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柯西不等式的变形及其应用

周学员

作者单位:

湖北省安陆市第一高级中学

邮政编码:

432600

高中新课程标准实施后与以前的课本比较新增了一些内容,这些新增内容在拓宽学生知识面的同时也增加了新的难点,例如新增的柯西不等式就是其中的难点之一,下面谈一谈柯西不等式的两种变形及其应用,希望对读者理解与应用柯西不等式有所帮助。

一.柯西不等式

如果ai、bi∈R(i=1,2,……,n),那么

,当且仅当bi=0(i=1,2,……,n)或存在一个常数k,使得ai=kbi(i=1,2,……,n)时,等号成立。

二.两个推论

推论1.如果ai∈R,bi>0,(i=1,2,……,n),那么

,当且仅当bi=kai(i=1,2,……,n)(i=1,2,……,n)时,等号成立。

证明:

由柯西不等式得

∴,当且仅当bi=kai(i=1,2,……,n)(i=1,2,……,n)时,等号成立。

推论2.如果aibi>0(i=1,2,……,n),那么

,当且仅当b1=b2=…=bn时,等号成立。

证明:

由柯西不等式得

∴,当且仅当b1=b2=…=bn时,等号成立。

三。

应用提高

例1.已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:

证明:

∵a,b,c∈R+,a+b+c=1

由推论1得

例2.已知a,b,c∈R+,求证:

证明:

∵a,b,c∈R+,

由推论1得

例3.已知a,b,c∈R+,求证:

证明:

∵a,b,c∈R+,

由推论2得

=

=

例4.已知n∈N*且 n≥2,求证:

证明:

由推论1得

又由推论2得

故原不等式成立

四.练习巩固

1:

设定义在R上的函数,若且求证:

.

分析:

要证明,即证:

只需证:

证明:

∵12x+22x+…+(n-1)2x+an2x≥≥

(∵,)

2.若求证:

分析:

初见并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西不等式的推论1了

由推论1得

3.

分析:

由推论2得

五.小结升华

由上面例题和练习的证明可知运用柯西不等式的推论1和推论2证明其他不等式的关键是构造分式,并按照推论1和推论2的形式进行探索,寻求证题思路。

联系地址:

湖北省安陆市凤凰寄宿高中高三数学组

联系电话:

13871907819

E-mail:

948348635@

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