运筹学题库第一章.docx

1、运筹学题库第一章1求解下述线性规划问题min z - -3x1 4x2s.t. x1 - x2 =1x1,x2 _02设某种动物每天至少需要 700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素，现有五种饲料可供选择，每种饲料每公斤营养成分的含量及单价如表所示。试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用饲料方案的线性规划模型。饲料蛋白质/g矿物质/g维生素/mg价格/ （元/kg）1310.50.2220.510.7310.20.20.446220.35180.50.80.83某医院昼夜24h各时段内需要的护士数量如下： 2: 006: 00 10人，6： 00 10： 00 15 人，10： 0

2、014： 00 25 人，14 : 0018： 00 20 人，18 : 0022： 00 18 人，22： 00 2： 0012 人。护士分别于 2： 00，6: 00，10： 00，14： 00，18： 00，22： 00分 6 批上班，并连续 工作8小时。试建立模型，要求既满足值班需要，又使护士人数最少。4某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的 20%，其本利可以起用于下一年投资；（2 ）只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的 150%，但此类投资限额不超过15万元；（3） 于三年内第二年初允许投资，可

3、于第三年末收回，本利合计为投资额的 160%，这类 投资限额20万元。（4） 于三年内的第三年初允许投资，一年回收，可获利 40%，投资限额为10万元。试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。网上下载部分:1 某厂准备生产 A、B、C三种产品，它们都消耗劳动力和材料，如下表：产品名称耗用设备（台时/件）耗用材料（kg/件）利润（元/件）A633B341C554资源量45 （台时）30 （kg）试建立能获得最大利润的产品生产计划的线性规划模型，并列出初始单纯形表。某航空公司为满足客运量日益增长的需要， 正考虑购置一批新的远程、 中程、短程的喷气式客机。每架远程的喷气式客机价格 670万

4、元，每架中程的喷气式客机价格 500万元，每架短程的喷气式客机价格 350万元。该公司现有资金15000万元可以用于购买飞机。根据估计年净利润每架远程客机 42万元，每架中程客机 30万元，每架短程客机 23万元。设该公司现有熟练驾驶员可用来配备 30架新的飞机。维修设备足以维修新增加 40架短程的喷气式客机，每架中程客机的维修量相当于 4/3架短程客机，每架远程客机的维修量相当于 5/3架短程客机。为获得最大利润，该公司应购买各类飞机各多少架？ （建立模型，不需求解） 下表1是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。表中无人工变量， ai，a2，a3，d,q,C2为待定常数，d 0。试说明

5、这些常数分别取何值时，以下结论成立。(1)表中解为惟一最优解；(2)表中解为最优解，但存在无穷多最优解;(3)该线性规划问题具有无界解；(4)表中解非最优，为对解改进，换入变量为 xi，换出变量为X6表1基 bX1X2X3X4X5X6X3 d4a10a20X4 2-1-301-10X6 3a3-500-41Cj _ZjC1C200-301.根据以下条件建立线性规划数学模型某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资 源的限量，单位产品的利润如下表所示：单位 产资源ABC资源 限量原材料1.01.54.02000机械台时2.01.21.01000单位利润1014

6、12根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为 200，250和100件，最大月销售量分 别为250，280和120件。月销售分别为250, 280和120件，问如何安排生产计划，使总利 润最大？解：设X1,X2,X3分别设代表三种产品的产量，则线性规划模型为maxZ=10X+14Xz +12X3s t |X 1 +1.5X 2+4Xb 2000 2X+1.2X2+X3W 1000 200W X1 601, X2, Xb 0s t(2X 2+3390XX%X3X410b-1fgX32CO11 / 5Xade01maxZ=5x+3x2，约w”， X3, X4为松驰变量，表中解代入目标函数后得 Z

7、=101下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为 束形式为求表中ag的值 (2)表中给出的解是否为最优解a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g= 5表中给出的解为最优解2.用单纯形法求解下列线性规划问题：maxZ=3x+5x2xi w 152x2 123xi+2x2 0 解：化为标准形式maxZ =3xi+ 5x2 + xs+ 0X4 + 0X5s t x i+ x 3=152x 2 +x 5=123x 1+2x2+X5=18x I j0 (j=1, , , 5)Cj35000CBxBbX1x2x3 X4x50x315101000x4120(2)0100x

8、51832001Cj Zj350000x315101000x460101/200x56(3)0011Cj Zj3005/200x3130011/31/35x260101/203x121001/31/2Cj Zj0003/21最优解 X * = (2, 6, 13, 0, 0) T Z * =363.用大M法求解下列线性规划问题解：化为标准形式maxZ=x+2x2+3x3 X4 mx m)e1+2X2+3X3 +X5=152X251/211/21/200Cj 乙Im0!2m+2 -3 M+2 0 0222MX5500(2)-11 01X110103-1/302/32X200112/30-1/3C

9、j 乙002M+2-M-20-M3X15/2001-1/21/201X15/21007/6-3/22/32X25/201011/2-1/3Cj 乙000-7/2-M-1-M* / 5 5 5 t *x=（ ，一，一，0, 0, 0） , z=152 2 24.用单纯形法求解线性规划问题minZ= 2X1+X2+X3s t/3x计 x 2+X3 60X1 X2 +2x 3 10X1+X2 X3 0 (j=1,2 , 3)解:化为标准形式maxZ=2x1 X2+ X3s t3X1+ X 2+X3+X4=60X1 X2 +2x 3+X5=10X1+X2 X3+X6=20XVj0 (j=1, ”， 6

