菱形的判定专项练习30题.docx
《菱形的判定专项练习30题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《菱形的判定专项练习30题.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
菱形的判定专项练习30题
菱形的判定专项练习30题（有答案）
1.如图，梯形ABCD中，AD//BC,BA=AD=DC亍BC,点E为BC的中点.
（1）求证：
四边形ABED是菱形；
（2）过A点作AF丄BC于点F,若BD=4cm,求AF的长.
2.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,且AC丄BD.点M,N分别在BD、AC上，且A0=0N=NC,
BM=M0=0D.
求证：
BC=2DN.
Z>
3.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.
（1）求证：
四边形AEDF是菱形；
（2）若AB=12cm,求菱形AEDF的周长.
4.如图，在ABCD中，EF//BD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E,F.已知BE=BP
求证：
（1）/E=ZF;
（2）ABCD是菱形.
5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC,AF与CE的延长线相交于点F,连接BF.
（1）求证：
AF=DC;
（2）若/BAC=90,求证：
四边形AFBD是菱形.
6.已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分/ABC,求证：
四边形ABCD是菱形.
7.如图，在一个含30。
的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180。
得到△ABF,再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC点F在AC上，连接AE.
（1）求证：
四边形ADCE是菱形.
（2）连接BF并延长交AE于G,连接CG.请问：
四边形ABCG是什么特殊平行四边形为什么
（3）
9.
如图，在△ABC中，DE/BC,分别交AB,AC于点D,E,以AD,AE为边作ADFE交BC于点G,H,且EH=EC求证：
（1）/B=ZC;
10.如图，在△ABC中，/ACB=90°,CD是AB边上的高，/BAC的平分线AE交CD于F,EG丄AB于G.
（1）求证：
△AEG^AAEC;
（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；
（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论.
11.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别是△ABC三边的中点.求证：
四边形ADEF是菱形.
12.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,M、N、E、F分别为AD、BCBDAC的中点，求证：
四边形MENF为菱形.
13.已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD,/BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.求证：
四边形ABED是菱形.
15.如图：
在△ABC中，/BAC=90°,AD丄BC于D,CE平分/ACB交AD于G,交AB于E,EF丄BC于F.求证：
四边形AEFG是菱形.
16.如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECFAB交EC于点N,CD交AF于点M.求证：
四边形ANCM是菱形.
17.如图，四边形ABCDDEBF都是矩形，AB=BF,AD、BE交于M,BCDF交于N,那么四边形BMDN是菱形吗如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由.
19.已知：
如图所示，BD是厶ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E,交BC于点F.求证：
四边形BFDE是菱形.
20.如图，在平行四边形ABCD中，0是对角线AC的中点，过点0作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.求证：
四边形AFCE是菱形.
21.如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD.
（1）
判断四边形BEDF的形状，并说明理由.
（2）
26.已知：
如图，△ABC和厶DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC,AC=BD交于E,/BEC的平分线交BC于0,延长E0到F,使E0=0F求证：
四边形BFCE是菱形.
27.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线上的点，CF//BE
（1）求证：
△BDE^ACDF;
（2）请连接BF,CE试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；
（3）
在
（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件并说明理由.
28.如图，在△ABC中，/ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，并且AF=CE
（1）求证：
四边形ACEF是平行四边形；
（2）
当/B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形请回答并证明你的结论.
30.如图，△ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN//BC,设MN交/BCA的平分线于点E,交/BCA的外角平分线于点F.
（1）探究：
线段0E与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点0运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形
（3）当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由.
矩形的判定专项练习30题参考答案:
1.1）证明：
•••点E为BC的中点，
•••BE=CE丄BC,
2
•/BA=AD=DC=-BC,
2
•AB=BE=ED=AD
•四边形ABED是菱形；
（3）解：
过点D作DH丄BC,垂足为H,
CD=DE=CE
•/DEC=60,°
•/DBE=30,
在RtABDH中，BD=4cm,
•DH=2cm,
•/AF=DH,
•AF=2cm.
irzi=Z2
在厶AEF和厶DEC中彳，陋F二ZDEC，
AE=DE
•△AFE^ADCE（AAS,
•AF=DC
（2）证明：
•/D是BC的中点，
•DB=CD—BC,
2
•/AF=CD
•AF=DB
•/AF/BD,
•四边形AFBD是平行四边形，
•//BAC=90,°D为BC中点，
•AD）CB=DB
D
L
/
23
2.•/AO=ON,BM=MO,•四边形AMND是平行四边形，•/AC丄BD,•平行四边形AMND是菱形，•MN=DN,
•/ON=NC,BM=MO,•MN=-BC,•BC=2DN
2
3.
