2MATLAB矩阵及其运算.docx
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2MATLAB矩阵及其运算
2MATLAB矩阵及其运算
矩阵是MATLAB数据存储的基本单元，而矩阵的运算是MATLAB语言的核心，在MATLAB语言系统中几乎一切运算均是以对矩阵的操作为基础的。
下面重点介绍矩阵的生成、矩阵的基本运算和矩阵的数组运算。
2.1变量和数据操作
2.1.1变量与赋值
1．变量命名
在MATLAB6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。
在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。
2．赋值语句
（1）变量=表达式
（2）表达式
其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。
例2-1计算表达式的值，并显示计算结果。
在MATLAB命令窗口
输入命令：
x=1+2i;
y=3-sqrt（17）;
z=（cos（abs（x+y））-sin（78*pi/180））/（x+abs（y））
其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量，分别代表代表圆周率π和虚数单位。
输出结果是：
2.1.2预定义变量
在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。
例如，用pi表示圆周率π的近似值，用i表示虚数单位。
预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。
2.1.3内存变量的管理
1．内存变量的删除与修改
MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理。
在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。
当选中某些变量后，再单击Delete按钮，就能删除这些变量。
当选中某些变量后，再单击Open按钮，将进入变量编辑器。
通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。
clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。
who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。
who命令只显示出驻留变量的名称，whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。
2．内存变量文件
利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是.mat。
MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成。
常用格式为：
save文件名[变量名表][-append][-ascii]
load文件名[变量名表][-ascii]
其中，文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。
变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。
当变量名表省略时，保存或装入全部变量。
-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理。
save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中。
2.1.4MATLAB常用数学函数
MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。
函数使用说明：
（1）三角函数以弧度为单位计算。
（2）abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。
（3）用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。
（4）rem与mod函数的区别。
rem（x,y）和mod（x,y）要求x,y必须为相同大小的实矩阵或为标量。
2.1.5数据的输出格式
MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。
在一般情况下，MATLAB内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的。
数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。
format命令的格式为：
format格式符
其中格式符决定数据的输出格式
2.2MATLAB矩阵
输入矩阵时要以“[]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在括号内。
矩阵同行元素之间由空格或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔。
矩阵大小不需要预先定义。
矩阵元素可以是运算表达式。
若“[]”中无元素表示空矩阵。
2.2.1矩阵的建立
1．直接输入法
最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。
具体方法如下：
将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。
2．利用M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。
下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。
例：
单击“
”，打开MATLAB文本编辑器（或打开Windows记事本），输入：
[1,2,3,4,5;6,7,8,9,0]
保存为：
A.m
在MATLAB命令窗口中输入:
A
3．利用冒号表达式建立一个向量
冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：
e1:
e2:
e3
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。
例：
a=1:
2:
8
在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。
其调用格式为：
linspace（a,b,n）
其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。
显然，linspace（a,b,n）与a:
（b-a）/（n-1）:
b等价。
4．外部文件读入法
MATLAB语言也允许用户调用在MATLAB环境之外定义的矩阵。
可用任意的文本编辑器编辑所要使用的矩阵，矩阵元素之间以特定分断符分开，并按行列布置。
可用load函数调用：
Load+文件名[参数]
Load函数将会从文件名所指定的文件中读取数据，并将输入的数据赋给以文件名命名的变量，如果不给定文件名，则将自动认为matlab.mat文件为操作对象，如果该文件在MATLAB搜索路径中不存在时，系统将会报错。
例如：
事先在记事本中建立文件：
111
123
136
以data1.txt保存.
