高中数学必修2第二章章末检测.docx

高中数学必修2第二章章末检测.docx

《高中数学必修2第二章章末检测.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修2第二章章末检测.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学必修2第二章章末检测

高中数学必修2第二章章末检测

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则（　　）

A．P一定在直线BD上

B．P一定在直线AC上

C．P一定在直线AC或BD上

D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上

2．下列推理错误的是（　　）

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．l⊄α，A∈l⇒A∉α

D．A∈l，l⊂α⇒A∈α

3．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（　　）

A．①和②B．②和③

C．③和④D．②和④

4．在空间中，下列说法中不正确的是（　　）

A．两组对边相等的四边形是平行四边形

B．两组对边平行的四边形是平行四边形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

7．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m

C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β

D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

8．如图

（1）所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图

（2）所示，那么，在四面体S－EFG中必有（　　）

A．SG⊥△EFG所在平面

B．SD⊥△EFG所在平面

C．GF⊥△SEF所在平面

D．GD⊥△SEF所在平面

9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是（　　）

A．平行

B．相交且垂直

C．异面直线

D．相交成60°角

10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（　　）

A．

πB．

πC．

πD．

π

11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（　　）

A．ACB．BD

C．A1DD．A1D1

12．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是（　　）

A．90°B．60°

C．45°D．30°

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．

14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．

15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1（注：

填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．

16．下列四个命题：

①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．

其中正确命题的序号是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）

如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？

18．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．

求证：

（1）EF∥面ACD；

（2）面EFC⊥面BCD．

19．（12分）如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．

（1）求证：

AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于点G，求证：

AG⊥SD．

20．（12分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

（1）求证：

PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；

（2）若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

21．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3

，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．

（1）求证：

BC′⊥平面AC′D；

（2）求点A到平面BC′D的距离．

22．（12分）如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2

，∠BAD＝∠CDA＝45°．

（1）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；

（2）证明CD⊥平面ABF；

（3）求二面角B－EF－A的正切值．

高中数学必修2第二章章末检测答案

1．B　[（如图），∵P∈HG，HG⊂面ACD，

∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，

面BAC∩面ACD＝AC；

∴P∈AC，选B．]

2．C　[若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．]

3．D　[当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]

4．A

5．D　[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．]

6．B

7．C　[A中还有可能n⊂α；B中n∥m；D中还有可能m∥β或m⊂β或相交不垂直；C中，由于m∥β，设过m的平面γ与β交于b，则m∥b，又m⊥α，则b⊥α，又b⊂β，则α⊥β，所以C正确．]

8．A　[∵四边形SG1G2G3是正方形，

∴SG1⊥G1E，EG1⊥G2F，FG3⊥SG3．

当正方形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变，

EG，GF成为四面体的面EGF的相邻两条边，

因此，在四面体S－EFG中侧棱SG⊥GE，SG⊥GF，

∴SG⊥平面EFG．]

9．D　[恢复成正方体（如图），

易知△ABC为等边三角形，

所以∠ABC＝60°．选D．]

10．C　[球心O为AC中点，半径为R＝

AC＝

，

V＝

πR3＝

π．选C．]

11．B　[证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．]

12．A　[连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，

则B′C＝AC＝

a，B′D＝DC＝a，

所以∠B′DC＝90°．]

13．9

解析　由面面平行的性质得AC∥BD，

＝

，

解得SD＝9．

14．a>6

解析　（如图）

由题意知：

PA⊥DE，

又PE⊥DE，

所以DE⊥面PAE，∴DE⊥AE．

易证△ABE∽△ECD．

设BE＝x，则

＝

，即

＝

．

∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，解得a>6．

15．B1D1⊥A1C1（答案不唯一）

解析　由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，

所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，

只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，

还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．

16．④

解析　①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．

17．解　直线MN∥平面A1BC1，

证明如下：

∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1．

∴MN⊄平面A1BC1．

如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1．

∵NO1綊

D1C1，

MB綊

D1C1，∴NO1綊MB．

∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1．

又∵BO1⊂平面A1BC1，

∴MN∥平面A1BC1．

18．证明　

（1）∵E，F分别是AB，BD的中点，

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴EF∥面ACD．

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD．

∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．

又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC．∵BD⊂面BCD，

∴面EFC⊥面BCD．

19．证明　

（1）∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，

∴SA⊥BC，

∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．

∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．

又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC．

∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF．

∴AF⊥SC．

（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．

又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD．

∴DC⊥AG．

又由

（1）有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，

∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．

20．

（1）证明　

连接OE，如图所示．

∵O、E分别为AC、PC中点，

∴OE∥PA．

∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，

∴PA∥面BDE．

∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．

在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．

又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．

（2）解　取OC中点F，连接EF．

∵E为PC中点，

∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．

又∵PO⊥面ABCD，

∴EF⊥面ABCD

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．

∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，

∴∠EOF＝30°．

在Rt△OEF中，

OF＝

OC＝

AC＝

a，

∴EF＝OF·tan30°＝

a，∴OP＝2EF＝

a．

∴VP－ABCD＝

×a2×

a＝

a3．

21．

（1）证明　∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，

∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．

又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，

∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′．

又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．

∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．

（2）解　

如图所示，

过A作AE⊥C′D，垂足为E，连接BE．

∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE．

∴AE⊥平面BC′D．

故AE的长就是A点到平面BC′D的距离．

∵AD⊥AB，DA⊥BC′，

∴AD⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′．

在Rt△AC′B中，AC′＝

＝3

．

在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3

．

在Rt△C′AD中，由面积关系，得

AE＝

＝

＝

．

∴点A到平面BC′D的距离是

．

22．

（1）解　因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．

所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角．

因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．

在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝2

，

CE＝

＝3，

所以cos∠CED＝

＝

．

所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为

．

（2）证明　如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°．

由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB．

又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF．

（3）解　由

（2）及已知，可得AG＝

，即G为AD的中点．

取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF．

因为BC∥AD，所以BC∥EF．

过点N作NM⊥EF，交BC于点M，

则∠GNM为二面角B－EF－A的平面角．

连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，

从而BC⊥GM．

由已知，可得GM＝

．

由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．

在Rt△NGM中，tan∠GNM＝

＝

．

所以二面角B－EF－A的正切值为

．