杆件的强度问题.docx

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杆件的强度问题

第五章杆件的强度问题

§5-1材料的力学性能

材料的力学性质是指材料受外力作用后，在强度和变形方面所表现出来的特性，也可称为机械性质。

一、拉伸时材料的力学性质

1.　低碳钢的拉伸试验

（1）拉伸过程的各个阶段及特性点应力

整个拉伸过程大致可分为四个阶段。

弹性阶段：

在这个阶段内，试样的变形是弹性的，当卸去荷载后，变形完全消失。

弹性阶段的应力最高限，称为弹性极限，用σe表示。

在弹性阶段内，应力和应变成线性关系（线弹性阶段）的应力最高限，称为比例极限，用σp表示。

试验结果表明，材料的弹性极限和比例极限数值上非常接近，故工程上对它们往往不加区分。

即近似取

。

屈服阶段：

此阶段亦称为流动阶段。

当增加荷载使应力超过弹性极限后，变形增加较快，而应力不增加或产生波动，在σ-ε曲线上或F-△l曲线上呈锯齿形线段，这种现象称为材料的屈服或流动。

材料在屈服阶段产生的变形绝大部分为塑性变形。

材料在断裂前产生塑性变形的能力称为塑性。

当材料屈服时，在抛光的试样表面能观察到两组与试样轴线成45°的正交细条纹，这些条纹称为滑移线。

这种现象的产生，是由于拉伸试样中与杆轴线成45°的斜面上，存在着数值最大的切应力。

由试验得知，屈服阶段内最高点（上屈服点）的应力很不稳定，而最低点c（下屈服点）所对应的应力较为稳定。

故通常取最低点所对应的应力为材料屈服时的应力，称为屈服极限（屈服点）或流动极限，用σs表示。

强化阶段：

试样屈服以后，内部组织结构发生了调整，重新获得了进一步承受外力的能力，因此要使试样继续增大变形，必须增加外力，这种现象称为材料的强化。

在强化阶段中，试样主要产生塑性变形，而且随着外力的增加，塑性变形量显著地增加。

这一阶段的最大应力称为强度极限，用σb表示。

破坏阶段：

应力达到强度极限以后，试样在某一薄弱区域内的伸长急剧增加，试样横截面在这薄弱区域内显著缩小，形成了“颈缩”现象，最后试样在最小截面处被拉断。

材料的比例极限σp（或弹性极限σe）、屈服极限σs及强度极限σb都是特性点应力，它

们在材料力学中有着重要意义。

屈服极限σs和强度极限σb是材料的两个重要强度指标。

（2）材料的塑性指标

常用的塑性指标有两种即延伸率

和断面收缩率

。

工程中一般将δ≥5%的材料称为塑性材料，δ＜5%的材料称为脆性材料。

低碳钢的延伸率大约在25%左右，故为塑性材料。

（3）冷作硬化现象在材料的强化阶段中，如果卸去荷载，则卸载时拉力和变形之间仍为线性关系，如卸载后重新加载，则开始时拉力和变形之间大致仍按直线变化，但材料的比例极限提高了，而且不再有屈服现象，拉断后的塑性变形减少了，这一现象称为冷作硬化现象。

2.　其它塑性材料拉伸时的力学性质

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变时的应力作为屈服极限，称为条件屈服极限或称为规定非比例伸长应力，用

表示，也有用

表示的。

3．铸铁的拉伸试验

（1）应力-应变曲线上没有明显的直线段，即材料不服从胡克定律。

但直至试样拉断为

止，曲线的曲率都很小。

因此，在工程上，曲线的绝大部分可用一割线（如图中虚线）代替，

在这段范围内，认为材料近似服从胡克定律。

（2）变形很小，拉断后的残余变形只有0.5%～0.6%，故为脆性材料。

（3）没有屈服阶段和“颈缩”现象。

唯一的强度指标是拉断时的应力，即强度极限σb，

但强度极限很低，所以不宜用作为受拉构件的材料。

二、压缩时材料的力学性质

1、低碳钢的压缩试验

（1）低碳钢压缩时的比例极限σp、屈服极限σs及弹性模量E都与拉伸时基本相同。

（2）当应力超过屈服极限之后，压缩试样产生很大的塑性变形，愈压愈扁，横截面面积不断增大。

虽然名义应力不断增加，但实际应力并不增加，故试样不会断裂，无法得到压缩的强度极限。

2．铸铁的压缩试验

（1）和拉伸试验相似，应力-应变曲线上没有直线段，材料只近似服从胡克定律。

（2）没有屈服阶段。

（3）和拉伸相比，破坏后的轴向应变较大，约为5%～10%。

（4）试样沿着与横截面大约成55°的斜截面剪断。

通常以试样剪断时横截面上的正应力作为强度极限σb。

铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高4～5倍。

三、塑性材料和脆性材料的比较

（1）塑性材料一般为拉压等强度材料，且其抗拉强度通常比脆性材料的抗拉强度高，故塑性材料一般用来制成受拉杆件；脆性材料的抗压强度比抗拉强度高，故一般用来制成受压构件，而且成本较低。

