《材料力学》第章B应力状态和强度理论B习.docx

1、材料力学第章B应力状态和强度理论B习第七章 应力状态和强度理论 习题解习题7-1试从图示各构件中 A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。1 ZN 0,S kN- m与g阴伽站一 12 kN m 广4kYm|2a(h)400Hoc*40A400 斗-(c)I40I(d).11习题 7-1 （ a）解：A点处于单向压应力状态。N F -2FS习题 7-1 （b）解：A点处于纯剪切应力状态。T-Tid316_ 16T-d3616810 N3.14X803mm3mm =79.618 MPa习题 7-1 （ b）解：A点处于纯剪切应力状态。RbX120.82X0.4 =0Rb =1.333(

2、kN)Qa = Rb = -1.333( kN)q 1333N“=心瓜GweW417 MPat TabBM ByIz61.333x0.3x10 N mm 30mm=2.083 MPa1 3 4X 40 咒 120 mm 12TbQSzIzb3竺竺竺型 0.312MPa丄 x40xl203mm4x40mm12习题 7-1 （ d）解：a点处于平面应力状态339.3絆0 N mm “paWz1 3 3一x3.14x203mm332T78.6x103 N EmMa1 3 3X3.14X20 mm16= 50.064 MPaX a0 a习题7-2有一拉伸试样，横截面为 40mmx5mm的矩形。在与轴线

3、成 a =45角的面上切应力T =150MPa时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力 仅用于个人学习F。文档收集自网络,匚：b y =0 ； T X =0C -c 0 0七590 +5902A出现滑移线，即进入屈服阶段，此时,T 045 2AF 150B点处于平面应力状态F =300A =300N/mm2x40x5mm2 =60000N =60kN习题7-3 一拉杆由两段沿 m-n面胶合而成。由于实用的原因，图中的a角限于060范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力T为许用拉应力b的3/4，且这一拉杆F

4、,试问a角的值应取多大？ 文档收的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载 集自网络，仅用于个人学习解：CT x=0 ；lx =0 by cos2a TxSi n2a2F c F 1 +cos2a+ cos2a = b 2A 2A A cF1+cos2a r ,GAF 2cos a b A 2cos Ot_ GA cos2 aF max, Nabx by sin2a + TxCOs2a2习題7-3罔F3 sin2a T =-b 2A 4F J-5rA si n2aF _1-5rA厂max,T -sin 2aa （0）0.910203036.8833405060FmaxN（ 6A）1.00

5、01.0311.1321.3331.5631.7042.420 11.000FmaxT（ 6A）47.7544.3862.3341.7321.5621.5231.523 -.732最大荷载随角度变化曲线5.0004.0003.0002.0001.0000.000Fmax,NFmax,T由以上曲线可知，两曲线交点以左， 由正应力强度条件控制最大荷载； 交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当a =60时，杆能承受最大荷载，该荷载为:文档收集自网络，仅用于个人学习Fmax =1.732bA习题7-4若上题中拉杆胶合缝的许用应力可“耳，而T=7MPa , O i4MPa，则a值应取

6、多大？若杆的横截面面积为 1000 mm2，试确定其最大许可荷载。 文档收集自网络, 仅用于个人学习解：由上题计算得：FmaxCOSA%，by sin +Txcos2a2sin 2a l=o.5cr 2Asinsin 2aa（ 0）0.9102026.56505130405060FmaxN（bA）1.0001.0311.1321.2501.3331.7042.4204.000FmaxT（bA）31.8362.9241.5561.2501.1551.0151.0151.155F厂 max,T 最大荷载随角度变化曲线5.0004.0003.0002.0001.0000.000Fmax,N Fmax

7、,T由以上曲线可知，两曲线交点以左， 由正应力强度条件控制最大荷载； 交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。 由图中可以看出，当a =26.5650510时，杆能承受最大荷载,该荷载为： Fmax =1.25crA =1.25x14N/mm2 x1000mm2 =17500N =17.5kN 文档收集自网络，仅用于个人学习习题7-5试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面m - n上正应力及切应力的计算公式。设截面 m - n的法线与x轴成a角如图所示（作图时可设|cr y |a| | ）。文档收集自网络，仅用于个人学习解：坐标面应力：X （ b X，0）； Y （ b y，0)设

