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课程设计

题目：

系综理论的讨论及运用

学院：

电子与信息工程学院

专业：

物理学师范

姓名：

学号：

指导老师：

时间：

系综理论的讨论及运用

姓名：

摘要系综是处在相同的给定宏观条件下的大量结构完全相同的系统的集合。

它是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体。

本文从概念开始讨论系综理论内容和运用。

关键词概念；系综理论；正则分布；关系；运用

系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。

系综的一个基本假设是各态历经假说：

只要等待足够长的时间，宏观系统必将经历和宏观约束相应的所有可达微观态。

1概念系统的一种可能的运动状态，可用相与中的一个相点表示，随着时间的推移，系统的运动状态改变了，相应的相点在相宇中运动，描绘出一条轨迹，由大量系统构成的系综则可表为相宇中大量相点的集合，随着时间的推移，各个相点分别沿各自的轨迹运动，类似于流体的流动。

若系统具有s个自由度，则相宇是以s个广义坐标p（详写为p、p2……ps）和s个广义动量q（详写为q1、q2……qs）为直角坐标构成的2s维空间。

在相宇内任一点（p，q）附近单位相体积元内的相点数目D（p，q，t）称为密度函数。

D（p,q,t）在整个相宇的积分等于全部相点数，即等于系综所包含的全部系统数N，与时间t无关。

定义ρ（p,q,t）=D（p,q,t）/N，称为系综的概率密度函数。

ρ（p，q，t）dpdq表示在t时刻出现在（p，q）点附近相体积元dpdq内的相点数在全部相点数中所占的比值，即表示任一系统在t时刻其运动状态处于（p，q）附近的相体积元dpdq内的概率。

显然，概率密度函数ρ（p，q，t）满足归一化条件∫ρ（p,q,t）dpdq=1。

统计物理学的认为系统的任意宏观量I（t）是相应微观量L（p，q）在一定宏观条件下对系统一切可能的微观运动状态的统计平均值，即I（t）＝∫L（p，q）ρ（p，q，t）dpdq。

由此可见，经典统计物理的基本课题是确定各种条件下系综的概率密度函数ρ（p，q，t）ρ确定后，即可对相应的热力学系统的宏观性质，作出统计描述。

这就是统计系综的方法。

ρ（p，q，t）的具体形式与系统所处的宏观状态有关。

如果系统处于平衡态，则ρ＝ρ（p，q）不显含时间t，在平衡态的系综理论中，由能量、体积和粒子数都固定的系统构成的统计系综称为微正则系综；由与温度恒定的大热源接触，具有确定粒子数和体积的系统构成的统计系综称为正则系综；由与温度恒定的大热源和化学势恒定的大粒子源接触，具有确定体积的系统构成的统计系综称为巨正则系综；由与温度恒定的大热源接触并通过无摩擦的活塞与恒压强源接触，具有确定粒子数的系统构成的统计系综称为等温等压系综。

上述各种统计系综都有各自的概率密度函数。

在微正则系综中，系统处于所有可能的微观状态上的概率都相等，即概率密度是不随时间改变的常数，这就是等概率原理。

2系综理论系综理论主要是研究处于三种不同宏观条件下的平衡系统组成的三种稳定系综：

即由能量E，粒子数N，体积V一定的孤立系统组成的微正则系综，由温度T，粒子数N，体积V一定的恒温封闭系统组成的正则系综和由温度T，化学势μ一定的开放系统组成的巨正则系综。

3微正则系综微正则系综是由大量处于平衡态的孤立系统组成的系综。

微正则系综有两种假设：

一是各态历经假说，另一个是等概率原理，即微正则分布。

微正则分布的量子表达式为

ρ=ρnδ

ρn=

Ω（E，N，V）是孤立系统处于宏观态（N，E，V）对应的可达微观态数。

在量子统计的经典极限下,对于由个全同非定域粒子组成的系统,在Γ空间的能量壳层中的微观态数为

Ω=.

确定系综的概率是系综理论的关键，微正则系综的概率Pα=1/Ω（E，N，V），求得Ω（E，N，V）后，利用A观=ΣPαAα可以计算出有对应微观量的宏观量，并且利用微正则系综的统计热力学公式

⑴

由以上公式⑴就可以求得理想气体及理想自旋系统的热力学量。

微正则分布是一个基本假设，它是整个统计物理理论的基础。

由于直接应用微正则分布往往比较困难,故可以由微正则分布推得方便运算的其他分布，如正则分布和巨正则分布。

用正则分布和巨正则分布研究具体系统的宏观性质要方便得多。

4正则系综正则系综是大量相同的恒温系统的集合，恒温系统可以交换能量。

正则系综的配分函数为

Z=

表示能量为的微观态数（即的简并度）.

正则分布为

或.

表示恒温系统处于能量为的某一微观态的概率，而表示恒温系统能量为El的任一微观态的概率,或具有能量的概率.

