菱形的判定和性质.docx
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菱形的判定和性质
菱形的判定和性质
一、基础知识
（一）菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形的性质：
1、具有平行四边形的一切性质；
2、菱形四条边都相等；
3、菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角;
4、菱形是轴对称图形；
边
角
对角线
对称性
菱形
对边平行；
四边相等
对角相等：
邻角互补
互相垂直平分且
平分对角
轴对称
（三）菱形的判定:
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、四条边都相等的四边形是菱形；
（四）菱形的面积
U可以用平行四边形的面积算（S二丄底X高）2
2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半S二丄ab）
2
二.例题讲解
考点一：
菱形的判定
例1:
下列命题正确的是（）
（A）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
（B）对角线相等的四边形一定是矩形
（C）两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
练习1：
菱形的对角线具有（）
A.互相平分且不垂直
B.互相平分且相等
C.互相平分且垂直
D.互相平分、垂直且相等
练习2：
如图，菱形ABCD中，对角线AC.BD相交于点0,M、N分别是边AB.AD的中点，连接OM、ON、
MN,则下列叙述正确的是（）
A・△A0\1和△AON都是等边三角形B.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
C.四边形MBON和四边形H0D7都是菱形D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
练习3：
如图，在三角形ABC中，AB>AC.D、E分别是AB.AC上的点，AADE沿线段DE
翻折，使点A落在边BC上，记为A'.若四边形ADAfE是菱形，则下列说确的是（）
A.
DE是'ABC的中位线B.A4'是BC边上的中线
练习4：
如图，下列条件之一能使平行四边形川彩是菱形的为（）
①AC丄BD②ZBAD=90③AB=BC④AC=BD
A.①③B.②（§）C.③④D.©（§）③
B.
变化：
若D是等腰三角形底边BC的中点，DE〃AC交AB于E,DF〃AB交AC于F,则四边形AEDF是什么四边形？
请说明理由.
练习1:
如图，AD是RtAABC斜边上的高，BE平分ZB交AD于G,交AC于E,过E作EF丄BC于F,试说明四边形AEFG是菱形.
练习2:
如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF丄AC于点H,交CB延长线于点F,交AB于点G,求证：
AB
与EF互相平分。
练习3:
如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E,又
点F在DE的延长线上，且AF=CE,求证：
四边形ACEF是菱形。
考点二：
菱形的性质
例1：
如图，四边形ABCD中，ZADC=90°,AC=CB,E、F分别是AC.AB的中点，且ZDEA=ZACB=45°,
BG丄AE于G,
求证：
（1）四边形AFGD是菱形；
（2）若AC=BC=10,求菱形的面积。
练习h如图，在菱形ABCD中，E是AB中点，且DE1AB,AB=4,
求：
（1）ZABC的度数;
（2）菱形ABCD的面积。
例2：
如图5,ABCD是菱形,对角线EC与加相交于0,ZACD=30°,BD=6.
（1）求证：
是正三角形；
（2）求的长（结果可保留根号）.
练习1:
若菱形的边长为lcm,其中一角为60°,则它的面积为（）
C.y/3cm2C・2cm2D・2>/3cm2
练习2:
若菱形的周长为16cm,两相邻角的度数之比是1:
2,则菱形的面积是（）
（A）4羽cm（B）8萌cm（C）16©cm（D）20羽cm
练习3：
已知菱形的周长为96cm,两个邻角的比是1:
2,这个菱形的较短对角线的长是（）
例3：
如图，将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）
练习1：
菱形的两条对角线分别是12cm.16cm,则菱形的周长是（）
练习2:
若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E,AE=lcm,则BC的长是（）
（A）lcm（B）2cm（C）3cm（D）4cm
练习3：
若菱形周长为52cm,一条对角线长为10cm,则其面积为（）
A.240cmJB.120cnfC.60cnTD.30cm
ZBAE=18°求ZCEF的度数。
例4：
如图，菱形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点，ZB=ZEAF=60°,
练习1：
如图，菱形川％9中，Z〃=60°,AB=2.E、F分别是氏.仞的中点，连接必\EF、AF.则ZU胪的周长为（）
A.2/B.3爲C.4昭D.3
练习2：
如图，在菱形ABCD中，ZA=60\E、F分别是AB.AD的中点，若EF=2,则菱形ABCD的边长是—
练习3:
如图所示，已知菱形ABCD中，E.F分别在BC和CD上，且ZB二ZEAF二60。
，ZBAE=15°,求ZCEF的度数。
例5:
如图，菱形ABCD是边长为13cm,其中对角线AC=10cm,
求
（1）菱形ABCD的面积；
（2）作BC边上的高AH,求出AH的长度
练习1:
如图，在菱形ABCD中，ZABC与ZBAD的度数比为1:
2,周长是48cn）・
求：
（1）两条对角线的长度;
（2）菱形的面积.
例6:
已知：
如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD±的点,且CE二CF。
过点C作CG/7EA交AF于H,交AD于G,若ZBAE二25。
，ZBCD二130°,求ZAHC的度数。
练习1:
如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB-AE,ZBAE-丄ZEAD,AE交BD于乩试说明BE二AM。
2
练习2：
如图，菱形旳如9的边长为2,BD=2、E、F分别是边/似皿上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：
HBDE^iXBCF；
（2）
判断△财的形状，并说明理由；
（3）设△财的面积为S,求S的取值围.
考点三：
综合
例1：
如图，菱形ABCQ的边长为1,ZB,=60；作AQ丄于点Q,以AQ为一边，做第二个
菱形AB2C2D2,使ZB,=60；作人2丄于点0,以A0为一边做第三个菱形AB.C.D.，使
ZB3=60^:
……依此类推，这样做的第〃个菱形ABnCnDn的边的长是.
例2:
菱形ABCD的对角线交于0,A0二1,且ZABC:
ZBAD二1：
2,ZABO=300则下列结论：
①.ZABC-600；
②.AC=2；③.BD二4；④.SABCD-2V5；⑤菱形ABCD的周长是8,其中正确的有（）
A.①②③④⑤B.①②©⑤C.®®④⑤D.①②③
例3：
如图所示，在RtAABC中，ZABC=90°.将RtZ\A3C绕点C顺时针方向旋转60。
得到△£）£&点E在AC上，再将RtAABC沿着AB所在直线戳转180。
得到△ABF.连接AD.
（1）求证：
四边形AFCD是菱形；
（2）连接BE并延长交AD于G连接CG,请问：
四边形ABCG是什么特殊平行四边形？
为什么？
课后练习:
3、菱形川如9中，垂直平分仇;
2、如图1,在菱形旳苑9中…4B=5,ZBCD=120°,则对
角线EC等于（）
A.20
D.10
垂足为任AB=4cm.那么，菱形/L如9的面积是
加的长是
4、如图，在菱形泅中，Z/f=110°,E、尸分别是边泅和处的中点，EPLCD于点只则乙FPC八
5、已知：
如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点
（1）求证:
AM=DM；
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