《材料力学》第章B应力状态和强度理论B习.docx
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《材料力学》第章B应力状态和强度理论B习
第七章应力状态和强度理论习题解
［习题7-1］试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。
1ZN0,SkN-m
与g阴伽站一12kNm"广4kYm|
2a
（h）
♦400
Hoc*
40—
\A
400斗-
（c）
I
40'I
（d）
.11
［习题7-1（a）］
解：
A点处于单向压应力状态。
NF-2F
S"
［习题7-1（b）］
解：
A点处于纯剪切应力状态。
T
-Tid3
16
_16T
--^d3
6
16^8^10N
3.14X803mm3
mm=79.618MPa
［习题7-1（b）］
解：
A点处于纯剪切应力状态。
RbX12—0.8—2X0.4=0
Rb=1.333（kN）
Qa=—Rb=-1.333（kN）
q1333N
“=心瓜—"GweW"417MPa
tTa
bB
MBy
Iz
6
1.333x0.3x10Nmm^30mm
=2.083MPa
134
—X40咒120mm12
Tb
QSz
Izb
3
竺竺竺型0.312MPa
丄x40xl203mm4x40mm
12
［习题7-1（d）］
解：
a点处于平面应力状态
3
39.3絆0Nmm“pa
—
Wz
133
一x3.14x203mm3
32
T
78.6x103NEm
Ma
133
—X3.14X20mm
16
=50.064MPa
Xa
0a
［习题7-2］有一拉伸试样，横截面为40mmx5mm的矩形。
在与轴线成a=45°角的面上
切应力T=150MPa时，试样上将出现滑移线。
试求试样所受的轴向拉力仅用于个人学习
F。
文档收集自网络,
匚：
by=0；TX=0
C-c00
七590+590
2A
出现滑移线，即进入屈服阶段，此时,
T0
452A
F<150
B点处于平面应力状态
F=300A=300N/mm2x40x5mm2=60000N=60kN
［习题7-3］一拉杆由两段沿m-n面胶合而成。
由于实用的原因，图中的a角限于0〜60°
范围内。
作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与
相应的许用应力比较。
现设胶合缝的许用切应力
［T］为许用拉应力［b］的3/4，且这一拉杆
F,试问a角的值应取多大？
文档收
的强度由胶合缝强度控制。
为了使杆能承受最大的荷载集自网络，仅用于个人学习
解：
CTx
=0；
lx=0
—by
cos2a—TxSin2a
2
FcF1+cos2a
+——cos2a=<[b]
2A2AAc
F1+cos2ar,
<[G
A
F2
cosa<[b]
<^]A
—2
cosOt
_[GAcos2a
Fmax,N
"a
bx~bysin2a+TxCOs2a
2
习題7-3罔
F
3sin2a<[T]=-[b]2A4
FJ-5r]Asin2a
F_1-5r]A
厂max,T・-
sin2a
a（0）
0.9
10
20
30
36.8833
40
50
60
FmaxN（[6A）
1.000
1.031
1.132
1.333
1.563
1.704
2.4201
1.000
FmaxT（[6A）
47.754
4.386
2.334
1.732
1.562
1.523
1.523-
.732
最大荷载随角度变化曲线
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
0.000
Fmax,N
Fmax,T
由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力
强度条件控制最大荷载。
由图中可以看出，当
a=60°时，杆能承受最大荷载，该荷载为:
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Fmax=1.732[b]A
［习题7-4］若上题中拉杆胶合缝的许用应力
[可“耳⑺，而[T]=7MPa,[O']i4MPa，
则a值应取多大？
若杆的横截面面积为1000mm2，试确定其最大许可荷载。
文档收集自网络,仅用于个人学习
解：
由上题计算得：
Fmax^COSA
%，bysin"+Txcos2a
2
sin2a<[l]=o.5[cr]2A
sin
sin2a
a（0）
0.9
10
20
26.565051
30
40
50
60
FmaxN（[b]A）
1.000
1.031
1.132
1.250
1.333
1.704
2.420
4.000
FmaxT（[b]A）
31.836
2.924
1.556
1.250
1.155
1.015
1.015
1.155
F
厂max,T—
最大荷载随角度变化曲线
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
0.000
Fmax,NFmax,T
由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切
应力强度条件控制最大荷载。
由图中可以看出，当a=26.5650510时，杆能承受最大荷载,
该荷载为：
Fmax=1.25[cr]A=1.25x14N/mm2x1000mm2=17500N=17.5kN文档收
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［习题7-5］试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面