正则分布适用于满足（T，N，V）一定的任何系统，不论系统中粒子之间的相互作用能否忽略，正则系综都适用，因而系综理论是一个普遍的统计理论。

对于正则系综知道了其配分函数Z（T，N，V），就可以求得以（T，N，V）为独立变量的特性函数—自由能F（T，N，V），利用dF=-SdT+Ydx+µdN

进而可以求得全部热力学量。

如

⑵

由于

F=-KBTlnZ

其他热力学量可写成F的偏倒数的形式，如

（2′）

（2）式和（2’）式为正则系综中的统计热力学公式,选取正则系综后,利用

（2）式和（2’）就可以计算该系统中的全部热力学量.

5巨正则系综巨正则系综是由大量相同的开放系统的集合，处于平衡的开放系统的平衡态由（T，μ，V）描述，开放系统即可以交换能量，也可以交换粒子数。

巨正则系综的巨配分函数为

巨正则分布为

表示温度为T，化学势为μ的开放系统处于粒子数为N，能量为的某一微观态（N，）的概率，只要求得巨配分函数（T，μ，V），就可以求得以（T，μ，V）为独立变量的特性函数—巨热力学势Ω巨（T，μ，V）=-KTln（T，μ，V），

进而用简单的求偏倒数的方法计算出全部热力学量。

如

（3）

巨正则分布适用于（T，μ，V）一定的任何系统。

用巨正则分布可以推导出理想气体的费米-狄拉克分布（F-D分布）和玻色-爱因斯坦分布（B-E分布）

代表理想气体达到平衡态时,能量为的单粒子态上的平均粒子数.

当〈nr〉〈〈1时，B-E分布和F-D分布趋于共同的极限麦克斯韦分布（M-B分布）

三种分布的巨配分函数分别为

6关系总结三种系综:

微正则系综描述孤立系统的平衡性质，正则系综描述与大热源平衡的恒温系统的性质；巨正则系综描述与大热源，大粒子源平衡的开放系统的性质。

而三种统计系综的关系是：

它们是等价的，但应用的广泛程度不同，方便应用的条件不同。

三种系综等价的含义为：

虽然组成三种系综的系统所处的宏观条件有原则上的区别，但在热力学极限下用三种系综计算同一个宏观系统的热力学量时，会得到相同的结果。

也就是，我们可以不管系统所处的实际系统，按照方便，采用任何一种系综进行计算，结果都是相同的。

三种系综是等价的是因为对于微观系统，能量的相对涨落是极小的，所以正则系综和微正则系综是等价的，用微正则分布和正则分布求得的热力学量实际上相同。

用这两种分布求热力学量实质上相当于选取不同的特性函数，即分别选取自变量为（N，V，E）的内能U和自变量为（N，V，T）的自由能F（N，V，T）为特性函数。

对于微观系统，由于粒子数的相对涨落是很小的，因而巨正则分布和巨正则分布等价，即使在粒子数相对涨落很大的情形，巨正则分布与正则分布仍将给出相同的热力学信息。

用巨正则分布与用正则分布求热力学量相当于选取不同的特性函数，即分别选取巨热力学势Ω巨（T，μ，V）和自由能F（N，V，T）为特性函数。

实际上，对粒子数相对涨落很大的情形，使用巨正则分布比较方便。

直接应用微正则系综往往比较困难，由于计算Ω（E，N，V）必须满足能量守恒和粒子数守恒两个约束条件，而计算Z（T，V，N）解除了对能量守恒的约束而变得比较容易。

虽然理论上微正则分布与正则分布等价，但实际上正则分布比微正则分布应用更广泛，也方便得多。

巨正则系综的巨配分函数Z（T，V，μ）的计算因同时消除了能量守恒和粒子数守恒的约束而变得更容易。

总之，从理论角度考虑，微正则系综是系综理论的基础，正则分布和巨正则分布是由微正则分布导出的；在应用上，三种系综是等价的，实际上，巨正则系综由于其巨配分函数计算最简单而应用最广。

7应用对于任一热力学问题，由于三种系综是等价的，我们可以从解决问题的难易情况上选择一种便于计算的系综，然后求相应的（巨）配分函数，再由前面相应系综的统计热力学公式直接计算系统的全部热力学量。

并且,对于理想气体及理想自旋系统,由于计算微正则分布

Ω（E，N，V）比较简单,故选取微正则系综,并运用微正则系综的统计热力学公式

（1）,可以计算出系统的全部热力学量.对于固体的顺磁性模型和固体比热的爱因斯坦模型,运用正则系综计算比较方便,故通过求正则系综的配分函数Z（T,N,V）,用正则系综的统计热力学公式

（2）或（2’）计算出系统的全部热力学量.对于有粒子吸附的朗格谬尔模型质半导体问题的系统,可以选用巨正则系综,求出巨配分函数（μ,N,V）,然后用巨正则系综的统计热力学公式（3）可以计算出系统的全部热力学量.

参考文献

[1]汪志诚热力学与统计物理学[M]2008

[2]林宗涵热力学与统计物理学[M]2007

[3]苏汝铿统计物理学（第二版）[M]2006