新课标高中数学必修2直线与方程.docx
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新课标高中数学必修2直线与方程
3.1知识表
直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率
（1）直线的方程：
如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．
（2）直线的倾斜角：
一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．
（3）直线的斜率：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x2≠x1）两点的直线的斜率
特别地是，当
，
时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当
，
时，直线与y轴垂直，斜率k=0.
注意：
直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当α=90°时，斜率k=0；当
时，斜率
，随着α的增大，斜率k也增大；当
时，斜率
，随着α的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.
倾斜角
斜率
1.特殊角与斜率
※基础达标
1．若直线
的倾斜角为
，则
等于（）.
A．0B．45°C．90°D．不存在
2．已知直线
的斜率的绝对值等于
，则直线的倾斜角为（）.
A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°
3.已知直线经过点A（0,4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为__________
4.经过两点
的直线的倾斜角为1350，则
的值等于（）
5.过点P（－2,m）和Q（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）.
A.1B.4C.1或3D.1或4
6．已知两点A（
，－2），B（3，0），并且直线AB的斜率为2，则
＝.
7.已知过两点
的直线l的倾斜角为45°，求实数
的值.
8．若三点P（2，3），Q（3，
），R（4，
）共线，那么下列成立的是（）
A．
B．
C．
D．
9．若A（1，2），B（-2，3），C（4，y）在同一条直线上，则y的值是.
10.已知三点A（a，2）、B（3，7）、C（-2，-9a）在一条直线上，求实数a的值．
11．光线从点
出发射入y轴上点Q,再经y轴反射后过点
试求点Q的坐标,以及入射光线、
反射光线所在直线的斜率.
※能力提高
12．已知
两点，直线
过定点
且与线段AB相交，求直线
的斜率
的取值范围.
13.已知两点M（2，－3）、N（－3，－2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（A）
A.k≥
或k≤－4B.－4≤k≤
C.
≤k≤4D.－
≤k≤4
14.已知两点A（-2,-3）,B（3,0）,过点P（-1,2）的直线
与线段AB始终有公共点，求直线
的斜率
的取值范围.
15.右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）.
A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2
§3.1.2两条直线平行与垂直的判定
基础知识：
1.两条不重合的直线平行或垂直，则
（1）l1∥l2
k1=k2
（2）l1⊥l2
k1·k2=－1.
若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合.若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.
【例1】四边形ABCD的顶点为
、
、
、
，试判断四边形ABCD的形状.
【例2】已知
的顶点
，其垂心为
，求顶点
的坐标．
【例3】
（1）已知直线
经过点M（-3，0）、N（-15，-6），
经过点R（-2，
）、S（0，
），试判断
与
是否平行？
（2）
的倾斜角为45°，
经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问
与
是否垂直？
【例4】已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
点评：
通过设点D的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式.解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.
※基础达标
1．下列说法中正确的是（）.
A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等B.平行的两条直线的倾斜角一定相等
C.垂直的两直线的斜率之积为-1D.只有斜率相等的两条直线才一定平行
2．若直线
的倾斜角分别为
，则有（）.
A.
B.
C.
D.
3．经过点
和
的直线平行于斜率等于1的直线，则
的值是（）.
A．4B．1C．1或3D．1或4
4．若
，则下面四个结论：
①
；②
；③
；④
.其中正确的序号依次为（）.
A.①③B.①④C.②③D.②④
5．已知
的三个顶点坐标为
，则其形状为（）.
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断
6．直线
的斜率是方程
的两根，则
的位置关系是.
7．若过点
的直线与过点
的直线平行，则m=.
※能力提高
8．已知矩形
的三个顶点的分别为
，求第四个顶点D的坐标．
9．
的顶点
，若
为直角三角形，求m的值.
※探究创新
10．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
（1）证明：
点C、D和原点O在同一直线上.
