第21讲 平行四边形矩形菱形正方形.docx

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第21讲平行四边形矩形菱形正方形

第21讲　平行四边形、矩形、菱形、正方形

知识清单梳理）

　平行四边形

1．定义：

两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形．

2．性质

（1）边：

对边__平行__且__相等__．

（2）角：

对角__相等__．

（3）对角线：

对角线互相平分．

（4）对称性：

__中心__对称．

3．判定

（1）两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形．

（2）两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．

（3）一组对边__平行__且__相等__的四边形是平行四边形．

（4）两组对角分别__相等__的四边形是平行四边形．

（5）对角线互相__平分__的四边形是平行四边形．

　矩形

1．定义：

有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．

2．性质

（1）边：

对边__平行__且__相等__．

（2）角：

四个角都是__直角__．

（3）对角线：

对角线互相__平分__且__相等__．

（4）对称性：

__中心__对称和__轴__对称．

3．判定

（1）有__一__个角是__直角__的平行四边形是矩形．

（2）有__三__个角是__直角__的四边形是矩形．

（3）对角线__相等__的平行四边形是矩形．

　菱形

1．定义：

有一组__邻边相等__的平行四边形叫做菱形．

2．性质

（1）边：

四边__相等__，对边平行．

（2）角：

对角__相等__．

（3）对角线：

对角线互相__垂直__、__平分__，且每一条对角线平分一组对角．

（4）对称性：

__中心__对称和__轴__对称．

3．判定

（1）有一组__邻边相等__的平行四边形是菱形．

（2）四边__相等__的四边形是菱形．

（3）对角线互相__垂直__的平行四边形是菱形．

　正方形

1．定义：

有一个角是__直角__，有一组邻边__相等__的平行四边形叫做正方形．

2．性质

（1）边：

四边__相等__，对边平行．

（2）角：

四个角都是__直角__．

（3）对角线：

对角线互相__垂直__、__平分__、__相等__，每一条对角线平分一组对角．

（4）对称性：

__中心__对称和__轴__对称．

3．判定

（1）有一个角是__直角__、有一组邻边__相等__的平行四边形是正方形．

（2）有一组邻边相等的__矩形__是正方形．

（3）有一个角是直角的__菱形__是正方形．

　中点四边形

1．顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．

2．顺次连接平行四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．

3．顺次连接矩形各边中点，所得四边形是__菱__形．

4．顺次连接菱形各边中点，所得四边形是__矩__形．

5．顺次连接正方形各边中点，所得四边形是__正方__形．

6．顺次连接等腰梯形各边中点，所得四边形是__菱__形．

云南省近五年高频考点题型示例）

　轴对称图形与中心对称图形

【例1】（2017曲靖中考）平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（　　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故是轴对称图形的有3个．

【答案】C

　平行四边形的性质和判定

【例2】（2014昆明中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　　）

A．AB∥CD，AD∥BCB．OA＝OC，OB＝OD

C．AD＝BC，AB∥CDD．AB＝CD，AD＝BC

【解析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．

【答案】C

1．（2015曲靖中考）若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是__120__°.

2．（2014云南中考）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.

求证：

（1）四边形MNCD是平行四边形；

（2）BD＝

MN.

证明：

（1）∵ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

∵M，N分别是AD，BC的中点，

∴MD＝NC，MD∥NC，

∴四边形MNCD是平行四边形；

（2）连接ND.

∵四边形MNCD是平行四边形，

∴MN＝DC.

∵N是BC的中点，∴BN＝CN.

∵BC＝2CD，∠C＝60°，

∴△NCD是等边三角形．

∴ND＝NC，∠DNC＝60°.

∵∠DNC是△BND的外角，

∴∠NBD＋∠NDB＝∠DNC.

∵DN＝NC＝NB，

∴∠DBN＝∠BDN＝

∠DNC＝30°，

∴∠BDC＝90°.

∵tan∠DBC＝

＝

，

∴DB＝

DC＝

MN.

3．（2015云南中考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：

BE＝DF.