m-n上正应力及切
应力的计算公式。
设截面m-n的法线与x轴成a角如图所示（作图时可设|cry|a||）。
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解：
坐标面应力：
X（bX，0）；Y（by，
0）
设m-n斜面的应力为M（ba，
。
X、Y点
作出如图所示的应力圆。
由图中的几何关系可知:
=-（O1O-O1N）
习題了-5图
c-c
-（If丨
-Cy
2
cos2a）
CT—CT
cos2ot）
2
-25+5-by
bx-byc、
cos2a）
2
c-c
+__cos2<^
2
bx—by
=OMsin2a=sin2a
a2
［习题7-6］某建筑物地基中的一单元体如图所示，cry=-0.2MPa（压应力），
cTx=-0.05MPa（压应力）。
试用应力圆求法线与x轴成顺时针600夹角且垂直于纸面的
斜面上的正应力及切应力，并利用习题7-5中得到的公式进行校核。
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学习
解：
坐标面应力：
X（-0.05，0）；Y（-0.2，0）
a=-600。
根据以上数据作出如图所示的应
力圆。
图中比例尺为1cm代表0.05MPa。
按比例尺量得斜面的应力为：
CT600=—0.1625MPa
上0
T600=-0.065MPa
按习题7-5得到的公式计算如下:
6"y+cos2a
22
巧I\
习题7=6图
_60
=^00^+^0^cos（-1200）—0.1625MPa
Q—b
咕=sin2a
T^0^~0.0^0.2sin（-120°）=-0.065MPa
a2
2
作图法（应力圆法）与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7］试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以
下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。
文档收集自网络,
仅用于个人学习
解：
（1）
（2）
X
0,72m
E_站SOmm
[]
求计算点的正应力与切应力
Iz
QSz
T=
Izb
ESok
习@7-7图
6
_12My12x10x0.72x10NmmZOmm
bh3
80x1603mm4
=10.55MPa
10x103NX（80x40）X60mm3
134
—x80X160mmx80mm12
=-0.88MPa
写出坐标面应力
（10.55，-0.88）
Y（0，0.88）
作应力圆求最大与最小主应力，并求最大主应力与x轴的夹角作应力圆如图所示。
从图中按比例尺量得：
=10.66MPa
=-0.06MPa
=4.75°
［习题7-8］各单元体面上的应力如图所示。
试利用应力圆的几何关系求:
（1）指定截面上的应力；
（2）主应力的数值；
（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
［习题7-8
（a）]
解：
坐标面应力：
X（20，0）；Y（-40，0）a=60°。
根据以上数据作出如图所示的应
力圆。
图中比例尺为1cm代表lOMPa。
按比例尺量得斜面的应力为:
%00=—25MPa，怙。
=26MPa；巧=20MPa，忑3=-40MPa；«^00。
|40MPa
20MPa
单元体图
if/MPa
（-虬叭
7
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-8（b）]
解:
坐标面应力：
X（0,
30）;Y（0，-30）a=30°。
根据以上数据作出如图所示的应力
圆。
学习
图中比例尺为1cm代表10MPa。
按比例尺量得斜面的应力为：
文档收集自网络，仅用于个人
%00=-26MPa，T600
=15MPa；6=30MPa，b3=—30MPa；ot0=-45°。
rJMPi
cr/MPa
30MParJ
k-=o）
单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-8（c）]
解:
坐标面应力：
X（-50,0）
；Y（-50,0）a=30°。
根据以上数据作出如图所示的应力
圆。
学习
图中比例尺为1cm代表20MPa。
按比例尺量得斜面的应力为：
文档收集自网络，仅用于个人
^600=一50MPa，t60^0；CT2=—50MPa，©3=—50MPa。
r/MPi
b3
MPa^,
理MP超
QEMPa一>
A
-F—-50
50MPa
单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-8（d）]
解：
坐标面应力:
X（0，-50）；Y（-20，50）a=00。
根据以上数据作出如图所示的应力
圆。
图中比例尺为
学习
1cm代表20MPa。
按比例尺量得斜面的应力为：
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%=40MPa
0'
，T450=10；4=41MPa,6=0MPa，3=-61MPa；0=3935。
单元体图
r/MPa
◎
（O.-EOj
+0i
[J/MPa
»-6LMPi
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
［习题7-9］各单元体如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：
