2MATLAB矩阵及其运算.docx

1、2 MATLAB矩阵及其运算2 MATLAB矩阵及其运算矩阵是MATLAB数据存储的基本单元，而矩阵的运算是MATLAB语言的核心，在MATLAB语言系统中几乎一切运算均是以对矩阵的操作为基础的。下面重点介绍矩阵的生成、矩阵的基本运算和矩阵的数组运算。2.1 变量和数据操作2.1.1 变量与赋值1变量命名在MATLAB 6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。2赋值语句(1) 变量=表达式(2) 表达式其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。例2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。在M

2、ATLAB命令窗口输入命令：x=1+2i;y=3-sqrt(17);z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y)其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量，分别代表代表圆周率和虚数单位。输出结果是：2.1.2 预定义变量在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。例如，用pi表示圆周率的近似值，用i表示虚数单位。预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。2.1.3 内存变量的管理1内存变量的删除与修改MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理。在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。当选中某些变量后，再单击Dele

3、te按钮，就能删除这些变量。当选中某些变量后，再单击Open按钮，将进入变量编辑器。通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。who命令只显示出驻留变量的名称，whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。2内存变量文件利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是.mat。MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成。常用格式为：save 文件名 变量名表 -a

4、ppend-asciiload 文件名 变量名表 -ascii其中，文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理。save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中。2.1.4 MATLAB常用数学函数MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。函数使用说明：(1)

5、 三角函数以弧度为单位计算。(2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。(3) 用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。(4) rem与mod函数的区别。rem(x,y)和mod(x,y)要求x,y必须为相同大小的实矩阵或为标量。2.1.5 数据的输出格式 MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。在一般情况下，MATLAB内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的。数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。format命令的格式为：format 格式符其中格式符决定数

6、据的输出格式2.2 MATLAB矩阵输入矩阵时要以“ ”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在括号内。矩阵同行元素之间由空格或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔。矩阵大小不需要预先定义。矩阵元素可以是运算表达式。若“ ”中无元素表示空矩阵。2.2.1 矩阵的建立1直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。2利用M文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。例：单击“”，

7、打开MATLAB文本编辑器(或打开Windows记事本)，输入： 1,2,3,4,5;6,7,8,9,0保存为：A.m 在MATLAB命令窗口中输入: A3利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。例：a=1:2:8在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调用格式为：linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。4外部文件读入法MATLAB语言也允许用户调用在MATLAB环

8、境之外定义的矩阵。可用任意的文本编辑器编辑所要使用的矩阵，矩阵元素之间以特定分断符分开，并按行列布置。可用load函数调用： Load+文件名参数Load函数将会从文件名所指定的文件中读取数据，并将输入的数据赋给以文件名命名的变量，如果不给定文件名，则将自动认为matlab.mat文件为操作对象，如果该文件在MATLAB搜索路径中不存在时，系统将会报错。例如： 事先在记事本中建立文件： 1 1 1 1 2 3 1 3 6以data1.txt保存.在MATLAB命令窗口中输入： load data1.txt data1 data1= 1 1 1 1 2 3 1 3 62.2.2 矩阵的拆分1矩阵

9、元素通过下标引用矩阵的元素，例如：A(3,2)=200采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如，输入：A=1,2,3;4,5,6A(3)则输出：显然，序号(Index)与下标(Subscript)是一一对应的，以mn矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。2矩阵拆分(1) 利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+

10、m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元素；A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并在第kk+m列中的所有元素。此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。例：试看结果A=1,2,3;4,5,6A(2,end)(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素 在MATLAB中，定义为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=。注意，X=与clear X不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。2.2.3 特殊矩阵1通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生

11、全0矩阵(零矩阵)。ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。rand：产生01间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。例 建立一个33零矩阵：zeros(3)建立一个32零矩阵：zeros(3,2)设A为23矩阵，建立一个与矩阵A同样大小零矩阵：A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵Azeros(size(A) %产生与矩阵A同样大小的零矩阵例 建立随机矩阵：在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵：x=20+(50-20)*rand(5)均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。y=0.6+sqrt(0.1)*ran

12、dn(5)例：它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成mn的二维矩阵（注意：不是转置）： A=1 2 3;4 5 6reshape(A,3,2)2用于专门学科的特殊矩阵(1) 魔方矩阵魔方矩阵：每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2个整数组成。求魔方矩阵的函数magic(n)。例 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5)(2) 范得蒙矩阵函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例 A=vander(1;2;3;5)(3) 希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵是一种数学变

13、换矩阵，其元素为1/(i+j-1)，ij分别为其行标和列标正定，且高度病态（即：任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)。例 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。format rat %以有理形式输出H=hilb(4)H=invhilb(4)(4) 托普利兹矩阵托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必

14、等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。例 T=toeplitz(1:6)(5) 已知矩阵A的特征多项式f(x), 求A（都译为“伴随矩阵”，不妥）例 已知矩阵A的特征多项式为：x3-7x+6，求A：p=1,0,-7,6;compan(p)(6) 帕斯卡矩阵由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。例 求(x+y)5的展开式。输入命令：pascal(6)2.3 MATLAB矩阵运算2.3.1 算术运算1基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：(加)、(减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。注意，运