10、)Cj211000CB x b bX1X 2X3 X4X 5 X 60 x 4 6031 11000 x 5 10(1)120100 x 6 20111 00 1Cj 乙2110000 x 4 30045 13 00 x 1 101120100 x 6 100(2)一30 11Cj 乙013 02 00 x 4 1000 111 22 x 1 15101/20 1/21 x 2 51/2013/20 1/21/2Cj 乙005/201/2 1/2最优解 X * = (15, 5, 0, 10, 0, 0)TZ * = 25福安商场是个中型的百货商场， 它对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，

11、 为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问该如何安排售货人员的休息， 既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少， 请列出此问题的数学模型。时间所需售货人员数时间所需售货人员数星期一28星期五19星期二15星期六31星期三24星期日28星期四25.加入人工变量，化原问题为标准形maxz = 3x)+ 5x2 + 0x3 + 0x4 一 Mx5 r Xi +x3 =42x2 + x4 =12+ 2x2 +x5 = 18X| 04 = 1,2,3,4,5最优单纯形表如下:X*2C350003100-1/31/32Xj00011/3-1/3250J0

12、1/206zcj c 0 0 3/2 M + 1所以垠优解为 X = , Z* = 36 .26.解：设出为从星期i（i=】,23,7）开始休息的人数。7则 minzXii=lf 52 28 1=1论 M151=2i3x4 + x5 + x6 + x7 + X! 25x5 + + x7 + X| + x2 19x6 + x7 + Xi + x2 + x3 31x7 +旳 +x2 + x3 + x + x5 28XiOt(i-lA ,7)三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要 A、B、C三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：

13、ABC甲94370乙46101203602003001） 建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型； （5 分）2） 用单纯形法求该问题的最优解。（10分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为 Xi、X2，贝S Xi、X2 0,设z是产品售后的总利润，则max z =70xi+120x2s.t.9x1 4x2 乞 3604x1 + 6x2 2003xq + 10x2 兰 300x1, x2 兰 02）用单纯形法求最优解：加入松弛变量X3，X4，X5，得到等效的标准模型:max z =70x1+120x2+0 x3+0 x4+0 x5s.t.9x1 4x2 x3 二

14、 3604xq + 6x2 + x4 = 2003x1 10x2 X5 二 300Xj 0, j 二 1,2,5列表计算如下:CbXbbX1X2X3X4X5e l0X336094100900X420046010100/30X53003(10)001300000070120T0000X324039/5010-2/5400/130X420(11/5 )001-3/5100/11120X2303/101001/10100361200012341000120X31860/1100139/1119/1170x1100/111005/11-3/11120X2300/11010-3/222/11430007

15、01200170/1130/1111000-170/1130/1170120000.X*=( 100 300 1860 0一(11 11 11用大M法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型:min z =5x1 + 2x2 + 4x33x1 x2 2x3 - 46x1 3x2 5x3 10XX2,X3 - 0解:用大M法，先化为等效的标准模型:max z/ = 5x1 2x2 4x3s.t.3x1 x2 2yq - x46x1 3冷 5x3yj -0, j = 1,2,.,5增加人工变量X6、X7,得到:max z = 一 5xi 2x2 4x3 M X6 M X7s.t大M法单纯形表求解过程如下

16、:-52400MMCbXbbXiX2X3X4X5X6X7e l-MX64(3)1210104/3-MX71063501015/39M4M7MMMMM9M 5 f4M 27M 4MM00-5X14/311/32/31/301/30-MX72011(2)12115-M 5/3-M 10/3-2 M +5/3M2M 5/3-M0M 1/3M 2/32M 5/3 fM3M +5/30-5X15/311/25/601/601/610/30X410(1/2 )1/211/211/2255/225/605/605/601/2 f1/605/6MM +5/6-5X12/3101/311/311/3-2x220

17、112121225211/311/311/33001/311/3M+1M+1/3-x*= ( 3 , 2, 0, 0, 0) T最优目示函数值min z = - max x2、1） 建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；2） 用单纯形法求该问题的最优解。（10分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为 Xi、X2、X3，则X30,设z是产品售后的总利润，则max z =10x1+6x2+4x3s.t.x-j x2 x3 -10010x1 4x2 5x3 空 6002为 +2x2 +6x3 兰 300必，X2，X3 z 02）用单纯形法求最优解：加入松弛变

18、量x4, x5, x6，得到等效的标准模型：max z =10x1+6x2+4x3+0 X4+0 X5+0 X6s.t.列表计算如下:% X2 x3 x4 =10010捲 + 4x2 + 5x3 + x5 = 6002x1 2x2 6X3 冷二 300xj - 0, j = 1,2,61064000CbXbbX1X2X3X4X5X6e l0X41001111001000X5600（10）45010600X630022600115000000010T640000X4400(3/5 )1/211/100200/310X16012/51/201/1001500X618006/5501/51150104501002T-10106X2200/3015/65/31/6010x1100/3101/62/31/600X6100004201220010620/310/32/303008/310/32/30 X*=(100 31.化为标准型min Z =2x 1+X2-2X 3-x 1+X2+X3 =4-X1+X2-X 3 0, x 3 无约束某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示：消耗、=8px1+2x2=6Xl,x2,x3=0三、某文教用品