解三角形大题及答案doc资料.docx
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解三角形大题及答案doc资料
1.（2013大纲）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,（abc）（abc）ac.
（I）求B
J31
（II）若sinAsinC，求C.
（III）
4
（i）求cosA的值;mruuiu
（n）若a4.2,b5,求向量BA在BC方向上的投影
ac6,b2,cosB
（i）求a,c的值；（n）求sin（AB）的值.
4.（2013湖北）在ABC中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知
cos2A3cosBC1.
（I）求角A的大小;
（II）若ABC的面积S5、3,b5,求sinBsinC的值.
5.（2013新课标）△ABC在内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知abcosCcsinB.
（i）求B;
（n）若b2,求△ABC面积的最大值
6.（2013新课标1）如图，在△ABC中，/ABC=90°,AB='3,BC=1,PABC内一点，/BPC=90
1
（1）若PB=2,求PA;
（2）若/APB=150°,求tan/PBA
7.（2013江西）在厶ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+（conA-L..：
』sinA）cosB=0.
（1）求角B的大小;
（2）若a+c=1,求b的取值范围
33.（2013大纲）
设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,（abc）（abc）ac.
（I）求B
【答案】
Ht<]盯讪+Clcc所以/护=_
-£*—M2or
（Hl>hiAC-16O\HfW
oust1
C）lgjiAg忆"“匚
-cosA*CsinA^inC^-23»rAsidC—eos（A*立-rr*-TZX.,im_/3
（I）求cosA的值；mruuiu
（n）若a4、、2,b5,求向量BA在BC方向上的投影
2cos2
cosB
sin（A
B）sinBcos（AC）
【答案】解：
由2cos2-BcosBsinABsinBcosAC2
3
cosA
B
1cosBsinABsin
BcosB
5
即cosA
B
cosB
sinABsinB
3
5
则cosA
B
B
33
，即cosA
55
由cosA
3,0
A，得sinA
4
5
5
a
b「
bsinA
由正弦定理
，有
，所以,sinB
sinA
sinB
a
2
由题知ab,则AB故B-.
4
2
根据余弦定理，有4近52c2
2
5c
3
5
解得c1或c7（舍去）.
uuruuiu
uuu
近
故向量BA在BC方向上的投影为
BA
cosB
¥J
2
35.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学
所对的边分别为a,b,c且ac6,b2,cosB-
（n）当x[09时，2x4）刁J
令2x72解得x8；
sinBv1cos2B
（n）在厶ABC中,
sinA
由正弦定理得
f（x）4cosxsinx（0）的最小正周期为
4
9
所以yf仪）在［0,—］上单调递增；在［-,］上单调递减•
882
37.（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数
f（x）sin（x）（0,0）的周期为，图像的一个对称中心为（，0）,将函数
4
f（x）图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移£个
单位长度后得到函数g（x）的图像•
故f（）sin
（2）0，得
44
2,所以f（x）cos2x
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式;
请确定x°的个数；若不存在，说明理由
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得ycosx的图象，
再将ycosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）sinx
2
cos2x
（n）当x（―,—）时,丄sinx
642
所以sinxcos2xsinxcos2x
问题转化为方程2cos2xsinxsinxcos2x在（一,一）内是否有解64
设G（x）sinxsinxcos2x2cos2x,x（一，一）64
贝UG（x）cosxcosxcos2x2sin2x（2sinx）
因为x（—,—），所以G（x）0,G（x）在（一，一）内单调递增
6464
142.
