正弦定理和余弦定理详细讲解.docx

1、正弦定理和余弦定理详细讲解正弦定理.余弦定理农其应用【高考风向】1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考 查.【学习要领】1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转 换，和三角函数性质相结合.基础知识梳理sin A sin B启=2R，其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：(1)a : b : c= sin_A : sin_B : sin_C ； (2)a = 2Rsin_A, b = 2Rsin_B, c=

2、 2Rsin_C ；难点正本疑点清源1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大,即在 ABC 中，AB? ab? sin Asin B ； tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC;在锐角三角 形中，cosAsinB,cosAsinC -2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.例1.已知在 ABC中，c 10, A 45o, C 30o，解三角形B 180 (A C) 105,总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;2.数形结合将

3、已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从 而恰当地选择解答方式.举一反三:【变式1】在 ABC中，已知A 32.00，B 81.8，a 42.9cm，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理,C 180 (A B) 180 (32.0 81.8) 66.2 ；【答案】根据正弦定理 a ，得a:b:c sin A:sinB:sinC 1: 2:3 .sin A sin B sin C例2.在 ABC中，b 3,B 60, c 1,求：a 和 A, C .思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上 （如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ,然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定

4、理求出边 a.解析：由正弦定理得：bc,sin Bsin Cr尹a.小 csin B 1sin 601.sinCb迨2（方法一） 0 C180,.C 30 或 C 150,当 C 150 时，B C 210 180，（舍去）；当 C 30 时，A 90,.a , b2 c2 2.(方法二) be, B 60, C B , C 60即 C 为锐角， - C 30, A 90 a d C2 2 .总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角 C时，因为sinC sin(180 C)，所以要依据题意准确确定 角C的范围，再求出角 C.3.一般依据

5、大边对大角或三角形内角和进行角的取舍类型二：余弦定理的应用：例3.已知 ABC中，AB 3、BC 37、AC 4，求 ABC中的最大角。思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解解析：三边中BC 37最大， BC其所对角A最大，2 2 2 2 2 2AB AC BC 3 4 (、37) 1根据余弦疋理： cos A -,ABgAC 2 3 4/ 0 A 180, A 120故 ABC中的最大角是 A 120.总结升华：1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系举一反三：【变式1】已知 ABC中a 3,

6、 b 5, c 7,求角C.2 b2 2 _2 32 72【答案】根据余弦定理：csC a b C 5 32ab 235/ 0 C 180, C 120【变式2】在 ABC中，角 代B,C所对的三边长分别为 a,b,c，若a: b:c 6:2:( 3 1),求 ABC的各角的大小.【答案】设a ,6k , b2k , c .3 1根据余弦定理得：cs B2、31 .645;同理可得A60; C 180A B 75【变式3】在ABC中，若a2 b22c bc，求角A.【答案】- b2 c2 a2bc , cos Ab2 c2a22bc/ 0 A 180, A120类型三：正、余弦定理的综合应用求

7、b及A.例 4.在 ABC 中，已知 a 2、3 , c ；6、2 , B 450,b，然后继续用思路点拨：画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边余弦定理或正弦定理求角解析：A.由余弦定理得:2accosB=(2 3)2(.6 2)2 2 2 3 C 6 . 2)cs450=12 ( 一 6 2)2 4 3( -3 1)=8 b 2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:（法一：余弦定理）(2 2)2 C6、2 )2 (2 - 3)2,2 2 2 b c a csAbc2 2 2 ( 6 2) A 60.（法二：正弦定理）t si nAaSB 窮 E0又 6 2 2.4

8、1.4 3.8,2 3 2 1.8 3.6 a v c，即 00 v A v 90, A 60.总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、 更好.举一反三：【变式1】在 ABC中，已知b 3 , c 4, A 135.求B和C .【答案】由余弦定理得：a2 32 42 2 3 4cos135o 25 12 , a , 25 12 2 6.48 C 1800 (A B) 25053/.【变式2】在 ABC中，已知角A, B,C所对的三边长分别为 a,b,c，若a 2 ,b 2 2 ,c . 6 、2，求角 A 和 sin C其他应用题详解-、选择题（本大题共6小题，

9、每小题5分，共30分）B. 3a kmD. 2a kmAB2 = AC2 + BC2-2AC BCcos120 =2a2-2a2X 1 = 3a2，AB= , 3a.答案 B2张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶， 在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电 视塔在电动车的北偏东A.2 2 kmC. 3 3 kmBS abZABS= 180 - 75 = 105 ,所以/ASB= 45 由正弦定理知石45，所以有 CE = 25X 2= 50, CF = 15X 2= 30,且ZECF= 120 ；EF= CE2 + CF2- 2

10、CE CFcos120= 502+ 302- 2X 50X 30cos120 =70.答案 D4.（2014济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼 的楼顶处测得塔顶A的仰角为30测得塔基B的俯角为45那么塔AB的高 度是（B.20 1+ 23 m解析 如图所示，由已知可知，四边形 CBMD为正方形，CB = 20 m,所以BM = 20 m.又在Rt小MD中,DM = 20 m,ZADM = 30 AM = DMtan30 .AB= AM + MB = 20 3 + 20=20 1+弘).答案 A5.B姮B. 5n 5D.5（2013 天津卷）在厶ABC 中，/ ABC

11、 = $ AB2，BC= 3，贝U sin/BAC 二（）A迈A. 10C3.10C.10解析 由余弦定理 AC2= AB2 + BC2 2AB BCcosZABC= （ ：2）2+ 32 2X；2迈 厂 sinZABC 3X 2x 3X 2 = 5，所以 AC= *；5，再由正弦定理：sin/BAC=ac BC= 5=10 .答案 C6.50 km/h的速度由B向C行驶,（2014滁州调研）线段AB外有一点C，/ ABC= 60 AB= 200 km,汽车 以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以 则运动开始多少h后，两车的距离最小（）B.A 69A.43D.C70C.43解析 如图

12、所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E,则AD = 80t，BE= 50t.因为AB = 200,所以BD = 200 80t,问题就是求 DE最小时t的值.由余弦定理，得2 2 2DE2= BD2+ BE2 2BD BEcos602 2=(200 80t)2 + 2 500t2 (200 80t) 50t=12 900t2 42 000t+ 40 000.当t=70时,DE最小.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.已知A, B两地的距离为10 km, B, C两地的距离为20 km，现测得/ABC= 120贝U A、C两地的距离为 km.100+ 4

13、00-2X 10X 20X cos120 =700,AC= 10 7(km).答案 10 78.如下图，一艘船上午9: 30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之 后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10: 00到达B处，此时又测得灯塔S在它 的北偏东75处，且与它相距8(2n mile.此船的航速是 n mile/h.北解析 设航速为v n mile/hv= 32(n mile/h).答案 32的正东方向上，测得点A的仰角为60再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得/ BDC = 45则塔AB的高是 .解析 在ABCD 中，CD = 10,/BDC = 45 /BCD= 15+ 90=

14、 105 /CDsin45 厂“ BC_気厂_1/2（米）._ 10 ；6（米）.答案 10.6三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10. （2014台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰 角分别为60。和30，第一排和最后一排的距离为10；6米（如图所示），旗杆底部 与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50秒，升旗手应以多大的速度匀速 升旗？在 RtAKBC 中，AB= BCsin60 =20亨=30（米）,所以升旗速度 v=AB=30 50= 0.6（米 / 秒）11.如图，A、B是海面上位于东西方向相距 5(3 + 3)海里的两个观测点，现位 于A点北偏东45 B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点 南偏西60且与B点相距20