8、m-n斜面的应力为M（ba，。X、Y 点作出如图所示的应力圆。 由图中的几何关系可知:= -(O1O -O1N)习題了-5图c -c-(If 丨-C y2cos2a)CT CT cos2ot)2-25 +5 -bybx -by c、 cos 2a)2c -c+ _ cos22 bx by= OM sin 2a = sin 2aa 2习题7-6某建筑物地基中的一单元体如图所示，cry=-0.2M Pa （压应力），cTx = -0.05MPa （压应力）。试用应力圆求法线与 x轴成顺时针600夹角且垂直于纸面的斜面上的正应力及切应力， 并利用习题7-5中得到的公式进行校核。 文档收集自网络，仅用

9、于个人学习解：坐标面应力： X（ -0.05，0）； Y（ -0.2，0）a = -600。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表0.05MPa。 按比例尺量得斜面的应力为：CT 600 = 0.1625MPa上0T 600 = -0.065MPa按习题7-5得到的公式计算如下:6 y + cos2a2 2巧I 习题7 = 6图_60= 00+0cos(-1200) 0.1625M PaQ b咕= sin 2aT0 0.00.2sin(-120) = -0.065MPaa 22作图法（应力圆法）与解析法（公式法）的结果一致。习题7-7试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端

10、为 0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力， 并求最大主应力与 x轴之间的夹角。文档收集自网络,仅用于个人学习解：（1）(2)X0,72 mE _ 站 SO mm求计算点的正应力与切应力IzQSzT = I zbESok习7-7图6_ 12My 12x10x0.72x10 N mmZOmmbh380x1603mm4= 10.55 MPa10x103N X (80x40) X 60mm31 3 4x 80 X160 mm x 80mm 12=-0.88 MPa写出坐标面应力（10.55，-0.88）Y（0，0.88）作应力圆求最大与最小主应力， 并求最大主应力与 x轴的

11、夹角 作应力圆如图所示。从图中按 比例尺量得：= 10.66M Pa=-0.06 M Pa= 4.75习题7-8各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求:（1） 指定截面上的应力；（2） 主应力的数值；（3） 在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。习题7-8(a)解：坐标面应力：X（ 20，0）； Y（ -40，0） a =60。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表lOMPa 。按比例尺量得斜面的应力为:%00 =25MPa，怙。=26MPa ； 巧=20MPa，忑3 = -40MPa ； 00 。|40MPa20 MPa单元体图if/MPa(-虬叭7A-

12、F -5050 MPa单元体图应力圆（O.Mohr圆）主单元体图习题 7-8 (d)解：坐标面应力:X（ 0，-50 ）； Y（ -20，50） a = 00。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为学习1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为： 文档收集自网络，仅用于个人% =40M Pa0 ，T450 = 10 ；4 =41MPa ,6=0MPa，3 = -61MPa ； 0 = 39 35。单元体图r/MPa(O.-EOj+0iJ/MPa-6LMPi应力圆（O.Mohr圆）主单元体图习题7-9各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求：（1） 主应力的数值；（2） 在单元体上

13、绘出主平面的位置及主应力的方向。习题 7-9 （ a）解：坐标面应力：X（ 130, 70）； Y（0，-70 ）。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：0 W =160.5MPa ,6=0MPa，cr3 = -30.5MPa ； a0 = -23 56。rrJMPa- -30MPa70 MPaPa= 1601店应力圆（O.Mohr圆）主单元体图单元体图习题 7-9 （ b）解：坐标面应力：X（ -140，-80 ） ； Y（ 0，80）。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为1cm代表40MPa。按比例尺量得斜面的应力为：S