证明：

连接BF，DE.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵E，F分别是OA，OC的中点．

∴OE＝

OA，OF＝

OC，∴OE＝OF，

∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF.

　矩形的性质和判定

【例3】（2016云南中考）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.

（1）求tan∠DBC的值；

（2）求证：

四边形OBEC是矩形．

【解析】

（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BCD的度数，即可求出tan∠DBC的值；

（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．

【答案】解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠DBC＝

∠ABC，

∴∠ABC＋∠BAD＝180°.

∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，

∴∠ABC＝60°，

∴∠DBC＝

∠ABC＝30°，

∴tan∠DBC＝tan30°＝

；

（2）∵BE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OBEC是平行四边形．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°.

∴四边形OBEC是矩形．

4．（2016云南中考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上的两个动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为2cm/s.

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？

说明理由；

（2）若BD＝24cm，AC＝32cm，当运动时间t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形？

说明理由．

解：

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵E，F两动点分别以相同的速度向C，A运动，

∴AE＝CF，

∴OA－AE＝OC－CF，

即OE＝OF，

∴BD，EF互相平分，

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）∵四边形DEBF是平行四边形，

∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．

∵BD＝24cm，

∴EF＝24cm，

∴OE＝OF＝12cm，

∵AC＝32cm，

∴OA＝OC＝16cm，

∴AE＝4cm或28cm，

∵E，F两动点的速度都是2cm/s，

∴t＝2s或t＝14s，

∴当运动时间t＝2s或14s时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形．　

　菱形的性质和判定

【例4】（2015昆明中考）菱形的两条对角线分别为8，10，则菱形的面积为________．

【解析】菱形的面积计算公式S＝

ab（a，b为菱形的对角线长），∴菱形的面积S＝

×8×10＝40.

【答案】40

5．（2016曲靖中考）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为__20__．

6．（2013云南中考）如图，在△ABC中，AB＝BC，D，E，F分别是BC，AC，AB边上的中点．

（1）求证：

四边形BDEF是菱形；

（2）若AB＝12cm，求菱形BDEF的周长．

解：

（1）∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，

∴DE∥AB，EF∥BC，

∴四边形BDEF是平行四边形．

又∵DE＝

AB，EF＝

BC，且AB＝BC，

∴DE＝EF，∴四边形BDEF是菱形；

（2）∵AB＝12cm，F为AB的中点，

∴BF＝6cm，

∴菱形BDEF的周长为6×4＝24cm.　

7．（2017云南中考）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E，F分别是AB，AC的中点．

（1）求证：

四边形AEDF是菱形；

（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.

解：

（1）∵AD是等腰△ABC底边上的高，

∴D是BC边的中点．

∵点E，F分别是AB，AC的中点，

∴四边形AEDF是平行四边形．又AB＝AC，

∴DE＝DF，∴▱AEDF是菱形；

（2）连接EF交AD于O点，设AO＝x，EO＝y.

由题意得

∴（x＋y）2＝9＋2xy，

∴12.25＝9＋2xy，∴2xy＝3.25，

∴S＝

·2x·2y＝2xy＝3.25.

　正方形的性质和判定

【例5】（2016昆明中考）已知：

如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．

（1）求证：

△ABM≌△DCM；

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

【解析】

（1）根据矩形的性质可得AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，再根据M是AD的中点，可得AM＝DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；

（2）四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE＝MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM＝CM，进而得ME＝MF，从而得到四边形MENF是菱形；

（3）当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF＝90°，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．

此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法．

【答案】解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°.

又∵M是AD的中点，∴AM＝DM.

在△ABM和△DCM中，

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

（2）四边形MENF是菱形．证明如下：

∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，

∴NE∥MF，NE＝MF.

∴四边形MENF是平行四边形．

由

（1）得BM＝CM，∴ME＝MF.

∴四边形MENF是菱形．

（3）当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：

∵M为AD中点，∴AD＝2AM.

∵AD∶AB＝2∶1，∴AM＝AB.

∵∠A＝90，

∴∠ABM＝∠AMB＝45°.

同理∠DMC＝45°，

∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°.

