C
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km，现测得/
ABC=120°贝UA、C两地的距离为km.
100+400-2X10X20Xcos120=700,
••AC=107（km）.
答案107
8.如下图，一艘船上午9:
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:
00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8（2nmile.此船的航速是nmile/h.
北
解析设航速为vnmile/h
•'v=32（nmile/h）.
答案32
的正东方向上，测得点A的仰角为60°再由点C沿北偏东15°方向走10米到位
置D，测得/BDC=45°则塔AB的高是.
解析在ABCD中，CD=10,/BDC=45°/BCD=15°+90°=105°/
—CDsin45°厂“BC_気厂_1^/2（米）.
_10；6（米）.
答案10.6
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
10.（2014台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。
和30°，第一排和最后一排的距离为10；6米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？
在RtAKBC中，AB=BCsin60=20^亨=30（米）,所以升旗速度v=AB=
30…
50=0.6（米/秒）•
11.
如图，A、B是海面上位于东西方向相距5（3+3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20
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