14、 =36.0MPa , J =0MPa，3 =T76MPa ； a0 =65.60。140 MPa80 M PaSOMPa单元体图主单元体图习题 7-9（ c）解：坐标面应力：X（ -20，-10）；Y（ -50，力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa 。10）。根据以上数据作出如图所示的应 按比例尺量得斜面的应力为：a0 =16.10。0 MPa20MP10 MPaMPa单元体图主单元体图习题 7-9 （ d）解：坐标面应力： X（ 80， 30）；Y（ 160,-30 ）。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：S =170MPa ,

15、无=70MPa，cr3 =0MPa ； a0 = -71.6 。主单元体图弭0巧习题7-10已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。 点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角试利用应力圆求该a值。文档收集自网络，仅用于个人学习6=0MPa 22 = -16.25MPa，cr3 =53.75MPa ；平面应力状态下的两斜面应力解：两斜面上的坐标面应力为：A （38， 28）， B （114， -48）由以上上两点作出的直线 AB是应力圆上的一条弦， 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于 C点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为 C（ x,0）则根据垂直平线上任一点到线段段

16、两端的距离相等 性质，可列以下方程：i 2 2 i 2 2讥X38) + (0-28) r(x-114) +(0 + 48)解以上方程得：x=86。即圆心坐标为 C（86，0） 应力圆的半径：r =7(86-38)2 +(0-28)2 =55.570主应力为:= x+r =86 +55.57 =141.57M Pa=x r = 8655.57 =30.43MPa3=0（2 ）主方向角tan 2%23旋（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角） （上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）11 / 292a = W-(90-2i) + 2i = 90 + 他习题7-11某点处的应力如图所示，设 “a及by

17、值为已知，试考虑如何根据已知数据6 -aCOsa +咕5ina = 0(1)直接作出应力圆。送丫 =0by -ona - aCOSa =0（1）、（ 2）联立，可解得0x和a 。至此，三个面的应力均为已知： X （ CT x，0），Y（cr y，0）（ CT x， CT y均为负值）；a （CT0%）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。习题7-12 一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示， 梁的自重略去不计。 试示m - m上a,b,c三点处的主应力。160 kN160 kNto.4 mm2 mOQC解：（1）求 a点的王应力1 13 =丄咒 120咒2203 -丄咒 110咒 2003 =33

18、146666.7(mm4)12 12Wz =丄=33146666.7 =301333.3336(mm3)y max110ba = =a WzM 160.106n-212.390M Pa3013333336mm3因a点处于单向拉伸状态，故 cTj =ba=212.39MPa , cr0。(2)求b点的主应力6My 160x0.4x10 N，mmx 100mm =93 08側paIz33146666.7 mm3在m -m的左邻截面上， Q =160kNQS； 16103(1210105mm60.821MPa4331466667mm x 10mm即坐标面应力为X (193.081,60.821 )，

19、丫(0,-60.821).bz +by冷竝一by)2 +4T；193.081+ 1 用莎E=210.64M pa=06 +by-1 JQx -by)2 +4Tj2193.081冷济F082 一 17.56M Pa(3)求C点的主应力% =0QS；Izd=1600M(120105+10050)mm3= 84.956M Pa331466667mm4 X 10mm即坐标面应力为 X (0,84.956 )，丫(0,-84.956).bz +by冷如 84.9562 =84.956M pa2=02j(5-by)2 +代=_-如84.9562 =4.956MPa 2习题7-13在一块钢板上先画上直径 d

20、= 300mm的圆，然后在板上加上应力， 如图所示。 试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。已知钢板的弹性模量 E= 206GPa，V =0.28o文档收集自网络，仅用于个人学习解：坐标面应力 X (70, 21), Y (14, -21 )迈4 士u 2 r 2 7C 2x21 42tan 2 禺= 70-1455=-18.43习题7- IJ图勺=应(5_吃)=(77-0.28x7) = 0.364x10-勺=上(巧 7巧)= (7-0.23x77) = -0.07058x10-S 206x10所画的圆变成椭圆，其中d = d+掐=3OOx(l+0364xl)=3(m09mm(长轴) =

