数值分析习题集及答案.docx
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数值分析习题集及答案
数值分析习题集及答案
篇一：
数值分析习题与答案
第一章绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f（x）=lnx的误差限。
解：
求lnx的误差极限就是求f（x）=lnx的误差限，由公式（）有
已知
x*的相对误
差
，故
即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：
直接根据定义和式（）（）则得
有5位有效数字，其误差
限
有2
位有效数字，
有5
位有效数字，
3.下列公式如何才比较准确？
（1）
（2）
，相对误差
限
满
足
，
而
解：
要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）
（2）
4.近似数x*=,是3位有数数字。
5.计算
四个选项：
取
，利用：
式计算误差最小。
第二、三章插值与函数逼近
习题二、三1.
给定
的数值表
用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限.解：
仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（）。
线性插值时，用及两点，用Newton插值
误
差
限
，
因
，故
二次插值时，用，，三点，作二次Newton
插值
误
差
限，故
2.在-4≤x≤4
上给出
的等距节点函数表，若用二次
，函数表的步长h
插值法求
的近似值，要使误差不超过应取多少?
解：
用误差估计式（），
令因得
3.若
，求
和.
解：
由均差与导数关系
于是4.若
的值，这里p≤n+1.
解
：
可知当
而当P＝n＋1时
于是得
有
互异，求
，由均差对称
性
5.
求证.
解：
解：
只要按差分定义直接展开得
6.
已知的函数表
求出三次Newton均差插值多项式，计算f（）的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：
根据给定函数表构造均差表
由式（）当n=3时得Newton均差插值多项式
N3（x）=+（）+（）（）由此可得
f（）N3（）=由余项表达式（）可得
由于
7.给定f（x）=cosx的函数表
篇二：
数值分析试题1参考答案
参考答案1一、1．2
2．xn?
1?
xn?
3．1,04．7,
f（xn）
（n?
0,1,?
）?
f（xn）
257
?
（k?
1）15（k）
?
?
x2
?
x11336.?
1（k?
1）
?
x2?
?
x1（k?
1）12
20?
?
200
3?
?
10?
2?
4二、
（1）L?
?
0?
1
3?
?
00?
1?
?
（2）
1?
0?
120?
?
?
U?
?
01
?
0?
?
00?
5?
?
?
400
0?
2
3
10
?
0?
?
0?
?
3?
?
4?
1?
?
l65?
a65?
（l61u15?
l62u25?
l63u35?
l64u45）;
u55
u56?
a55?
（l51u16?
l52u26?
l53u356?
l54u46）
三、先造差分表如下：
（1）选x1?
x2?
x3?
x4?
为节点，构造三次向前Newton插值多项式
?
2y1?
3y1
N（x?
th）?
y1?
?
y1?
t（t?
1）?
t（t?
1）（t?
2）312!
3!
将x1和h代入上式，则有
N3（?
）?
25?
2t?
1/2*t（t?
1）?
5/6*t（t?
1）（?
2）
由?
?
解得t?
所以
f（）?
N（）?
（2）选x3?
x4?
x5?
为节点，构造二次向前Newton插值式
?
2y3
N2（x3?
th）?
y3?
?
y3t?
t（t?
1）
2!
将x3和h代入上式，则有
N2（?
）?
20?
t?
t（t?
1）由+=解得t=,所以f（）?
N2（）?
（3）由
f（?
）3
ht（t?
1）（t?
2）3!
（,0?
t?
2）R2（x0?
th）?
f（?
）3600
有R（2（xi?
）?
（t?
1）（t?
2）?
**maxt（t?
1）（t?
2）
0?
t?
23!
3!
?
?
可知f（x）有两位整数，故能保证有两位有效数字。
四、
?
0?
x?
?
1,?
1?
x?
?
x2,f（x）在M2中的最佳平方逼近元为
P?
x?
?
a0?
0?
x?
?
a1?
1?
x?
则a0和a1满足如下正规方程组
0，?
00，?
1a00，f，，af?
?
011?
?
1?
?
1?
?
1
设
?
22/3?
?
1?
即
?
2/32/5?
?
1/2?
解得a1?
15/16,a0?
3/16所求最佳平方逼近元为P（x）?
3/16?
15/16*x2
五、
（1）
因Q对称正定，则对任意向量x,二次型xTQx?
0,故f（x）?
xQx?
0,且当仅当x?
0时f（x）?
0.
T
设c为任意实数，则
（2）f（cx）?
（cx）TQ（cx）?
c2xTQx
?
cxTQx?
cf（x）
下边证明三角等式f（x?
y）?
f（x）?
f（y）成立.
f（x?
y）?