（2）塑性材料能产生较大的塑性变形，而脆性材料的变形较小。

要使塑性材料破坏需

消耗较大的能量，因此这种材料承受冲击的能力较好；因为材料抵抗冲击能力的大小决定于它能吸收多大的动能。

此外，在结构安装时，常常要校正构件的不正确尺寸，塑性材料可以产生较大的变形而不破坏；脆性材料则往往会由此引起断裂。

（3）当构件中存在应力集中时，塑性材料对应力集中的敏感性较小。

必须指出，材料的塑性或脆性，实际上与工作温度、变形速度、受力状态等因素有关。

例如低碳钢在常温下表现为塑性，但在低温下表现为脆性；石料通常认为是脆性材料，但在各向受压的情况下，却表现出很好的塑性。

§5-2单向应力状态下的强度条件及其应用

一、强度条件的概念

由材料的拉伸和压缩试验得知，当脆性材料的应力达到强度极限时，材料将会破坏（拉断或剪断）；当塑性材料的应力达到屈服极限时，材料将产生较大的塑性变形。

工程上的构件，既不允许破坏，也不允许产生较大的塑性变形。

因为较大塑性变形的出现，将改变原来的设计状态，往往会影响杆件的正常工作。

因此，将脆性材料的强度极限σb和塑性材料的屈服极限σs（或σ0.2）作为材料的极限正应力，用σu表示。

要保证杆件安全而正常地工作，其最大工作应力不能超过材料的极限应力。

但是，考虑到一些实际存在的不利因素后，设计时不能使杆件的最大工作应力等于极限应力，而必须小于极限应力。

此外，还要给杆件必要的强度储备。

因此，工程上将极限正应力除以一个大于1的安全因数，作为材料的容许正应力，即

对于脆性材料,σu=σb，对于塑性材料σu=σb（或σ0.2）。

安全因数n的选取，除了需要考虑前述因素外，还要考虑其它很多因素。

例如结构和构件的重要性，杆件失效所引起后果的严重性以及经济效益等。

因此，要根据实际情况选取安全因数。

在通常情况下，对静荷载问题，塑性材料一般取n=1.5～2.0，脆性材料一般取n=2.0～2.5。

二、轴向拉压杆的强度条件及其应用

对于等截面直杆，内力最大的横截面称为危险截面，危险截面上应力最大的点就是危险点。

拉压杆件危险点处的最大工作应力为横截面上均匀分布的正应力，当该点的最大工作应力不超过材料的容许正应力时，就能保证杆件正常工作。

因此，等截面拉压直杆的强度条件为

对拉压等强度材料：

对拉压强度不等的材料：

式中FNmax、FNtmax、FNcmax均取绝对值进行计算。

利用上面的强度条件，可以进行如下三个方面的强度计算：

（1）校核强度；

（2）设计截面；（3）求容许荷载。

强度条件的上述三种应用，统称为强度计算。

三、梁的弯曲正应力强度条件及其应用

（一）梁的弯曲正应力强度条件

为了保障梁能安全可靠的工作，同时留有一定的安全储备，必须使梁内的最大应力不能超过材料的的许用正应力

，这就是梁的正应力强度条件。

分两种情况表达如下：

1、若材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为

2、若材料的抗拉和抗压能力不相同，应分别对最大拉应力和最大压应力建立强度条件，即：

（二）梁的弯曲正应力强度条件的应用

应用梁的正应力强度条件，可以解决如下三个方面的有关梁强度的计算问题：

1．校核强度；2．设计截面；3．确定许可的最大荷载。

四、几种简单组合变形杆件的强度计算

求解组合变形问题的基本方法是叠加法。

首先应根据静力等效原理，把作用于杆件上的外力分解或简化成几组，使每一组外力只产生一种基本变形，然后分别计算出每一种基本变形下的内力和应力，运用叠加法算出杆件在原外力共同作用下危险截面上危险点的总应力，再根据危险点的应力状态建立强度条件。

