安徽省六安市舒城中学学年高二数学下学期期中试题理.docx
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安徽省六安市舒城中学学年高二数学下学期期中试题理
安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理
1.选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内）
1．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．如果将一组数据中的每一个样本数据都加上同一个非零常数,那么这组数据的（）
A.平均数与方差都不变B.平均数不变,方差改变
C.平均数改变,方差不变D.平均数和方差都改变
3．下列推理过程是演绎推理的是（）
A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B．某校高二班有人，班有人，由此得高二所有班人数都超过人
C．两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则
D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式
4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位:
小时）,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）
A.56B.60C.120D.140
5．函数的图象大致是（）
舒中高二期中理数第2页（共4页）
A．B．C.D．
6.设函数，计算的值为（）
A．B．C．D．
7．在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:
分钟）的茎叶图如图所示.（）
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间
[139,151]上的运动员人数是（）
A.3B.4C.5D.6
8.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）
A．B．C．D．
9.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件
是（）
A.s≤?
B.s≤?
C.s≤?
D.s≤?
10．设椭圆和双曲线的公共焦点分别为，
是这两曲线的交点，则的外接圆半径为（）
A.1B.2C.D.3
11．定义在上的函数，满足，为的导函数，且，
若，且，则有（）
A．B．C．D．不确定
12．从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若
OP＝，则球的体积为（）
A.B.C.D.
2．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.某市有高中生3万人，其中女生4千人．为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150人的样本，则样本中女生的数量为__________．
14．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为__________．
15．一名小学生的年龄和身高的数据如下表.由散点图可知,身高y（单位:
cm）与年龄x（单位:
岁）之间的线性回归方程为=8.8x+,预测该学生10岁时的身高约为__________cm．
年龄x
6
7
8
9
身高y
118
126
136
144
16.已知函数.若对，总有，则实数的取值范围为________．
3.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17.（本小题满分10分）“世界睡眠日”定在每年的3月21日,某网站于2017年3月14日到3月20日持续一周网上调查公众日平均睡眠的时间（单位:
小时）,共有2000人参加调查,现将数据整理分组后如下表所示.
序号（i）
分组睡眠时间
组中值（mi）
频数（人数）
频率（fi）
1
[4,5）
4.5
80
2
[5,6）
5.5
520
0.26
3
[6,7）
6.5
600
0.30
4
[7,8）
7.5
5
[8,9）
8.5
200
0.10
6
[9,10]
9.5
40
0.02
（1）求出表中空白处的数据,并将表格补充完整。
.
（2）为了对数据进行分析,采用了计算机辅助计算.
程序框图如图所示,求输出的S值,并说明S的统计意义.
舒中高二期中理数第4页（共4页）
18．（本小题满分12分）
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,∥，，平面底面，为的中点，是棱上的点，
（1）若是棱的中点,求证:
；
（2）若二面角的大小为,试求的值．
19.（本小题满分12分）
已知抛物线上一点到焦点的距离为
（1）求抛物线的方程；
（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：
为定值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且OA¡ÍOB，试判断直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论．
21．（本小题满分12分）
已知函数，，其中．
（）若在处取得极值，求的值．
（）求的单调区间．
22．（本小题满分12分）
已知函数且恒成立.
（1）求实数的值；
（2）证明：
存在唯一的极大值点，且
答案
选择题DCCDBBBCCDAC
3．填空题20,153
三、解答题
17.（本小题满分10分）“
解:
（1）0.04,560,0.28
（2）由程序框图输出S=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.7,
S的统计意义即指参与调查者的日平均睡眠时间.
18．（本小题满分12分）
解：
证明：
（Ⅰ）连接，交于,连接，
且，即且，
∴四边形为平行四边形,故为的中点.又∵点是棱的中点,
.∵平面，平面，∴．
（Ⅱ）因为为的中点,则．
∵平面平面,且平面平面,∴平面,
∵平面,∴.∵,为的中点,
∴四边形为平行四边形,∴,
又∵,∴,即．
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系（如图），
则,,,，，，.
设，则.
设平面的法向量为，
由得，
令，得平面的一个法向量为，
又是平面的一法向量，二面角的大小为,
∴,
解得（舍），∴．
19.（本小题满分12分）
（2）∵点在抛物线上，且.∴
∴，设过点的直线的方程为，即，
代入得，
设，，则，，
所以.
20．（本小题满分12分）
20．解：
（1）e＝.
（2）直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.
因为OA¡ÍOB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，
故直线AB的方程为x＝¡À.圆心O到直线AB的距离d＝，
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝（x－t），即（y0－2）x－（x0－t）y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离d＝.
又x＋2y＝4，t＝－，故d＝＝＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
21．（本小题满分12分）
解：
（），∵在处取得极值，
∴，即，解得，经检验，符合题意，∴．
（），∵，，∴，
①当时，在区间上，，
∴的单调增区间为．
②当时，由解得，由，解得，
综上，当时，的单调增区间为，
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
22．（本小题满分12分）
解：
（1），∵,∴恒成立。
令，问题等价于恒成立。
∵，
当时，在R上单调递增，又，当，与题设矛盾，
当时，在上单减，在上单增。
∴恒成立等价于，即，令，，∴在上单增，在上单减，又，∴不等式的解为，综上，
另法：
对任意恒成立，利用切线来求也可以酌情给分
（2）证明：
，令，∴在上单减，在上单增，，∵，由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，设此根为，且。
从而有俩个零点和0，∴在上单增，在上单减，在上单增。
从而存在唯一的极大值点，由得，∴，又∴等号不能成立，∴得证
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