运筹学题库第一章.docx
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运筹学题库第一章
1求解下述线性规划问题
minz--3x14x2
s.t.x1-x2=1
x1,x2_0
2设某种动物每天至少需要700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素，现有五种饲料可供
选择，每种饲料每公斤营养成分的含量及单价如表所示。
试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用饲料方案的线性规划模型。
饲料
蛋白质/g
矿物质/g
维生素/mg
价格/（元/kg）
1
3
1
0.5
0.2
2
2
0.5
1
0.7
3
1
0.2
0.2
0.4
4
6
2
2
0.3
5
18
0.5
0.8
0.8
3某医院昼夜24h各时段内需要的护士数量如下：
2:
00—6:
0010人，6：
00—10：
0015人，10：
00—14：
0025人，14:
00—18：
0020人，18:
00—22：
0018人，22：
00—2：
00
12人。
护士分别于2：
00，6:
00，10：
00，14：
00，18：
00，22：
00分6批上班，并连续工作8小时。
试建立模型，要求既满足值班需要，又使护士人数最少。
4某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：
（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可以起用于下一年
投资；
（2）只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投
资限额不超过15万元；
（3）于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元。
（4）于三年内的第三年初允许投资，一年回收，可获利40%，投资限额为10万元。
试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。
网上下载部分:
1某厂准备生产A、B、C三种产品，它们都消耗劳动力和材料，如下表：
产品名称
耗用设备（台时/件）
耗用材料（kg/件）
利润（元/件）
A
6
3
3
B
3
4
1
C
5
5
4
资源量
45（台时）
30（kg）
试建立能获得最大利润的产品生产计划的线性规划模型，并列出初始单纯形表。
某航空公司为满足客运量日益增长的需要，正考虑购置一批新的远程、中程、短程的喷
气式客机。
每架远程的喷气式客机价格670万元，每架中程的喷气式客机价格500万元，每
架短程的喷气式客机价格350万元。
该公司现有资金15000万元可以用于购买飞机。
根据估
计年净利润每架远程客机42万元，每架中程客机30万元，每架短程客机23万元。
设该公
司现有熟练驾驶员可用来配备30架新的飞机。
维修设备足以维修新增加40架短程的喷气式
客机，每架中程客机的维修量相当于4/3架短程客机，每架远程客机的维修量相当于5/3
架短程客机。
为获得最大利润，该公司应购买各类飞机各多少架？
（建立模型，不需求解）下表1是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。
表中无人工变量，ai，a2，a3，d,q,C2为待定常数，d0。
试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。
（1）表中解为惟一最优解；
（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解;
（3）该线性规划问题具有无界解；
（4）表中解非最优，为对解改进，换入变量为xi，换出变量为X6
表1
基b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X3d
4
a
1
0
a2
0
X42
-1
-3
0
1
-1
0
X63
a3
-5
0
0
-4
1
Cj_Zj
C1
C2
0
0
-3
0
1.根据以下条件建立线性规划数学模型
某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
单位\产
资源
A
B
C
资源限量
原材料
1.0
1.5
4.0
2000
机械台时
2.0
1.2
1.0
1000
单位利润
10
14
12
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
月销售分别为250,280和120件，问如何安排生产计划，使总利润最大？
解：
设X1,X2,X3分别设代表三种产品的产量，则线性规划模型为
maxZ=10X+14Xz+12X3
s•t|X1+1.5X2+4Xb<20002X+1.2X2+X3W1000
\200WX1<250
250WXW280
1，X2，0
2.把下列线性规划问题化成标准形式:
答：
maxZ'=—5x1+2x2
8亠*
43-把J*工）
上》p工1-J-J-n
2jei*h,—3
3.把下列线性规划问题化成标准形式:
minZ=2xi-x2+2x3
_旳士闻卡删=4
I旳冬0,旳As呦无约窠答：
令工・*-王「.運工=孔工「申化为押准5!