15、算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。(1) 矩阵加减运算： A+B、A-B (2) 矩阵乘法：A*B (3) 矩阵除法。设A是非奇异方阵左除：AB 等价于A的逆左乘B，也就是inv(A)*B；右除：B/A 等价于A的逆右乘B，也就是B*inv(A)。注：对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和43有相同的值，都等于0.75。又如，设a=10.5,25，则a/5=5a=2.1000 5.0000。 (4) 矩阵的乘方： Ax2点运算在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.和.。两矩阵进行点

16、运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。2.3.2 关系运算MATLAB提供了6种关系运算符：(小于)、(大于)、=(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。关系运算符的运算法则为：(1) 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。 (2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是

17、矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。例2-8 产生5阶随机方阵A，其元素为10,90区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。(1) 成5阶随机方阵A。A=fix(90-10+1)*rand(5)+10)(2) 判断A的元素是否可以被3整除。 P=rem(A,3)=0其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于(=)比较的结果矩阵。2.3.3 逻辑运算MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和(非)

18、。若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。例 立矩阵A，然后找出大于4的元素的位置。解：矩阵A：A=4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0find(A4)2.4 矩阵分析2.4.1 对角阵与三角阵对角阵(1) 提取矩阵的对角线元素设A为mn矩阵，diag(A)函

19、数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。(2) 构造对角矩阵diag(V)将产生一个以V为对角线上元素的mm对角矩阵例 先建立55矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数三角阵(1) 上三角矩阵：triu(A)：提取矩阵A的上三角阵的MATLAB函数；t

20、riu(A,k)：求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。(2) 下三角矩阵tril(A)：提取矩阵A的下三角矩阵的函数；tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。2.4.2 矩阵的转置与旋转1矩阵的转置：转置运算符是单撇号()。2矩阵的旋转：利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90的k倍，当k为1时可省略。3矩阵的左右翻转：对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。4矩阵的上下翻转：对

21、矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。2.4.3 矩阵的逆与伪逆1矩阵的逆：inv(A)。例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。Ax=b其解为：x=A-1b2矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A同型的矩阵B，使得：ABA=ABAB=B此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。2.4.4 方阵的行列式求方阵A的行列式的值：det(A)。2.4.5 矩阵的秩与迹矩阵的秩： rank(A)。矩阵的迹： trace(A)。2.4.6 向量和矩阵的范数矩阵或向量的范数

22、用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。常用范数：1、向量的范数 1-范数：x1=x1+x2+xn 2-范数：x2=(x12+x22+xn2)1/2 -范数：x=max(x1,x2,xn) 其中2-范数就是通常意义下的距离。向量的3种常用范数及其计算函数(1) norm(V)或norm(V,2)： 计算向量V的2范数。(2) norm(V,1)： 计算向量V的1范数。(3) norm(V,inf)： 计算向量V的范数。2矩阵的范数1-范数：A1 = max |ai1|, |ai2| , ,|ain| 2-范数：A2 = A的最大奇异值 = ( ma

23、x i(AH*A) ) 1/2 (谱范数,即AA特征值i中最大者1的平方根，其中AH为A的转置共轭矩阵）；-范数：A = max |a1j|, |a2j| ,., |amj| MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。2.4.7 矩阵的条件数在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1) cond(A,1) 计算A的1范数下的条件数。(2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2范数数下的条件数。(3) cond(A,inf) 计算A的 范数下的条件数。2.4.8 矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的

24、函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：(1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2) V,D=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。(3) V,D=eig(A,nobalance)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。例2-12 用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p); %A的伴随矩阵x1=eig(A) %求A的特征值x2=roots(p) %直接求多项式p的零点2.

25、5 矩阵的超越函数1矩阵平方根（解矩阵方程X2 =A）： sqrtm(A)例：A=1 2 3;4 5 6;7,8,9 sqrtm(A)2矩阵对数（计算矩阵A的自然对数lnA）: logm(A)例：A=1 2 3;4 5 6;7,8,9 logm(A)3矩阵指数（求矩阵指数eA）： expm(A)：例： A=0 1 1;2 0 0;1,2,1 Expm1(A)2.6 字符串在MATLAB中，字符串是用单撇号括起来的字符序列。MATLAB将字符串当作一个行向量，每个元素对应一个字符，其标识方法和数值向量相同。也可以建立多行字符串矩阵。字符串是以ASCII码形式存储的。abs和double函数都可以

26、用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。相反，char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。例 建立一个字符串向量，然后对该向量做如下处理：(1) 取第15个字符组成的子字符串。(2) 将字符串倒过来重新排列。(3) 将字符串中的小写字母变成相应的大写字母，其余字符不变。(4) 统计字符串中小写字母的个数。命令如下：ch=ABc123d4e56Fg9;subch=ch(1:5) %取子字符串revch=ch(end:-1:1) %将字符串倒排k=find(ch=a&ch=z); %找小写字母的位置ch(k)=ch(k)-( a-A); %将小写字母变成相应的大写字母char(ch) length(k) %统计小写字母的个数与字符串有关的另一个重要函数是eval，其调用格式为： eval(t)其中t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB语句来执行。