柯西不等式的变形及其应用_精品文档.doc
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柯西不等式的变形及其应用
周学员
作者单位:
湖北省安陆市第一高级中学
邮政编码:
432600
高中新课程标准实施后与以前的课本比较新增了一些内容,这些新增内容在拓宽学生知识面的同时也增加了新的难点,例如新增的柯西不等式就是其中的难点之一,下面谈一谈柯西不等式的两种变形及其应用,希望对读者理解与应用柯西不等式有所帮助。
一.柯西不等式
如果ai、bi∈R(i=1,2,……,n),那么
,当且仅当bi=0(i=1,2,……,n)或存在一个常数k,使得ai=kbi(i=1,2,……,n)时,等号成立。
二.两个推论
推论1.如果ai∈R,bi>0,(i=1,2,……,n),那么
,当且仅当bi=kai(i=1,2,……,n)(i=1,2,……,n)时,等号成立。
证明:
由柯西不等式得
∴,当且仅当bi=kai(i=1,2,……,n)(i=1,2,……,n)时,等号成立。
推论2.如果aibi>0(i=1,2,……,n),那么
,当且仅当b1=b2=…=bn时,等号成立。
证明:
由柯西不等式得
∴,当且仅当b1=b2=…=bn时,等号成立。
三。
应用提高
例1.已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:
证明:
∵a,b,c∈R+,a+b+c=1
由推论1得
∴
例2.已知a,b,c∈R+,求证:
证明:
∵a,b,c∈R+,
由推论1得
∴
即
例3.已知a,b,c∈R+,求证:
证明:
∵a,b,c∈R+,
由推论2得
=
=
∴
例4.已知n∈N*且 n≥2,求证:
证明:
由推论1得
又由推论2得
∴
∴
故原不等式成立
四.练习巩固
1:
设定义在R上的函数,若且求证:
.
分析:
要证明,即证:
只需证:
证明:
∵12x+22x+…+(n-1)2x+an2x≥≥
(∵,)
即
2.若求证:
分析:
初见并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西不等式的推论1了
由推论1得
3.
分析:
由推论2得
五.小结升华
由上面例题和练习的证明可知运用柯西不等式的推论1和推论2证明其他不等式的关键是构造分式,并按照推论1和推论2的形式进行探索,寻求证题思路。
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