（x?
y）TQ（x?
y）?
xTQx?
yTQy?
xTQy?
yTQx?
xTQx?
yTQy?
2xTQy
因Q对称正定，则Q一定有因子分解形式。
Q?
BTB
从而xTQy?
（BxT）（By）,于是有
（3）
xTQy?
（Bx）T（By）?
（Bx）T（Bx）（By）T（By）代入上面的f（x?
y）则有
f（x?
y）?
xTQx?
yTQy?
2xTBTBxyTBTBy?
xTQx?
yTQy?
2xTQxyTQy?
xTQx?
yTQy?
f（x）?
f（y）
所以三角不等式立，f（x）?
xTQx是x的一种范数
六、
设?
为B的任一特征值，u?
0为相应的特征向量，则Bu?
?
u,从而
uT（A?
BAB）u?
uTAu?
uTBABu
?
uTAu?
（Bu）TA（Bu）?
uTAu?
（?
u）TA（?
u）?
（1?
?
2）（uTAu）
因为A?
BAB和A正定，
故
uT（A?
BAB）u?
（1?
?
2）uTAu?
01?
?
2?
0
即
?
?
1,?
（B）?
1
因此此格式对任意初始点x（0）都收敛。
篇三：
数值分析复习题及答案
数值分析复习题
一、选择题
1.和分别作为?
的近似数具有（）和（）位有效数字.A．4和3B．3和2C．3和4D．4和4
2
2.已知求积公式
?
1
f?
x?
dx?
121
f?
1?
?
Af（）?
f
（2）636，则A＝（）
1112
A．6B．3C．2D．3
3.通过点
?
x0,y0?
?
x1,y1?
的拉格朗日插值基函数l0?
x?
l1?
x?
满足（）
＝0，
A．
l0?
x0?
l0?
x0?
l1?
x1?
?
0l1?
x1?
?
1
B．
l0?
x0?
l0?
x0?
＝0，
l1?
x1?
?
1l1?
x1?
?
1
C．＝1，D．＝1，
4.设求方程
f?
x?
?
0
的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A．超线性B．平方C．线性D．三次
?
x1?
2x2?
x3?
0?
?
2x1?
2x2?
3x3?
3?
?
x?
3x?
2
2
5.用列主元消元法解线性方程组?
1作第一次消元后得到的第3个方程（）.
?
x2?
x3?
2
?
2x2?
?
?
2x2?
x3?
3
x2
A．B．C．D．
二、填空
?
1.设x?
..，取5位有效数字，则所得的近似值x=.
f?
x1,x2?
?
2.设一阶差商
f?
x2?
?
f?
x1?
x2?
x1
?
f?
x3?
?
f?
x2?
6?
151?
4
?
?
3f?
x2,x32?
1x3?
x24?
22
，
则二阶差商
f?
x1,x2,x3?
?
______
T
X?
（2,?
3,?
1）3.设,则||X||2?
，||X||?
?
。
2
4．求方程x?
x?
?
0的近似根，用迭代公式
x?
x0?
1，那么x1?
______。
?
y’?
f（x,y）
?
y（x0）?
y0y?
______。
5．解初始值问题?
近似解的梯形公式是k?
1?
11?
A
?
51?
?
6、，则A的谱半径
＝。
7、设
f（x）?
3x2?
5,xk?
kh,k?
0,1,2,...,
。
，则
f?
xn,xn?
1,xn?
2?
?
f?
xn,xn?
1,xn?
2,xn?
3?
?
8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。
y?
10?
10、为了使计算成。
123
?
?
x?
1（x?
1）2（x?
1）3的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写
T
X?
（2,3,?
4）11.设,则||X||1?
，||X||2?
12.一阶均差
f?
x0,x1?
?
133?
3?
?
3?
C0?
C1C2?
?
3?
C88，那么3?
已知n?
3时，科茨系数
因为方程
f?
x?
?
x?
4?
2x?
0
在区间
?
1,2?
上满足，所以f?
x?
?
0在区间内有根。
15.取步长h?
，用欧拉法解初值问题
?
?
y
?
y?
2?
y
x?
?
y?
1?
?
1?
的计算公式.
*
*
16.设x?
是真值x?
的近似值，则x有位有效数字。
3
17.对f（x）?
x?
x?
1,差商f[0,1,2,3]?
（）。
T
||X||?
?
X?
（2,?
3,7）18.设,则。
19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和k?
0
（n）C?
k?
n
20.若a=是的近似值，则a有（）位有效数字.
