极值点偏移1-2---极值点偏移定理_精品文档.doc
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极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理
一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；
（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.
证明：
（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；
（2）证明略.
左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）
左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）
二、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数的极值点；
（2）构造一元差函数；
（3）确定函数的单调性；
（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.
口诀：
极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板：
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：
.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.[KS5UKS5U.KS5U
（2）构造；
注：
此处根据题意需要还可以构造成的形式.[KS5UKS5U]
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：
时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，
故，又因为，
且在上单调递减，从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续证明：
因为，故，由于在上单调递减，故.
【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[KS5UKS5U.KS5U
三、对点详析，利器显锋芒
★已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若，且，证明：
.
∵，∴，在上单调递增，∴，∴.
★函数与直线交于、两点.
证明：
.
★已知函数，若，且，证明：
.
【解析】由函数单调性可知：
若，则必有，。
所以，
而，
令，则
所以函数在为减函数，所以，
所以即，所以，所以.
★已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：
.
四、招式演练
★已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数.
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若，证明：
当，且时，.
【答案】
（1）当时，无极值;当时,有极小值;
（2）详见解析.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为，
当时，在时成立
在上单调递增，无极值.
当时，解得
由得；由得
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有极小值.
（Ⅱ）当时，的定义域为，，
由，解得.当变化时，，变化情况如下表：
0
0
+
单调递减
极小值
单调递增
∵，且，则（不妨设）
★已知函数，其中
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明：
.
【答案】
（1）;
（2）见解析.
（1）当时，函数在上单调递增，不可能有两个零点
（2）当时，
0
-
极大值
的极大值为，由得；
因为，
所以在必存在一个零点；
显然当时，，
所以在上必存在一个零点；
[KS5UKS5U]
[KS5UKS5U]
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