（1）主应力的数值；
（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
［习题7-9（a）］
解：
坐标面应力：
X（130,70）；Y（0，-70）。
根据以上数据作出如图所示的应力圆。
图中比例尺为1cm代表20MPa。
按比例尺量得斜面的应力为：
0'
W=160.5MPa,6=0MPa，cr3=-30.5MPa；a0=-2356。
rrJMPa
--30
MPa
70MPa
Pa
=160
1»店
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
单元体图
［习题7-9（b）］
解：
坐标面应力：
X（-140，-80）；Y（0，80）。
根据以上数据作出如图所示的应力圆。
图中比例尺为1cm代表40MPa。
按比例尺量得斜面的应力为：
S=36.0MPa,J=0MPa，^3=T76MPa；a0=65.60。
140MPa
80MPa
SO'MPa
单元体图
主单元体图
［习题7-9（c）］
解：
坐标面应力：
X（-20，-10）；
Y（-50，
力圆。
图中比例尺为1cm代表10MPa。
10）。
根据以上数据作出如图所示的应按比例尺量得斜面的应力为：
a0=16.10。
0MPa
20MP
10MPa
MPa
单元体图
主单元体图
［习题7-9（d）］
解：
坐标面应力：
X（80，30）；
Y（160,-30）。
根据以上数据作出如图所示的应力圆。
图中比例尺为1cm代表20MPa。
按比例尺量得斜面的应力为：
S=170MPa,无=70MPa，cr3=0MPa；a0=-71.6°。
主单元体图
弭
0巧
［习题7-10］已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。
点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角
试利用应力圆求该
a值。
文档收集自网络，仅用于个人学习
6=0MPa22=-16.25MPa，cr3=—53.75MPa；
平面应力状态下的两斜面应力
解：
两斜面上的坐标面应力为：
A（38，28），B（114，-48）
由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦，如图所示。
作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C
点，则C为应力圆的圆心。
设圆心坐标为C（x,0）
则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等性质，可列以下方程：
i22i22
讥X—38）+（0-28）r（x-114）+（0+48）
解以上方程得：
x=86。
即圆心坐标为C（86，0）应力圆的半径：
r=7（86-38）2+（0-28）2=55.570
主应力为:
=x+r=86+55.57=141.57MPa
=x—r=86—55.57=30.43MPa
^3
=0
（2）主方向角
tan2%
23
"旋
（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角）（上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）
11/29
2a=[W-（90-«2i^）]+2i^=90"+他
［习题7-11］某点处的应力如图所示，设“a及by值为已知，试考虑如何根据已知数据
6-^aCOsa+咕5ina=0
（1）
直接作出应力圆。
送丫=0
by-o"』na-^aCOSa=0
（1）、
（2）联立，可解得0x和a。
至此，三个面的应力均为已知：
X（CTx，0），Y（cry，0）（CTx，CTy均为负值）；
a（CT0%）。
由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
［习题7-12］一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示，梁的自重略去不计。
试示m-m上
a,b,c三点处的主应力。
160kN
160kN
to.4m
m
2m
OQC
解：
（1）求a点的王应力
11
3=丄咒120咒2203-丄咒110咒2003=33146666.7（mm4）
1212
Wz=丄
=33146666.7=301333.3336（mm3）
ymax
110
ba==
aWz
M16^0.^106n-^212.390MPa
3013333336mm3
因a点处于单向拉伸状态，故cTj=ba=212.39MPa,cr0。
（2）求b点的主应力
6
My160x0.4x10N，mmx100mm=[9308側pa
Iz
33146666.7mm3
在m-m的左邻截面上，Q=160kN
QS；16^103^（12^10^105mm^60.821MPa
4
331466667mmx10mm
即坐标面应力为
X（193.081,60.821），丫（0,-60.821）.
bz+by
冷竝一by）2+4T；
193.081
+1用莎E^=210.64Mpa
=0
6+by
-1JQx-by）2+4Tj
2
193.081
冷济F082"一17.56MPa
（3）求C点的主应力
%=0
QS；
Izd
=160"0M（120""105+10"0"50）mm3=84.956MPa
331466667mm4X10mm
即坐标面应力为X（0,84.956），丫（0,-84.956）.