下面两类组合变形杆件内的危险点一般处于单向应力状态，因此可用上述单向应力状态下的强度条件进行强度计算：

（一）斜弯曲杆件的强度计算

（二）拉伸（压缩）与弯曲组合变形杆件的强度计算

§5-3纯切应力状态下的强度条件及其应用

一、受扭圆轴的强度条件及其应用

等直圆轴在扭转时，杆内各点均处于纯剪切状态，其强度条件为在工作切应力不大于材料的许用切应力。

即max[]（5-3-1）

等直圆轴强度条件为

（5-3-2）

根据上式可进行三种不同情况的强度计算：

1、校核强度；2、设计截面：

3、计算许可荷载。

二、梁的弯曲切应力强度条件及其应用

与梁的正应力强度计算一样，为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力不能超过材料的容许切应力。

即梁的切应力强度条件为：

（5-3-3）

对于等直梁有：

（5-3-4）

式中

为梁横截面上中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩，

为横截面在中性轴处的宽度，

为梁中最大剪力。

在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件及切应力强度条件。

§5-4复杂应力状态下的强度条件及其应用

一、强度理论的概念

为了解决复杂应力状态下的强度计算问题，人们不再采用直接通过复杂应力状态的破坏试验建立强度条件的方法，而是通过对材料各种强度失效现象的观察和材料破坏规律的分析，经过判断和推理，提出某一因素是引起材料强度失效的主要因素的假说，然后利用单向应力状态的试验结果，来建立复杂应力状态下的强度条件。