∵四边形MENF是菱形，

∴菱形MENF是正方形．

近五年遗漏考点及社会热点与创新题）

1.遗漏考点

　正方形的有关计算

【例1】如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　　）

A．45°B．30°

C．60°D．55°

【解析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．

本题考查了三角形的内角和定理的运用、等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用及解此题的关键是如何把已知角与未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．

【答案】A

【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　　）

A．1B.

C．4－2

D．3

－4

【解析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD的长，再求出BE的长，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的

倍计算即可得解．

【答案】C

2．创新题

【例3】一个四边形四条边依次为a，b，c，d且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是________．

【解析】a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，

（a2－2ac＋c2）＋（b2－2bd＋d2）＝0，

（a－c）2＋（b－d）2＝0，

∴a－c＝0，b－d＝0，

∴a＝c，b＝d.

∴四边形是平行四边形．

【答案】平行四边形

课内重难点真题精练及解题方法总结）

1.（2017海南中考）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是（　C　）

A．14B．16C．18D．20

【方法总结】掌握菱形的边、对角线的性质，四边相等，对角线互相平分且垂直，再应用勾股定理即可解决．

　　（第1题图）

　（第2题图）

2．（2017贵州中考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，则下列判断不正确的是（　D　）

A．△AEE′是等腰直角三角形

B．AF垂直平分EE′

C．△E′EC∽△AFD

D．△AE′F是等腰三角形

【方法总结】本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、正方形的性质及相似三角形的判定等知识的综合应用．

3．（2016曲靖中考）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是__10__.

【方法总结】本题考查了轴对称——最短路线问题及正方形的性质，解此题通常利用“两点之间，线段最短”的性质．

4．（2015临沧中考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

（1）求证：

AE＝DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由．

解：

（1）∵△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°.

∴∠C＝180°－∠B－∠A＝30°.

又∵DF⊥BC，CD＝4t，AE＝2t.

∴在Rt△CDF中，DF＝

CD＝2t，

∴DF＝AE；

（2）∵DF∥AB，DF＝AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，

即60－4t＝2t，解得t＝10，

即当t＝10时，▱AEFD是菱形；

（3）当t＝

时，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；

当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．

理由如下：

①当∠EDF＝90°时，DE∥BC.

∴∠ADE＝∠C＝30°，∴AD＝2AE.

即60－4t＝2×2t，

解得t＝

，∴t＝

时，∠EDF＝90°.

②当∠DEF＝90°时，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°.

∵∠A＝60°，∴∠DEA＝30°，

∴AD＝

AE.AD＝AC－CD＝60－4t，AE＝2t，

∴60－4t＝t，解得t＝12.

③∵四边形ADEF是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴∠DFE不可能为直角．

综上所述，当t＝

时，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；

当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．　

5．（2016曲靖中考）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝

BC，连接DE，CF.

（1）求证：

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．

解：

（1）在▱ABCD中，

AD∥BC，且AD＝BC.

∵F是AD的中点，

∴DF＝

AD＝

BC.

又∵CE＝

BC，∴DF＝CE，且DF∥CE，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）过点D作DH⊥BE于点H.

在▱ABCD中，∵∠B＝60°，

∴∠DCE＝60°，

∴∠CDH＝30°，

∵AB＝4，

∴CD＝AB＝4，

∴CH＝

CD＝2，DH＝2

.

在▱CEDF中，CE＝DF＝

AD＝3，则EH＝1.

∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE＝

＝

.

6．（2017贵州中考）如图，DB∥AC，且DB＝

AC，E是AC的中点．

（1）求证：

BC＝DE；

（2）连接AD，BE，若要使四边形DBEA是矩形，则应给△ABC添加什么条件，为什么？

解：

（1）∵E是AC的中点，

∴EC＝AE＝

AC.

∵DB＝

AC，∴DB＝EC.

又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．

∴BC＝DE；

（2）添加AB＝BC.

∴四边形DBEA是平行四边形．

∵BC＝DE，AB＝BC，

∴AB＝DE.∴▱DBEA是矩形．　

【方法总结】掌握平行四边形、矩形的性质及判定方法．