（1）•/D,E分别是BC,AB的中点，
•DE//AC且DE=AF=AC.
2
同理DF/AB且DF=AE」AB.
2
又•/AB=AC,•DE=DF=AF=AE
•四边形AEDF是菱形.
（2）•/E是AB中点，•AE=AB=6cm，因此菱形AEDF
2
的周长为4X6=24cm
4.
（1）•/BE=BP•/E=ZBPE,
•/BC/AF,
•/BPE=ZF,•/E=ZF.
（2）•/EF/BD,
•/E=ZABD,/F=ZADB,
•/ABD=ZADB,
•AB=AD,
•••四边形ABCD是平行四边形，
•□ABC是菱形.
5.1）证明：
•/E是AD的中点，
•AE=DE
•/AF/BC,
•/仁/2,
7.
（1）T三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻
转180°得到△ABF,
•△ABC^AABF,且/BAC=ZBAF=30,°
•/FAC=60,°
•AD=DC=AC
又•/△ABC^△EFC
•CA=CE
又•••/ECF=60,
•AC=EC=AE
•AD=DC=CE=AE
•四边形ADCE是菱形；
（2）
证明：
由
（1）可知：
△ACD,△AFC是等边三角形，
△ACB^AAFB,
•••/EDC=ZBACj/FAC=30,°且△ABC为直角三角形,
•••BC去C,
\2
•/EC=CB
•EC^AC,
•E为AC中点，
•DE丄AC,
•ae=ec
•/AG//BC,
•/eag=zecb/age=zebc,
•△AEG^^CEB
•AG=BC（7分）
•四边形abcg是平行四边形，
•//ABC=90,°
•四边形abcg是矩形
8.在△ADE和^CDF中,
•••四边形ABCD是平行四边形，
•/a=zC,
•/DE丄AB,DF丄BC,
•/AED=ZCFD=90.°
又•/DE=DF,
•△ADE^ACDF（AAS）
•DA=DC,
•平行四边形abcd是菱形
9.
（1）•/在ADFE中,AD//EF,
•/EHC=ZB（两直线平行，同位角相等）
•••EH=EC（已知），
•/EHC=ZC（等边对等角），
•/B=ZC（等量代换）；
（2）TDE//BC（已知），
•/AED=ZC,/ADE=ZB.
•••/B=ZC,
•/aed=zade,
•ad=ae,
•adfe是菱形.
10.1）证明:
•//ACB=90°,
•AC丄EC.
又•••EG丄AB,AE是/BAC的平分线，
•GE=CE
在RtAAEG与RtAAEC中，
Tge=ce
［岖二怔，
•RtAAE3RtAAEC（HL）;
（2）解：
△CEF是等腰三角形•理由如下:
•/CD是AB边上的高，
•CD丄AB.
又•••EG丄AB,
•EG//CD,
•/CFEhGEA.
又由
（1）知，RtAAEG4RtAAEC,
•/GEA=ZCEA
•/CEAhCFE即/CEF=/CFE
•CE=CF即△CEF是等腰三角形；
（3）解：
四边形GECF是菱形•理由如下：
•••由
（1）知，RtAAE3RtAAEC,贝UGE=EC由
（2）知，CE=CF
•GE=EC=FC
又•/EG//CD,即GE//FC
•四边形GECFF是菱形.
11.ID、E、F分别是△ABC三边的中点,
•DE'AC,EFAB,
3
•四边形adef为平行四边形.
又•••ac=ab,
•DE=EF
•四边形adef为菱形.