17世纪以来，人们根据大量的试验，进行观察和分析，提出了各种关于破坏原因的假说，并由此建立了不同的强度条件。

这些关于材料破坏规律的假说和由此建立的强度条件通常就称为强度理论。

每种强度理论的提出，都是以一定的试验现象为依据。

大量的实践表明，材料强度失效的基本形式可归纳为两种：

塑性屈服失效和脆性断裂破坏。

前者以屈服现象或较大的塑性变形作为强度失效的标志，后者则在没有明显的塑性变形时就发生断裂破坏。

构件是发生脆性断裂破坏还是发生塑性屈服失效，不仅与构件材料本身的性质有关，而且还与构件内危险点的应力状态以及温度等因素有关。

例如，塑性材料在三向拉应力状态下，呈现脆性断裂破坏，而脆性材料在三向压应力状态下却出现明显的塑性变形。

现有的强度理论虽然很多，但大体可分为两类：

一类是关于脆性断裂的强度理论；另一类是关于屈服破坏的强度理论。

二、四种常用的强度理论

由于材料存在着两种强度失效形式，所以强度理论也分为两类。

一类是解释材料脆性断裂破坏的强度理论，另一类是解释材料塑性屈服破坏的强度理论。

常温、静载条件下常用的四个基本强度理论：

（一）关于脆性断裂的强度理论

1、最大拉应力理论（第一强度理论）

这一理论认为：

最大拉应力是引起材料发生脆性断裂破坏的主要因素。

即无论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大拉应力

达到材料在单向应力状态下的极限应力

，材料就会发生脆性断裂破坏。

按第一强度理论建立的强度条件是：

（5-4-1）

这一理论能很好的解释铸铁、砖、岩石、混凝土和陶瓷等脆性材料在拉伸、扭转或二向拉应力状态下所产生的破坏现象，并且因为计算简单，所以上述情况下应用较广。

但这一理论没有考虑其他两个主应力

、

对破坏的影响，对轴向受压等情况下发生的脆性断裂破坏现象不能正确解释。

2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）

这一理论认为：

最大伸长线应变（最大拉应变）是引起材料发生脆性断裂破坏的主要因素。

即无论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大伸长线应变

达到材料在单向应力状态下的极限拉应变

，材料就会发生脆性断裂破坏。

按第二强度理论建立的强度条件为：

（5-4-2）

这一理论可以解释混凝土试件或石料试件受压时的破坏现象。

例如混凝土抗压强度实验中当试件端部无摩擦时，受压后将产生纵向裂缝而破坏，这可以认为是由于试件的横向应变超过了极限值的结果。

此外，第二强度理论考虑了σ2和σ3对破坏的影响，似乎比第一强度理论合理，但没有得到多数材料的实验证实，而且这一理论对两向受拉比单向受拉更危险等现象难以解释。

（二）关于屈服的强度理论

1.最大切应力理论（第三强度理论）

这一理论认为：

最大切应力是引起材料发生塑性屈服破坏的主要因素。

即无论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大切应力

达到材料在单向应力状态下的极限切应力

，材料就会发生塑性屈服破坏。

按第三强度理论建立的强度条件为：

（5-4-3）

这一理论能很好的解释塑性材料发生屈服破坏的现象，例如低碳钢试件轴向拉伸时，在与轴线成

的斜截面上剪应力最大，因此，当材料开始屈服时，试件的表面出现沿

方向的滑移线。

但这一理论没有考虑主应力

对破坏的影响，使其计算结果偏于安全。

但由于这一理论计算公式比较简明，所以在工程实际中得到了广泛的应用。

2.形状改变能密度理论（第四强度理论）

第四强度理论认为：

形状改变能密度是引起材料发生塑性屈服破坏的主要因素。

即无论材料处于何种应力状态，只要危险点处的形状改变能密度达到材料在单向应力状态下的极限形状改变能密度

，材料就会发生塑性屈服破坏。

按第四强度理论建立的强度条件为：

（5-4-4）

由于这一理论全面考虑了三个主应力的影响，所以比较合理。

实验证明，对于塑性材料，这一理论比第三强度理论更符合实验结果。

三、强度理论的应用

1、四种强度理论强度条件的统一表达式

四种主要的强度理论的强度条件可以写成统一的形式，即

（5-4-6）

式中σr称为相当应力（equivalentstress）。

上述四种强度理论的相当应力分别为：

（5-4-7）

各相当应力是杆件危险点处主应力的组合。

2、强度理论的选用

有了强度理论的强度条件，就可对危险点处于复杂应力状态的杆件进行强度计算。

但是，在工程实际问题中，解决具体问题时选用哪一个强度理论是比较复杂的问题，需要根据杆件的材料种类、受力情况、荷载的性质（静荷载还是动荷载）以及温度等因素决定。

一般说来，在常温静载下，脆性材料多发生断裂破坏（包括拉断和剪断），所以通常采用最大拉应力理论或莫尔强度理论，有时也采用最大拉应变理论。

塑性材料多发生屈服破坏，所以通常采用最大切应力理论或形状改变能密度理论，前者偏于安全，后者偏于经济。

但是，材料的破坏形式又受应力状态的影响，因此，即使同一种材料，在不同的应力状态下，也不能采用同一种强度理论。

例如低碳钢在单向拉伸时呈现屈服破坏，可用最大切应力理论或形状改变能密度理论；但在三向拉伸状态下低碳钢呈现脆性断裂破坏，就需要用最大拉应力理论或最大拉应变理论。

对于脆性材料，在单向拉伸状态下，应采用最大拉应力理论；但在二向或三向应力状态下，且最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况，则可采用最大拉应变理论或莫尔强度理论。

在三向压应力状态下，不论塑性材料还是脆性材料，通常都发生屈服破坏，故一般可用最大切应力理论或形状改变能密度理论。

总之，强度理论的研究，虽然有了很大发展，并且在工程上也得到广泛的应用，但至今所提出的强度理论都有不够完善的地方，还有许多需要研究的问题。

必须指出，强度理论同样可用于危险点处于单向应力状态或纯切应力状态情况的强度计算。

对于危险点处于复杂应力状态的情况，则必须先选用合适的强度理论，再按该强度理论的强度条件进行强度计算。

3、复杂应力状态下进行强度计算的一般步骤

①在内力分析的基础上，从构件的危险点处取出原始单元体，算出其各面上的应力；

②确定主应力的大小；

③选择适当的强度理论进行强度计算。

四、弯扭组合变形杆件的强度计算

危险截面上同时存在弯矩和扭矩，相应地在该截面上将同时产生弯曲正应力和扭转剪应力（忽略弯曲剪应力），危险截面上弯曲正应力和扭转剪应力同时为最大值的点为危险点，其应力状态属于平面应力状态，故需根据强度理论建立强度条件。