为maxZ"=2x/+2jt/+
_r311■+JT）+工、""叭■斗
1.『・■严「十乩-工J+工「*c6
_ra*.JFj；■J.工鼻尸■.工*耳0
5.根据所给条件建立线性规划模型。
某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根,
长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省？
答：
将10米长的钢筋截为3米和4米长，共有以下几种下料方式：
长度类r
I
n
出
3米
0
1
2
4米
2
1
0
设Xi,X2,X3分别表示采用i、n、川种下料方式的钢筋数，则线性规划模型可写成:
minZ=X1+X2+X3
2Xi+X2>60
1,X2,Xb>0
s•t（2X2+3390
X
X
%
X3
X4
—10
b
-1
f
g
X3
2
C
O
1
1/5
X
a
d
e
0
1
maxZ=5x+3x2，约
"w”，X3,X4为松驰变量，表中解代入目标函数后得Z=10
1•下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为束形式为
求表中a〜g的值
（2）表中给出的解是否为最优解
a=2b=0c=0d=1e=4/5f=0g=—5
表中给出的解为最优解
2.用单纯形法求解下列线性规划问题：
maxZ=3x+5x2
xiw15
2x2<12
3xi+2x2<18
xi,X2>0解：
化为标准形式
maxZ=3xi+5x2+xs+0X4+0X5
s•txi+x3=15
2x2+x5=12
3x«1+2x2+X5=18
xIj》0（j=1,,,,5）
Cj
3
5
0
0
0
CB
x
B
b
X1
x
2
x
3X
4
x
5
0
x
3
15
1
0
1
0
0
0
x
4
12
0
（2）
0
1
0
0
x
5
18
3
2
0
0
1
Cj—
Zj
3
5
0
0
0
0
x
3
15
1
0
1
0
0
0
x
4
6
0
1
0
1/2
0
0
x
5
6
（3）
0
0
—1
1
Cj—
Zj
3
0
0
—5/2
0
0
x
3
13
0
0
1
1/3
—1/3
5
x
2
6
0
1
0
1/2
0
3
x
1
2
1
0
0
—1/3
1/2
Cj—
Zj
0
0
0
—3/2
—1
最优解X*=（2,6,13,0,0）TZ*=36
3.用大M法求解下列线性规划问题
解：
化为标准形式
maxZ=x+2x2+3x3—X4—mx—m）e
1+2X2+3X3+X5=15
2
X
2
5
1/2
1
1/2
1/2
0
0
Cj—乙
Im
0
!
2m+2-
3M+200
2
2
2
—M
X
5
5
0
0
（2）
-1
10
1
X
1
10
1
0
3
-1/3
0
2/3
2
X
2
0
0
1
1
2/3
0
-1/3
Cj—乙
0
0
2M+2
-M-2
0
-M
3
X
1
5/2
0
0
1
-1/2
1/2
0
1
X
1
5/2
1
0
0
7/6
-3/2
2/3
2
X
2
5/2
0
1
0
1
1/2
-1/3
Cj—乙
0
0
0
-7/2
-M-1
-M
*/555t*
x=（，一，一，0,0,0）,z=15
222
4.用单纯形法求解线性规划问题
minZ=—2X1+X2+X3
s•
t
/3x
计x2+X3<60
X
1—X2+2x3<10
X
1+X2—X3<20
X
j>0（j=1,2,3）
解:
化为标准形式
maxZ
=2x
1—X2+X3
s•
t
3X
1+X2+X3+X4=60
X
1—X2+2x3+X5=10
X
1+X2—X3+X6=20
X
V
j>0（j=1,”，6）
Cj
2
—1
1
0
0
0
CBxbb
X1
X2
X
3X
4
X5X6
0x460
3
11
1
0
0
0x510
（1）
—1
2
0
1
0
0x620
1
1
—10
01
Cj—乙
2
—1
1
0
0
0
0x430
0
4
—51
—30
0x110
1
—1
2
0
1
0
0x610
0
（2）
一
3
0—1
1
Cj—乙
0
1
—30
—20
0x410
0
01
1
—1—2
2x115
1
0
1/2
01/2
—1x25
1/2
0
1
—3/2
0—1/2
1/2
Cj—乙
0
0
—5/2
0
—1/2—
1/2
最优解X*=（15,5,0,10,0,0）
T
Z*=—25
福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，为了保证售
货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问该如
何安排售货人员的休息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少，请列出此问
题的数学模型。
时间
所需售货人员数
时间
所需售货人员数
星期一
28
星期五
19
星期二
15
星期六
31
星期三
24
星期日
28
星期四
25
.加入人工变量，化原问题为标准形
maxz=3x）+5x2+0x3+0x4一Mx5rXi+x3=4
2x2+x4=12
+2x2+x5=18
X|^04=1,2,3,4,5
最优单纯形表如下:
X
*2
C
3
5
0
0
0
3
1
0
0
-1/3
1/3
2
Xj
0
0
0
1
1/3
-1/3
2
5
0
J
0
1/2
0
6
z—cjc003/2M+1
所以垠优解为X=,Z*=36.