12.•/M、E、分别为AD、BD的中点，
•ME//AB,ME*AB,
2
同理：
FH//AB,FH」AB,
2
•四边形MENF是平行四边形，
•/M.F是AD,AC中点，
•/AB=Cd
•MF=ME,
•四边形MENF为菱形
13.•/AE平分/BAD,
•/BAE=ZDAE,••-（1分）
在厶bae和厶dae中，
「AB二AE
.Iy,
•△BAE^ADAE（SAS••-（2分）
•••BE=DE••-（3分）
•/AD//BC,
•/DAE=ZAEB,••-（4分）
•/BAE=ZAEB,
•AB=BE,••-（5分）
•AB=BE=DE=AD••-（6分）•四边形ABED是菱形.
14.
•/AB=AC,M、0、N分别是ABBC、CA的中点，
•AM=_AB=1AC=AN,
2[2
M0//AC,NO/AB,且MO=」AC=AN,
2
NO==AB=AM（三角形中位线定理），
•AM=MO=AN=NO,
•四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）
15.证法一：
•/AD丄BC,
•/ADB=90°
•//BAC=90,°
•/B+ZBAD=90°/BAD+ZCAD=90°
•ZB=ZCAD,
•/CE平分ZACB,EHBC,ZBAC=90°EA丄CA）,
•AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
•/CE=CE
•由勾股定理得：
AC=CF
•/△ACG和厶FCG中
AC=CP
ZACG=ZFOG,
CG=CG
•
△ACG^AFCG
•ZCAD=ZCFG,
•/ZB=ZCAD,
•ZB=ZCFG
•GF//AB,
•/AD丄BC,EF±BC,
•AD/EF,
即AG//EF,AE/GF,
•四边形AEFG是平行四边形，
•/AE=EF
•平行四边形AEFG是菱形.
证法二：
•/AD丄BC,ZCAB=90,EF丄BC,CE平分ZACB,
•AD/EF,Z4=Z5,AE=EF
•/Z仁180-90°Z4,Z2=180-90°Z5,
•Z1=Z2,
•/AD//EF,
•Z2=Z3,
•Z1=Z3,
•AG=AE
•/AE=EF
•AG=EF,
•/AG/EF,
•四边形AGFE是平行四边形,
•/AE=EF
•平行四边形AGFE是菱形.
16.•/CD//AB,
•ZFMC=ZFAN,
•ZNAE=ZMCF（等角的余角相等），
在厶CFM和厶AEN中，
Z?
=ZE
CF=AE,
bZFCr=ZEAN
•△CFM^AAEN（ASA）,
•CM=AN,
•四边形ANCM为平行四边形，
在厶ADM和厶CFM中，
ZD=ZF
ZDMA=ZOT,
LAD=CF
•△ADM◎△CFM（AAS）,
•AM=CF,
•四边形ANCM是菱形
17.四边形BMDN是菱形.
•/AM/BC,
•ZAMB=ZMBN,
•/BM/FN
•ZMBN=ZBNF,
•ZAMB=ZBNF,
又tZA=ZF=90°,AB=BF,
•△ABM◎△BFN,
•BM=BN,
同理，△EMD^ACND,
•DM=DN,
•/ED=BF=ABZE=ZA=90°ZAMB=ZEMD,
•△ABM◎△EDM,
•BM=DM,
•MB=MD=DN=BN,
•四边形BMDN是菱形
18.如图，由于DE/AC,DF/AB,所以四边形AEDF为平行四边形.
•/DE/AC,•/3=/2,
又/1=/2,•/仁/3,
AEDF为菱形.
19.•/EF是BD的垂直平分线,
•••EB=ED
•••/EBD=ZEDB.
•••BD是厶ABC的角平分线，
•/EBD=ZFBD.
•/FBD=ZEDB,
•ED//BF.
同理，DF/BE,
•四边形BFDE是平行四边形.
又•/EB=ED
/FDO=/EBO,OD=OB,/DOF=/BOE=90,°所以△DOF^ABOE,
所以OE=OF.
又因为EF丄BD,OD=OB,
所以四边形
形.
BEDF为菱
（5分）
（2）如图，
则DO=10,
由勾股定理得
在菱形EBFD中，BD=20,EF=15,
E0=.
DE=EB=BF=FD=
S菱形EBF时EFBD=BEAD
2
所以得AD=12.