21、 d + 皑=300x(1- 0,07068X10) = 299.979nim (短轴)习题7-14已知一受力构件表面上某点处的 cTx =80 MP a , CT y = 160 MPa , 单元体的三个面上都没有切应力。 试求该点处的最大正应力和最大切应力。用于个人学习5=0,文档收集自网络，仅解：最大正应力为X =80MPa o 最小正应力是 CTCT -160MPa o最大切应力是UOMPa15OMPay70 MPa60 MPa MPal/40 MPa7X!50MPa80 MPajc(C)习7-lS图7-15单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。习题 7

22、-15 （ a）解：坐标面应力： X（ 70，-40），Y（30, -40），Z（ 50，0）由XY平面内应力值作 a、b点，连接a、b交轴得圆心C（ 50，0）应力圆半径:(70-30 . ；广=寸(-)+40 =4475 = 50 + 447 = 947 MPa6 = 50MPa2 =448习题 7-15 （ b）解：坐标面应力： X（ 60，40），Y（ 50，0），Z ( 0,-40 )由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交O轴于C点，0（=30，故应力圆圆心 C （30, 0）应力圆半径:1 = 30 + 50= 80 MPa6 = 50MPa二 80-(-20)二nwK 2习题

23、7-15 （ c）解：坐标面应力： X（ -80，0），Y（ 0，-50），Z（0，50）作应力圆得由YZ平面内应力值作 a、b点，圆心为0,半径为50,5 = 50 Mb6 = -50 MPa文档收集自网络，仅用于个人学习习题7-16 已知一点处应力状态的应力圆如图所示。试用单元体示出该点处的应力状态, 并在该单元体上绘出应力圆上 A点所代表的截面。1030 50cr/MPaa)(b)习题 7-16(a)解：该点处于三向应力状态： b, =70 MPab2 =50MPa， C73 =10MPa。A 点所代表的截面平行于巧的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A截的位置。文档收集自网络，仅用

24、于个人学习应力圆主单元体图与A截面的位置习题 7-16(b)解：该点处于三向应力状态： W =50MPa , CT2 =10MPa，cr3 =_1OMPa。A点所代表的截面平行于 6的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和 A截的位置。文档收集自网络，仅用于个人学习应力圆主单元体图与A截面的位置习题7-17有一厚度为6mm的钢板，在两个垂直方向受拉， 拉应力分别为150 MPa 及55 MPa。钢材的弹性常数为 E =210GPa，v =0.25。试求钢板厚度的减小值。 文 档收集自网络，仅用于个人学习0.25解：豊=-工+by)= 0(150 MPa +55MP a) =-2.44咒10E

25、210x10 MPa钢板厚度的减小值为：= $ I S 1=6X2.44X10 4 =1.464x10(mm)习题7-18边长为20mm的钢立方体置于钢模中， 在顶面上均匀地受力 F =14kN作用。已知V =0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求 立方体各个面上的正应力。 文档收集自网络，仅用于个人学习解:-P -14x10了C =二 / 20x20x10-=-35 MPaF-14hHtX厂 03(-3j+q 上 0(1)沪7冷+讣。联解式(1),( 2 )得J二 J =-15MPa习题7-19在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力 F =20kN时，测得试样中段B点处与其轴线成300方向的线应变为 00 =3.25x10*。已知材料的弹性模量 E=210GPa , 试求泊松比V。文档收集自网络，仅用于个人学习解：平面应力状态下的广义虎克定律 Ex =（bx适用于任意两互相垂直的 X, y方向，故有：30。=1（b300 一十bQ。）。钢杆处于单向拉应力状态:拉杆横截面上的正应力3翳=100MPa斜截面上的应力C30Q = ci!Cos30G2 =75 MPa= b(co&-60)2 =25 MPa由广义虎克定律解得:3.25X10 =一3 77X25 210X103V = 0.27习题7-20 D=120mm d