26.解：
设出为从星期i（i=】,23……,7）开始休息的人数。
7
则minz^^Xi
i=l
f5
£2281=1
£论M15
1=2
i±3
x4+x5+x6+x7+X!
>25
x5++x7+X|+x2>19
x6+x7+Xi+x2+x3>31
x7+旳+x2+x3+x^+x528
Xi>Ot（i-lA……,7）
三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A、B、C
三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润
值以及这三种资源的储备如下表所示：
A
B
C
甲
9
4
3
70
乙
4
6
10
120
360
200
300
1）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）
2）用单纯形法求该问题的最优解。
（10分）
解：
1）建立线性规划数学模型：
设甲、乙产品的生产数量应为Xi、X2，贝SXi、X2>0,设z是产
品售后的总利润，则
maxz=70xi+120x2
s.t.
9x14x2乞360
4x1+6x2<200
3xq+10x2兰300
x1,x2兰0
2）用单纯形法求最优解：
加入松弛变量X3，X4，X5，得到等效的标准模型:
maxz=70x1+120x2+0x3+0x4+0x5
s.t.
9x14x2x3二360
4xq+6x2+x4=200
3x110x2X5二300
Xj—0,j二1,2,・・・,5
列表计算如下:
Cb
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
el
0
X3
360
9
4
1
0
0
90
0
X4
200
4
6
0
1
0
100/3
0
X5
300
3
（10）
0
0
1
30
0
0
0
0
0
70
120T
0
0
0
0
X3
240
39/5
0
1
0
-2/5
400/13
0
X4
20
（11/5）
0
0
1
-3/5
100/11
120
X2
30
3/10
1
0
0
1/10
100
36
120
0
0
12
341
0
0
0
—12
0
X3
1860/11
0
0
1
—39/11
19/11
70
x1
100/11
1
0
0
5/11
-3/11
120
X2
300/11
0
1
0
-3/22
2/11
43000
70
120
0
170/11
30/11
11
0
0
0
-170/11
—30/11
70
120
0
0
0
.X*=（10030018600
一（
111111
用大M法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型:
minz=5x1+2x2+4x3
3x1x22x3-4
6x13x25x3—10
X「X2,X3-0
解:
用大M法，先化为等效的标准模型:
maxz/=—5x1—2x2—4x3
s.t.