在MATLAB命令窗口中输入：
>>loaddata1.txt
>>data1
data1=
111
123
136
2.2.2矩阵的拆分
1．矩阵元素
通过下标引用矩阵的元素，例如：
A（3,2）=200
采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。
矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。
在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。
例如，输入：
A=[1,2,3;4,5,6]
A（3）
则输出：
显然，序号（Index）与下标（Subscript）是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A（i,j）的序号为（j-1）*m+i。
2．矩阵拆分
（1）利用冒号表达式获得子矩阵
①A（:
j）表示取A矩阵的第j列全部元素；
A（i,:
）表示A矩阵第i行的全部元素；
A（i,j）表示取A矩阵第i行、第j列的元素。
②A（i:
i+m,:
）表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；
A（:
k:
k+m）表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素；
A（i:
i+m,k:
k+m）表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素。
此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。
end表示某一维的末尾元素下标。
例：
试看结果
A=[1,2,3;4,5,6]
A（2,end）
（2）利用空矩阵删除矩阵的元素
在MATLAB中，定义[]为空矩阵。
给变量X赋空矩阵的语句为X=[]。
注意，X=[]与clearX不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。
2.2.3特殊矩阵
1．通用的特殊矩阵
常用的产生通用特殊矩阵的函数有：
zeros：
产生全0矩阵（零矩阵）。
ones：
产生全1矩阵（幺矩阵）。
eye：
产生单位矩阵。
rand：
产生0～1间均匀分布的随机矩阵。
randn：
产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
例建立一个3×3零矩阵：
zeros（3）
建立一个3×2零矩阵：
zeros（3,2）
设A为2×3矩阵，建立一个与矩阵A同样大小零矩阵：
A=[123;456];%产生一个2×3阶矩阵A
zeros（size（A））%产生与矩阵A同样大小的零矩阵
例建立随机矩阵：
在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵：
x=20+（50-20）*rand（5）
均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。
y=0.6+sqrt（0.1）*randn（5）
例：
它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵（注意：
不是转置）：
A=[123;456]
reshape（A,3,2）
2．用于专门学科的特殊矩阵
（1）魔方矩阵
魔方矩阵：
每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。
n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2个整数组成。
求魔方矩阵的函数magic（n）。
例将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。
M=100+magic（5）
（2）范得蒙矩阵
函数vander（V）生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。
例A=vander（[1;2;3;5]）
（3）希尔伯特矩阵
希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，其元素为1/（i+j-1），ij分别为其行标和列标正定，且高度病态（即：
任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。
生成希尔伯特矩阵的函数是hilb（n）。
希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb（n）。
例求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。
formatrat%以有理形式输出
H=hilb（4）
H=invhilb（4）
（4）托普利兹矩阵
托普利兹（Toeplitz）矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。
生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz（x,y），它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。
这里x,y均为向量，两者不必等长。
toeplitz（x）用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。
例T=toeplitz（1:
6）
（5）已知矩阵A的特征多项式f（x）,求A（都译为“伴随矩阵”，不妥）
例已知矩阵A的特征多项式为：
x3-7x+6，求A：
p=[1,0,-7,6];
compan（p）
（6）帕斯卡矩阵
由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡（Pascal）矩阵。
函数pascal（n）生成一个n阶帕斯卡矩阵。
例求（x+y）5的展开式。
输入命令：
pascal（6）
2.3MATLAB矩阵运算
2.3.1算术运算
1．基本算术运算
MATLAB的基本算术运算有：
＋（加）、－（减）、*（乘）、/（右除）、\（左除）、^（乘方）。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。
（1）矩阵加减运算：
A+B、A-B
（2）矩阵乘法：
A*B
（3）矩阵除法。
设A是非奇异方阵
左除：
A\B等价于A的逆左乘B，也就是inv（A）*B；
右除：
B/A等价于A的逆右乘B，也就是B*inv（A）。
注：
对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。
又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.10005.0000]。
（4）矩阵的乘方：
A^x
2．点运算
在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。
点运算符有.*、./、.\和.^。
两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。
2.3.2关系运算
MATLAB提供了6种关系运算符：
<（小于）、<=（小于或等于）、>（大于）、>=（大于或等于）、==（等于）、～=（不等于）。
它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。
关系运算符的运算法则为：
（1）当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。
若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。
（2）当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。
最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
（3）当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。
最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
例2-8产生5阶随机方阵A，其元素为[10,90]区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。
（1）成5阶随机方阵A。
A=fix（（90-10+1）*rand（5）+10）
（2）判断A的元素是否可以被3整除。