又G（）0,G（）0
6442
且函数G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（，）内存在唯一零点x0,
64
即存在唯一的x0
（―,—）满足题意
64
（川）依题意,F（x）
asinxcos2x,令F（x）asinxcos2x0
当sinx0,即x
k（kZ）时,cos2x1，从而x
cos2x
以方程F（x）0等价于关于x的方程a,xk（kZ）
sinx
现研究x（0,）U（,2）时方程解的情况
令h（x）COs2x,x（0,）U（,2）
sinx
则问题转化为研究直线ya与曲线yh（x）在x（0,）U（,2）的交点情况
h（x）
◎令h（x）
cosx（2sin2x
2sinx
当x变化时，h（x）和h（x）变化情况如下表
x
（0,2）
2
（I,）
（,32）
3
2
（32，2）
h（x）
0
0
h（x）
Z
]
]
1
Z
当x0且x趋近于0时,h（x）趋向于
当x且x趋近于时,h（x）趋向于
当x且x趋近于时,h（x）趋向于
当x2且x趋近于2时,h（x）趋向于
故当a1时，直线ya与曲线yh（x）在（0,）内有无交点，在（,2）内有2个交点；
当a1时，直线ya与曲线yh（x）在（0,）内有2个交点,在（,2）内无交点；
当1a1时，直线ya与曲线yh（x）在（0,）内有2个交点，在（,2）内有2个交点
由函数h（x）的周期性，可知当a1时，直线ya与曲线yh（x）在（0,n）内总有偶数个
交点，从而不存在正整数n使得直线ya与曲线yh（x）在（0,n）内恰有2013个交点;当
a1时，直线ya与曲线yh（x）在（0,）U（,2）内有3个交点，由周期
性,20133671所以n67121342
综上，当a1,n1342时函数F（x）f（x）ag（x）在（0,n）内恰有2013个零点
38.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷r
本小题满分14分.已知a=（cos,sin
rr一rrr
（1）若|ab|、.2,求证:
ab；
（2）设c
f（x）2cosx,xR.
（I）求f的值;
6
（n）若cos
，求f2
12
【答案】（I）f—
6
、、2cos
612
2cos—
4
、2cos—
4
1;
（n）f2
■.2cos
2
\2cos2
cos2
sin2
3
312
4
3
3
4
因为cos
5
2
，所以sin
5
5
2
5
所以sin2
2sin
cos
24
cos2
2・2cossin
7_
25
25
x—
6
41.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷本小题满分16分•如图,游客从某旅游景区的景点直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到
[2k
[2k,2k
却k
（数学）（已校对纯WORD
版含附加题））
A处下山至C处有两种路径•一种是从A沿
B,然后从B沿直线步行到C.现有甲•乙两
位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min•在甲出发2min后，乙从A乘缆车
到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C•假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，
山路AC长为1260m，经测量，cosA12,cosC
13
3
123
【答案】解:
⑴：
cosA，cosC-
135
/、.5.4
…A、C（0,—）•••sinA，sinC
2135
•-sinBsin
（AC）
sin（AC）sinAcosCcosAsinC
63
65
根据-AB竺得ABsinCsinB
sinC1040msinB
t分钟后
距离为
d,则
（130t）2（10050t）2
2130t（10050t）
12
13
•••0
•-t
130
37时即乙出发
&分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短
•••d2200（37t270t50）
⑶由正弦定理-BC竺得BC-^CsinA空0?
500（m）
sinAsinBsinB6313
65
乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m）,还需走710m才能到达C
500
710
设乙的步行速度为V
m/min,则
—
3
v
50
c500710
o1250
625
•-3——一
3•
v
v50
43
14
范围内
法二:
解:
（1）如图作BD丄CA于点D,
设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由AC=63k=1260m,
知:
AB=52k=1040m.
（2）设乙出发x分钟后到达点M,此时甲到达N点如图所示.
则:
AM=130xAN=50（x+2）,
2222
由余弦定理得:
MN=AM+AN-2AM•ANcosA=7400x-14000x+10000,
35一
其中0Wx<8,当x=3y（min）时,MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短.
1260126
⑶由
（1）知:
BC=500m,甲到C用时：
=（min）.
505
12614186
若甲等乙3分钟,则乙到C用时:
一了+3=一了（min）,在BC上用时:
~（m
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