bz+by
冷如84.9562=84.956Mpa
^2
=0
2j（5-by）2+代
=_-如84.9562=』4.956MPa2
［习题7-13］在一块钢板上先画上直径d=300mm的圆，然后在板上加上应力，如图所示。
试问所画的圆将变成何种图形？
并计算其尺寸。
已知钢板的弹性模量E=206GPa，
V=0.28o文档收集自网络，仅用于个人学习
解：
坐标面应力X（70,21）,Y（14,-21）
迈4士
u2r27
C2x2142
tan2禺=
70-14
55
=-18.43°
习题7-IJ图
勺=应（5_吃）=
^（77-0.28x7）=0.364x10-^
勺=上（巧7巧）=—（7-0.23x77）=-0.07058x10-^
S206x10
所画的圆变成椭圆，其中
d]=d+掐=3OOx（l+0364xl『）=3（m09mm
（长轴）
£=d+皑=300x（1-0,07068X10'^）=299.979nim（短轴）
［习题7-14］已知一受力构件表面上某点处的cTx=80MPa,CTy=—160MPa,单元体的三个面上都没有切应力。
试求该点处的最大正应力和最大切应力。
用于个人学习
5=0,
文档收集自网络，仅
解：
最大正应力为
X=80MPao最小正应力是CT^CT^-160MPao
最大切应力是
'UOMPa
^15OMPa
y
70MPa
60MPa・
^MPal
/
40MPa
7
■
X
!
50MPa
80MPa
jc
（C）
习®7-lS图
7-15］单元体各面上的应力如图所示。
试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。
［习题7-15（a）］
解：
坐标面应力：
X（70，-40），Y（30,-40），Z（50，0）
由XY平面内应力值作a、b点，连接a、
b交轴得圆心C（50，0）
应力圆半径:
（70-30.；
广=寸（—-—）+40=447
5=50+447=947MPa
6=50MPa
2=448
［习题7-15（b）］
解：
坐标面应力：
X（60，40），Y（50，0），
Z（0,-40）
由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交O轴于
C点，0（=30，故应力圆圆心C（30,0）
应力圆半径:
£^1=30+50=80MPa
6=50MPa
二80-（-20）二
nwK2
［习题7-15（c）］
解：
坐标面应力：
X（-80，0），Y（0，-50），Z
（0，50）
作应力圆得
由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为0,半径为50,
5=50Mb
6=-50MPa
文档收集自网络，仅用于个人学习
［习题7-16］已知一点处应力状态的应力圆如图所示。
试用单元体示出该点处的应力状态,并在该单元体上绘出应力圆上A点所代表的截面。
10
3050
cr/MPa
（b）
[习题7-16（a）]
解：
该点处于三向应力状态：
b,=70MPa
b2=50MPa，C73=10MPa。
A点所
代表的截面平行于巧的方向。
据此，可画出如图所示的单元体图和
A截的位置。
文档收
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应力圆
主单元体图与A截面的位置
[习题7-16（b）]
解：
该点处于三向应力状态：
W=50MPa,CT2=10MPa，cr3=_1OMPa。
A点所
代表的截面平行于6的方向。
据此，可画出如图所示的单元体图和A截的位置。
文档收
集自网络，仅用于个人学习
应力圆
主单元体图与A截面的位置
［习题7-17］有一厚度为6mm的钢板，在两个垂直方向受拉，拉应力分别为150MPa及55MPa。
钢材的弹性常数为E=210GPa，v=0.25。
试求钢板厚度的减小值。
文档收集自网络，仅用于个人学习
0.25
解：
豊=-工®+by）=0^——（150MPa+55MPa）=-2.44咒10」
E210x10MPa
钢板厚度的减小值为：
=$IS1=6X2.44X104=1.464x10°（mm）
［习题7-18］边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上均匀地受力F=14kN作
用。
已知V=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。
试求立方体各个面上的正应力。
文档收集自网络，仅用于个人学习
解:
-P-14x10了
C=—二
'/20x20x10-®
=-35MPa
F-14hH
t
X
□厂0・3（-3j+q上0
（1）
沪7冷©+讣。
联解式
（1）,
（2）得
J二J=-15MPa
［习题7-19］在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力F=20kN时，测得试样中段B点处与
其轴线成300方向的线应变为％00=3.25x10*。
已知材料的弹性模量E=210GPa,试求泊松比V。
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解：
平面应力状态下的广义虎克定律Ex=£（bx适用于任意两互相垂直的X,y
方向，故有：
^30。
='1（b300一十b^Q。
）。
钢杆处于单向拉应力状态:
拉杆横截面上的正应力
3
"翳=100MPa
斜截面上的应力
C30Q=ci!
Cos30G2=75MPa
=b（co&-60°）2=25MPa
由广义虎克定律
解得:
3.25X10^=——'一37^7X25]
210X103
V=0.27
［习题7-20］D=120mmd
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