?
l（x）,l（x）,?
l（x）0,1,?
n01n21.是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则i?
0
22.设f（x）可微，则求方程x?
f（x）的牛顿迭代格式是（）.
（k?
1）（k）
X?
BX?
f收敛的充要条件是。
23.迭代公式
n
ili（x）?
（）.
（k?
1）（k）
x?
Bx?
f中的B称为（）.给定方程24.解线性方程组Ax=b（其中A非奇异，b不为0）的迭代格式
?
9x1?
x2?
8?
x?
5x2?
?
4，解此方程组的雅可比迭代格式为（组?
1）。
25、数值计算中主要研究的误差有和。
26、设
n
lj（x）（j?
0,1,2?
n）
是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
lj（xi）?
（i,j?
0,1,2?
n）；
?
l（x）?
jj?
0
。
27、设
lj（x）（j?
0,1,2?
n）
是区间[a,b]上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为；插值
型求积公式中求积系数
Aj?
?
A
j?
0
n
j
?
。
28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。
2f（x）?
x?
1,则f[1,2,3]?
_________,f[1,2,3,4]?
_________。
29、
30.设x*=是真值x=的近似值，则x*有
3设f（x）?
x?
x?
1,则差商（均差）f[0,1,2,3]?
，f[0,1,2,3,4]?
31.
32.求方程
x?
f（x）根的牛顿迭代格式是。
?
12?
AA?
?
A?
34?
?
33.已知,则,。
34.方程求根的二分法的局限性是三、计算题
19
f（x）?
x,x0?
x1?
1,x2?
441．设
?
19?
?
4,4?
f?
x?
?
上的三次Hermite插值多项式?
?
x?
使满足
（1）试求在?
32
H（xj）?
f（xj）,j?
0,1,2,...H’（x1）?
f’（x1）
，
?
?
x?
以升幂形式给出。
（2）写出余项R（x）?
f（x）?
H（x）的表达式
2．已知
的
满足
，试问如何利用
构造一个收敛的简单迭代函数
，使
0，1…收敛？
?
y’?
f（x,y）h’’’?
y?
y?
（yn?
1?
4yn?
ynn?
1n?
1?
1）y（x）?
y00?
33．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：
（提示：
利用Simpson求积公式。
）
4．利用矩阵的LU分解法解方程组
?
x1?
2x2?
3x3?
14
?
?
2x1?
5x2?
2x3?
18?
3x?
x?
5x?
20
3?
12
y?
5.已知函数
1
1?
x2的一组数据：
的近似值.
求分段线性插值函数，并计算
f?
?
?
10x1?
x2?
2x3?
?
?
?
x1?
10x2?
2x3x?
x?
5x?
23
6.已知线性方程组?
1
（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
（2）于初始值X0,0,0?
，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算X
?
1?
（保留小数点后五位数字）.
3?
1,2?
之间的近似根7.用牛顿法求方程x?
3x?
1?
0在
（1）请指出为什么初值应取2？
（2）请用牛顿法求出近似根，精确到
1?
01?
x8.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.
1
9．用二次拉格朗日插值多项式
L2（x）计算
的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（，），（，）。
?
2
10.用二分法求方程f（x）?
x?
x?
1?
0在[,]区间内的一个根，误差限?
?
10。
3
?
4x1?
2x2?
x3?
11?
?
x1?
4x2?
2x3?
18?
2x?
x?
5x?
22（0）T
x?
（0,0,0）123?
11.用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次（要求按五位有效数字计算）.。
12.求系数
1
A1,A2和A3,使求积公式
11
f（x）dx?
Af（?
1）?
Af（?
）?
Af（）对于次数?
2的一切多项式都精确成立123?
?
1
33
?
3x1?
2x2?
10x3?
15
?
?
10x1?
4x2?
x3?
5?
2x?
10x?
4x?
8
2313.对方程组?
1试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由
14.确定求积公式
数精度.
?
1
?
1
f（x）dx?
Af（?
）?
Bf（x1）?
Cf（）
的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代
?
y?
?
3x?
2y?
15.设初值问题?
y（0）?
1
0?
x?
1
.
（1）写出用Euler方法、步长h=解上述初值问题数值解的公式；
（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=解上述初值问题数值解的公式，并求解y1,y2，保留两位小数。
?
x
16.取节点x0?
0,x1?
x2?
1，求函数y?
e在区间[0,1]上的二次插值多项式P2（x），并估计误差。
17、已知函数y?
f（x）的相关数据
1?
P（）P3（x
）2的近似值。
由牛顿插值公式求三次插值多项式
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