张量置换符号_精品文档.doc

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（原创）置换符号ε入门（图）  

2009-09-1323:

17:

36|  分类：

 科学的皇后|字号 订阅

上一回说到，在笛卡儿坐标系中，三个坐标基矢是一组标准正交基。

它们之间的点积关系可以用克罗内克尔符号简洁地表示为

（1）

然而笛卡儿坐标系单位基矢之间的叉积关系又如何表示呢？

一、两个矢量的叉积

我们知道，两个矢量的叉积仍是一个矢量，大小等于两矢量大小之积乘以两矢量夹角的正弦，方向垂直于两矢量所在的平面且与两矢量方向成右手螺旋系。

设矢量a和b的夹角为θ，则叉积为矢量c，即

（2） 

其中e_c为c方向上的的单位矢量

（3） 

如下图所示：

图1矢量的叉积

通俗点说，矢量叉积a×b的大小等于两矢量张成的平行四边形的面积，叉积的方向垂直于平行四边形，如图中的c的方向。

如果叉积的次序倒置，则大小不变，但方向相反，即有

 （4）

即两个矢量叉积的方向永远遵守右手螺旋法则。

注意：

两个矢量夹角θ的正弦与其中一个矢量模值的乘积，就是平行四边形的高，直接影响叉积的大小（平行四边形的面积）。

特殊地，如果两矢量夹角为90度（即方向相互垂直），则其叉积最大（矩形面积）；如果两矢量方向相同或相反（夹角为0或180度），则其叉积为0。

二、置换符号ε的由来

在三维笛卡儿坐标系中，由于坐标基矢均为两两相互正交的单位矢量，所以任意两个坐标基矢的叉积也是单位矢量，方向与它们均垂直，假定坐标系是右手螺旋系，则该叉积恰好等于另一个坐标基矢。

即

（5） 

但叉积的方向与两矢量相乘的顺序有关，反过来叉积又有

 （6）

另外，矢量与自身的叉积恒为0，即

 （7）

如下图所示：

图2三维笛卡儿坐标系

为了简洁地表达上述那么多的叉积关系，人们创造了如下的符号表达式

（8） 

称之为置换符号，或排列符号，也叫做Levi-Civita符号。

注意：

置换符号有3个下标，可以使用任何小写字母代表。

利用置换符号，上述式（5）、（6）、（7）所描述的一系列基矢叉积关系，就可以一并简洁地记为

（9） 

这就是笛卡儿坐标系单位基矢之间的叉积关系。

其中i，j，k可取值1，2，3，为坐标系三个单位基矢的下标。

三、置换符号的用途

有了置换符号，在研究多维矢量乃至张量时就方便多了。

比如有两个矢量在笛卡儿坐标系的分量表达式分别为：

（10） 

和

（11） 

则这两个矢量的叉积就可以表示为

 （12）

这样表示的矢量叉积在张量运算中十分方便。

注意，这里的哑标都采用爱因斯坦求和约定。

此外还有，三个矢量的混合积可表示为

（13） 

三阶行列式的值可表示为

 （14）

总之，置换符号还有许多用途。

四、置换符号与克罗内克尔符号的关系

根据置换符号的定义，置换符号ε_ijk共有27个分量，除了6个分量外，其余大部分都为0。

即

 （15）

不难导出置换符号与克罗内克尔符号之间有如下主要关系：

（16） 

置换符号的乘积等于克罗内克尔符号构成的行列式：

（17）

和

（18） 

及

（19） 

甚至还有

（20） 

置换符号也叫做排列张量或交叉张量。

为什么呢？

且听下回分解