3x1x22yq-x4
6x13冷5x3
yj-0,j=1,2,...,5
增加人工变量X6、X7,得到:
maxz=一5xi—2x2—4x3—MX6—MX7
s.t
大M法单纯形表求解过程如下:
-5
—2
—4
0
0
—M
—M
Cb
Xb
b
Xi
X2
X3
X4
X5
X6
X7
el
-M
X6
4
（3）
1
2
—1
0
1
0
4/3
-M
X7
10
6
3
5
0
—1
0
1
5/3
—9M
—4M
—7M
M
M
—M
—M
9M—5f
4M—2
7M—4
—M
—M
0
0
-5
X1
4/3
1
1/3
2/3
—1/3
0
1/3
0
-M
X7
2
0
1
1
（2）
—1
—2
1
1
—5
-M—5/3
-M—10/3
-2M+5/3
M
2M—5/3
-M
0
M—1/3
M—2/3
2M—5/3f
—M
—3M+5/3
0
-5
X1
5/3
1
1/2
5/6
0
—1/6
0
1/6
10/3
0
X4
1
0
（1/2）
1/2
1
—1/2
—1
1/2
2
—5
—5/2
—25/6
0
5/6
0
—5/6
0
1/2f
1/6
0
—5/6
—M
—M+5/6
-5
X1
2/3
1
0
1/3
—1
1/3
1
—1/3
-2
x2
2
0
1
1
2
—1
—2
1
22
—5
—2
—11/3
1
1/3
—1
—1/3
3
0
0
—1/3
—1
—1/3
—M+1
—M+1/3
•-x*=（3,2,0,0,0）T
最优目示函数值minz=-max<=-（-气）=号
一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源一一技术服务、劳动力和行政管理。
每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：
技术服务
劳动力
行政管理
单位利润
甲
1
10
2
10
乙
1
4
2
6
丙
1
5
6
4
资源储备量
100
600
300
（5分）
x1>x2、
1）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；
2）用单纯形法求该问题的最优解。
（10分）
解：
1）建立线性规划数学模型：
设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为Xi、X2、X3，则
X3>0,设z是产品售后的总利润，则
maxz=10x1+6x2+4x3
s.t.
x-jx2x3-100
10x14x25x3空600
2为+2x2+6x3兰300
必，X2，X3z0
2）用单纯形法求最优解：
加入松弛变量x4,x5,x6，得到等效的标准模型：
maxz=10x1+6x2+4x3+0X4+0X5+0X6
s.t.
列表计算如下:
%X2x3x4=100
10捲+4x2+5x3+x5=600
2x12x26X3冷二300
xj-0,j=1,2,…,6
10
6
4
0
0
0
Cb
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
el
0
X4
100
1
1
1
1
0
0
100
0
X5
600
（10）
4
5
0
1
0
60
0
X6
300
2
2
6
0
0
1
150
0
0
0
0
0
0
10T
6
4
0
0
0
0
X4
40
0
（3/5）
1/2
1
—1/10
0
200/3
10
X1
60
1
2/5
1/2
0
1/10
0
150
0
X6
180
0
6/5
5
0
—1/5
1
150
10
4
5
0
1
0
0
2T
-1
0
—1
0
6
X2
200/3
0
1
5/6
5/3
—1/6
0
10
x1
100/3
1
0
1/6
—2/3
1/6
0
0
X6
100
0
0
4
—2
0
1
2200
10
6
20/3
10/3
2/3
0
3
0
0
—8/3
—10/3
—2/3
0
•••X*=（100
'3
1.化为标准型
minZ=2x1+X2-2X3
-x1+X2+X3=4
-X1+X2-X3<6
xJw0,X2>0,x3无约束
某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示：
消耗、<品
^料'''
甲
乙
丙
原料量
A
6
3
5
45
B
3
4
5
30
单件利润
4
1
5
求使该厂获利最大的生产计划。
目标函数为maxZ=28x4+X5+2X6，约束形式为"w”，且Xi,X2,X3为松弛变量,表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g的值，并判断是否最优解。
Cj
0
0
0
28
1
2
Cb
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X6
a
3
0
-14/3
0
1
1
0
X2
5
6
d
2
0
5/2
0
28
X4
0
0
e
f
1
0
0
Cj-Zj
b
c
0
0
-1
g
一、分别用人工变量法和两阶段法求解下列线性规划问题
maxz=-2xi-3x2-x3
厂x1+4x2+2x3>=8
px1+2x2>=6
Xl,x2,x3>=0
三、某文教用品
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