转轴一般是用塑性材料制造的，可采用第三、第四强度理论进行强度计算。

弯扭组合变形圆轴按第三、第四强度理论建立的强度条件分别为：

（5-4-10）

（5-4-11）

当圆杆同时产生拉伸（压缩）和扭转两种变形时，上述分析方法仍然适用，只是弯曲正应力需用拉伸（压缩）时的正应力代替。

在这种情况下，危险截面上的周边各点均为危险点。

当圆杆同时产生弯曲、扭转和拉伸（压缩）变形时，上述方法同样适用，但是正应力是由弯曲和拉伸（压缩）共同引起的。

非圆截面杆如同时产生弯曲和扭转变形，甚至还有拉伸（压缩）变形时，仍可用上述方法分析。

但扭转切应力须用非圆截面杆扭转的切应力公式计算，并且需要仔细判断危险点的位置。

§5-5构件连接区的强度计算

工程中的构件有时是由几部分联接而成的。

有些构件之间也是通过某种方式联接在一起的。

在联接部位，一般要有起联接作用的部件，这种部件称为联接件。

为了保证联接后的杆件或构件能够安全地工作，除杆件或构件整体必需满足强度、刚度

和稳定性的要求外，联接件本身也应具有足够的强度。

作用在联接件两侧面上的一对外力的合力大小相等，均为F，而方向相反，作用线相距很近；并使各自作用的部分沿着与合力作用线平行的截面m-m（称为剪切面）发生相对错动。

这种变形称为剪切变形。

联接件本身不是细长直杆，其受力和变形情况很复杂，因而要精确地分析计算其内力和应力很困难。

工程上对联接件通常是根据其实际破坏的主要形态，对其内力和相应的应力分布作一些合理的简化，并采用实用计算法计算出各种相应的名义应力，作为强度计算中的工作应力。

而材料的容许应力，则是通过对联接件进行破坏试验，并用相同的计算方法由破坏荷载计算出各种极限应力，再除以相应的安全因数而获得。

实践证明，只要简化得当，并有充分的实验依据，按这种实用计算法得到的工作应力和容许应力建立起来的强度条件，在工程上是可以应用的。

一、简单铆接接头的强度计算

简单铆接接头可能有三种破坏形式：

（1）铆钉沿横截面剪断，称为剪切破坏；

（2）铆钉与板孔壁相互挤压而在铆钉柱表面和孔壁柱面的局部范围内发生显著的塑性变形，称为挤压破坏；

（3）板在钉孔位置由于截面削则被拉断，称为拉断破坏。

因此，在铆接强度计算中，对这三种可能的破坏情况均应考虑。

1．剪切强度计算

在联接件的实用计算中，假定剪切面上只有切应力且均匀分布，因此，剪切面上的名义

切应力为

（5-5-1）

式中AQ为剪切面面积。

若铆钉直径为d，则AQ＝πd2/4。

为使铆钉不发生剪切破坏，要求

（5-5-2）

这就是铆钉的剪切强度条件。

2．挤压强度计算

挤压应力的实际分布情况比较复杂。

分析结果表明，如果以铆钉或孔的直径面面积即铆钉直径与板厚的乘积作为假想的挤压面积bsA，则该截面上均匀分布的挤压应力为

（5-5-3）

它与实际挤压面上的最大挤压应力在数值上相近。

因此，计算出的挤压应力作为实用计算中的名义挤压应力。

若铆钉的直径为d，板的厚度为δ，则（5-5-3）式中的Abs=dδ。

为使铆钉或孔壁不发生挤压破坏，要求

（5-5-4）

这就是铆接的挤压强度条件。

当铆钉与板的材料不相同时，应对［σbs］较小者进行挤压强度计算。

3．拉伸强度计算

为使板在该截面不发生拉断破坏，要求

（5-5-5）

若铆钉直径为d，板的厚度为δ，宽度为b，则

。

间的相互挤压。

同时，由于δ＜2δ1，故只需计算主板的拉伸强度。

二、铆钉群接头强度计算

如果搭接接头每块板或对接接头的每块主板中的铆钉超过一个，这种接头就称为铆钉群接头。

在铆钉群接头中，各铆钉的直径通常相等，材料也相同，并按一定的规律排列。

对这种接头，通常假定外力均匀分配在每个铆钉上。

从而，各铆钉剪切面上名义切应力将相等；各铆钉柱面或板孔壁面上的名义挤压应力也将相等。

因此，可取任一钉作剪切强度计算；取任一铆钉柱面或孔壁面作挤压强度计算。

具体方法可参照上述简单铆接情况进行。

但是，对这种接头进行板的拉伸强度计算时，要注意铆钉的实际排列情况。

只要确定了危险截面并计算出板的最大名义拉应力，则板的拉伸强度计算也可参照简单铆接情况进行。

§5-6提高构件强度的途径

提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑

1）外荷载总值不变的情况下，使Mmax尽量小一些

2）截面积不变的情况下，使Wz尽量大一些具体而言，可以采用如下措施：

1.合理配置荷载和支座

通过合理配置荷载和支座，以求达到在外荷载总值不变的情况下，使Mmax尽量小一些的目的。

a）合理配置荷载

尽量将集中力分散为几个较小的集中力或均布力。

b）合理配置支座

尽量减少梁的跨度，从而降低最大弯矩值。

2.选择合理的截面形状

通过选择合理的截面形状，以求达到截面积不变的情况下，使Wz尽量大一些

可以取

作为衡量截面合理性的指标。

越大越有助于抗弯，故而，当

相等时，工字型截面优于矩形截面，矩形截面优于圆形截面；圆环形截面优于圆形截面