P=rem（A,3）==0
其中，rem（A,3）是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。
此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于（==）比较的结果矩阵。
2.3.3逻辑运算
MATLAB提供了3种逻辑运算符：
&（与）、|（或）和～（非）。
若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。
最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。
若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。
最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。
在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。
例立矩阵A，然后找出大于4的元素的位置。
解：
矩阵A：
A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]
find（A>4）
2.4矩阵分析
2.4.1对角阵与三角阵
对角阵
（1）提取矩阵的对角线元素
设A为m×n矩阵，diag（A）函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min（m,n）个元素的列向量。
diag（A）函数还有一种形式diag（A,k），其功能是提取第k条对角线的元素。
（2）构造对角矩阵
diag（V）将产生一个以V为对角线上元素的m×m对角矩阵
例先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];
D=diag（1:
5）;
D*A%用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数
三角阵
（1）上三角矩阵：
triu（A）：
提取矩阵A的上三角阵的MATLAB函数；
triu（A,k）：
求矩阵A的第k条对角线以上的元素。
例如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。
（2）下三角矩阵
tril（A）：
提取矩阵A的下三角矩阵的函数；
tril（A,k），其用法与提取上三角矩阵的函数triu（A）和triu（A,k）完全相同。
2.4.2矩阵的转置与旋转
1．矩阵的转置：
转置运算符是单撇号（‘）。
2．矩阵的旋转：
利用函数rot90（A,k）将矩阵A旋转90º的k倍，当k为1时可省略。
3．矩阵的左右翻转：
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。
MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr（A）。
4．矩阵的上下翻转：
对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud（A）。
2.4.3矩阵的逆与伪逆
1．矩阵的逆：
inv（A）。
例用求逆矩阵的方法解线性方程组。
Ax=b
其解为：
x=A-1b
2．矩阵的伪逆
如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使得：
A·B·A=A
B·A·B=B
此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。
在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv（A）。
2.4.4方阵的行列式
求方阵A的行列式的值：
det（A）。
2.4.5矩阵的秩与迹
矩阵的秩：
rank（A）。
矩阵的迹：
trace（A）。
2.4.6向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。
范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。
常用范数：
1、向量的范数
1-范数：
║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数：
║x║2=（│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2）^1/2
∞-范数：
║x║∞=max（│x1│,│x2│,…,│xn│）
其中2-范数就是通常意义下的距离。
向量的3种常用范数及其计算函数
（1）norm（V）或norm（V,2）：
计算向量V的2—范数。
（2）norm（V,1）：
计算向量V的1—范数。
（3）norm（V,inf）：
计算向量V的∞—范数。
2．矩阵的范数
1-范数：
║A║1=max{∑|ai1|,∑|ai2|,……,∑|ain|}
2-范数：
║A║2=A的最大奇异值
=（max{λi（A^H*A）}）^{1/2}
（谱范数,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵）；
∞-范数：
║A║∞=max{∑|a1j|,∑|a2j|,...,∑|amj|}
MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
2.4.7矩阵的条件数
在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：
（1）cond（A,1）计算A的1—范数下的条件数。
（2）cond（A）或cond（A,2）计算A的2—范数数下的条件数。
（3）cond（A,inf）计算A的∞—范数下的条件数。
2.4.8矩阵的特征值与特征向量
在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig（A），常用的调用格式有3种：
（1）E=eig（A）：
求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
（2）[V,D]=eig（A）：
求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。
（3）[V,D]=eig（A,‘nobalance’）：
与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。
例2-12用求特征值的方法解方程。
3x5-7x4+5x2+2x-18=0
p=[3,-7,0,5,2,-18];
A=compan（p）;%A的伴随矩阵
x1=eig（A）%求A的特征值
x2=roots（p）%直接求多项式p的零点
2.5矩阵的超越函数
1．矩阵平方根（解矩阵方程X2=A）：
sqrtm（A）
例：
A=[123;456;7,8,9]
sqrtm（A）
2．矩阵对数（计算矩阵A的自然对数lnA）:
logm（A）
例：
A=[123;456;7,8,9]
logm（A）
3．矩阵指数（求矩阵指数eA）：
expm（A）：
例：
A=[011;200;1,2,1]
Expm1（A）
2.6字符串
在MATLAB中，字符串是用单撇号括起来的字符序列。
MATLAB将字符串当作一个行向量，每个元素对应一个字符，其标识方法和数值向量相同。
也可以建立多行字符串矩阵。
字符串是以ASCII码形式存储的。
abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。
相反，char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。
例建立一个字符串向量，然后对该向量做如下处理：
（1）取第1～5个字符组成的子字符串。
（2）将字符串倒过来重新排列。
（3）将字符串中的小写字母变成相应的大写字母，其余字符不变。
（4）统计字符串中小写字母的个数。
命令如下：
ch='ABc123d4e56Fg9';
subch=ch（1:
5）%取子字符串
revch=ch（end:
-1:
1）%将字符串倒排
k=find（ch>='a'&ch<='z'）;%找小写字母的位置
ch（k）=ch（k）-（'a'-'A'）;%将小写字母变成相应的大写字母
char（ch）
length（k）%统计小写字母的个数
与字符串有关的另一个重要函数是eval，其调用格式为：
eval（t）
其中t为字符串。
它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB语句来执行。
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