根据勾股定理可得AE=,有AB=AE+EB=16由2（AB+AD）=2（16+12）=56,
故矩形ABCD的周长为56
22.v四边形ABCD是平行四边形，
•AF/BE,
又•/EF/AB,
•四边形ABEF为平行四边形，
•/AE平分/BAF,
•/BAE=/FAE,
•//FAE=/BEA,
•/BAE=/BEA,
•BA=BE
•平行四边形ABEF为菱形
23.
（1）证明：
在矩形ABCD中，
•/AB/CD,
•/BAC=/DCA,
又/CAE=/ACE/ACF=/CAF,
•/EAC=ZFCA
•AE/CF.
•四边形AECF为平行四边形，
又/CAE=/ACE
•AE=EC
•AECF为菱形.
（2）设BE=x,贝UEC=AE=8-x,在RtAABE中，
ab2+bE2=ae2,
即42+/=（8-x）2.
解之得x=3,
所以EC=5
即S菱形aecfECXAB=5^4=20
24.四边形AFCE是菱形，理由阜••••四边形ABCD是平行四边形，
•
疋：
AD/BC,
•/AO=OC
•OE=OF,
•四边形AFCE是平行四边形,
•/EF±AC,
•平行四边形AFCE是菱形
25.
（1）AC与EF互相平分，连接CE,AF,
•••平行四边形ABCD,
•AB/CD,AB=CD,
又•/BE=DF,
•AB+BE=CD+DF
•AE=CF,
•AE/CF,AE=CF,
•四边形AECF是平行四边形，
•AC与EF互相平分；
（2）条件：
EF丄AC,
•/EF丄AC,
又•/四边形AECF是平行四边形，
•平行四边形AECF是菱形.
26.•/AB=DCAC=BDBC=CB
•△ABC^^DCB
•/DBC=ZACB,
•BE=CE
又•//BEC的平分线是EF,
•EO是中线（三线合一），
•BO=CO,
•四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），
又•/BE=CE
•四边形BFCE是菱形.
27.
（1）证明：
•/CF/BE,•/EBD=ZFCD,
D是BC边的中点，贝UBD=CD,/BDE=ZCDF,
•△BDE^ACDF.
（2）如图所示，由
（1）可得CF=BE又CF/BE,所以四边形BECF是平行四边形；
（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC,理由：
当AB=AC时，则有AD丄BC,又
（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形.
28.
（1）•/DE为BC的垂直平分线,
•/EDB=90,°BD=DC又•//ACB=90,
•DE/AC,
•••E为AB的中点，
•••在RtAABC中，CE=AE=BE
•/AEF=ZAFE,且/BED=ZAEF,
/DEC=ZDFA,
•AF//CE,
又•••AF=CE
•四边形ACEF为平行四边形；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形,贝UAC=CE即可,
•/DE/AC,•/BED=ZBAC,/DEC=ZECA
又•//BED=ZDEC
•/EAC=ZECA
•AE=EC又EB=EC
•AE=EC=EB
•/CE二AB,
2
•AC匸AB即可，
2
在RtAABC中，/ACB=90,
•当/B=30时，AB=2AC
故/B=30时，四边形ACEF为菱形.
29.•/AD平分/BAC
•/BAD=ZCAD又•/EF丄AD,
•/AOE=ZAOF=90°
•••在△AEO和厶AFO中
rZEA0-ZFA0
bZAOE=ZAOF
•△AEC^△AFO（ASA）,
•EO=FO
即EF、AD相互平分，
•四边形AEDF是平行四边形
又EF丄AD,
•平行四边形AEDF为菱形
30.1）解：
OE=OF.理由如下:
•••CE是/ACB的角平分线,
•/ACE=ZBCE又•/MN/BC,
•/NEC=ZECB
•/NEC=ZACE
•OE=OC
•/OF是/BCA的外角平分线，
•/OCF=/FCD,
又•/MN//BC,
•••/OFC=ZECD
•••/OFC=ZCOF,
•OF=OC
•OE=OF;
（2）解：
当/ACB=90,点O在AC的中点时,
•/OE=OF,
•四边形AECF是正方形；
（3）答：
不可能.解：
如图所示，
•/CE平分/ACB,CF平分/ACD,若四边形BCFE是菱形，贝UBF丄EC,
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°所以不存在
其为菱形.
升级会员 