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
必修二3.2知识表
名称
几何条件
方程
局限性
点斜式
过点（x0，y0），斜率为k
y－y0=k（x－x0）
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k，纵截距为b
y=kx＋b
不含垂直于x轴的直线
求直线方程的方法“先判断，后计算”，“特殊提前，通法接连”。
找要素，写方程（两点、一点一斜、两截）
设方程，求系数（讨论）
线段
中点坐标公式
§3.2.1直线的点斜式方程
※基础达标
1．.写出下列点斜式直线方程：
（1）经过点
，斜率是4；
（2）经过点
，倾斜角是
.
.
2.倾斜角是
，在
轴上的截距是3的直线方程是.
3.直线
（
＝0）的图象可以是（）.
4．已知直线l过点
，它的倾斜角是直线
的两倍，则直线l的方程为（）.
A.
B.
C.
D.
5．过点
的直线与x、y轴分别交于P、Q，若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为_____________
6．将直线
绕它上面一点（1，
）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是.
7.方程
表示（）.
A.通过点
的所有直线 B.通过点
的所有直线
C.通过点
且不垂直于
轴的直线D.通过点
且除去
轴的直线
8．直线
必过定点，该定点的坐标为（B）
A．（3，2）B．（2，3）C．（2，–3）D．（–2，3）
※能力提高
9．已知△
在第一象限，若
，求：
（1）边
所在直线的方程；
（2）边
和
所在直线的方程.
10.已知直线
.
（1）求直线恒经过的定点；
（2）当
时，直线上的点都在
轴上方，求实数
的取值范围.
11.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.
12.已知直线
在
轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线
的方程.
13.已知直线
经过点
，且
与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线
的方程．
※探究创新
14．国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米，方阵纵列95人，每列长度192米，问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果？
两点式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a,b≠0）a——直线的横截距b——直线的纵截距
不包括垂直于坐标轴的直线.
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a,b≠0）
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线.
§3.2.2直线的两点式方程
※基础达标
1．过两点
和
的直线的方程为（）.A.
B.
C.
D.
2.已知△
顶点为
，求过点
且将△
面积平分的直线方程.
3.过两点
和
的直线在
轴上的截距为（）.A.
B.
C.
D.2
4．已知
，则过点
的直线
的方程是（）.
A.
B.
C.
D.
5.求过点
，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
6.经过点（-3，4）且在两个坐标轴上的截距和为12的直线方程是：
____________________
7.．已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为.
8.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程.
※能力提高
9．三角形ABC的三个顶点A（－3，0）、B（2，1）、C（－2，3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
10.长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重
量x（千克）的一次函数，直线过两点
（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；
（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？
11．直线
在X轴、Y轴上的截距之比是2:
3,且过点
求直线
的方程.
12.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为
，求直线l的方程.
13.已知直线
过点
，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线
的方程．
14.与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为
的直线
的方程为
15.已知△ABC的顶点A（－4，2），两条中线所在的直线方程分别为
求BC边所在的直线方程。
※探究创新
16.光线从点A（-3，4）射出，经x轴上的点B反射后交y轴于C点，再经C点从y轴上反射恰好经过点D（-1，6），求直线AB，BC，CD的方程．
17.一束光线从点
射到点
后被X轴反射,求入射线和反射线所在的直线方程
18．已知点
、
，点P是x轴上的点，求当
最小时的点P的坐标．
一般式
，
，
分别为斜率、横截距和纵截距
Ax＋By＋C=0
A、B不能同时为零
§3.2.3直线的一般式方程
¤知识要点：
1.一般式（generalform）：
，注意A、B不同时为0.直线一般式方程
化为斜截式方程
，表示斜率为
，y轴上截距为
的直线.
第24练§3.2.3直线的一般式方程
※基础达标
1．如果直线
的倾斜角为
，则有关系式（）.A.
B.
C.
D.以上均不可能
2．若
，则直线
必经过一个定点是（）.A.
B.
C.
D.
3．直
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