线性回归方程与独立性检验.docx
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线性回归方程与独立性检验
某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：
价格
（元/kg）
10
15
20
25
30
日需求量
（kg）
11
10
8
6
5
（Ⅰ）求
关于
的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，当价格
元/kg时，日需求量
的预测值为多少？
参考公式：
线性回归方程
，其中
，
.
（2015，重庆，文17）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号
1
2
3
4
5
储蓄存款
（千亿元）
5
6
7
8
10
（I）求
关于
的回归方程
；
（II）用所求回归方程预测该地区2015年（
）的人民币储蓄存款.
附：
回归方程
中
（2014·辽宁，18，12分，中）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：
χ2＝
，
P（χ2≥k）
0.100 0.050 0.010
k
2.706 3.841 6.635
解：
（1）将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝
＝
＝
≈4.762.
由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．
（2）从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b2，b3），（a1，b1，b3），（a2，b1，b2），（a2，b2，b3），（a2，b1，b3），（b1，b2，b3）}．
其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3.
Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则
A＝{（a1，b1，b2），（a1，b2，b3），（a1，b1，b3），（a2，b1，b2），（a2，b2，b3），（a2，b1，b3），（b1，b2，b3）}．
事件A由7个基本事件组成，因而P（A）＝
.
1.（2012·辽宁，19）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况．随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：
χ2＝
，
P（χ2≥k）
0.05 0.01
k
3.841 6.635
解：
（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为100×10×（0.02＋0.005）＝25（人），从而完成2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝
＝
＝
≈3.030.
因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
Ω＝{（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，
其中ai表示男性，i＝1，2，3，bj表示女性，j＝1.2.
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
A＝{（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成，因而P（A）＝
.
2.（2014·东北三校联考，17，12分）某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．（说明：
图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）
（1）根据以上数据完成下列2×2列联表：
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
50岁以上
合计
（2）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？
并写出简要分析．
附：
K2＝
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解：
（1）2×2列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30
（2）因为K2＝
＝10>6.635，
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
3.（2013·福建，19，12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
25周岁以下组
合计
附：
χ2＝
P（χ2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
4.（2014·安徽，17，12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：
小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：
[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
每周平均体育运动时间超过4小时
总计
附：
K2＝
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
【思路导引】
（1）根据抽样比计算分层抽样中应抽取的人数；
（2）利用对立事件或互斥事件的概率公式求运动时间超过4小时的概率；（3）先列出2×2列联表，根据K2的计算公式求解．
【解析】
（1）300×
＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得1－2×（0.100＋0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
（3）由
（2）知，300位学生中有300×0.75＝225（人）的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得
K2＝
＝
≈4.762>3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
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