中考数学复习教案第21课时圆的认识与和圆有关的位置关系.docx
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中考数学复习教案第21课时圆的认识与和圆有关的位置关系
中考数学复习教案第21课时圆的认识与和圆有关的位置关系
一、中考导航图
1.弧、弧与圆心的概念；
2.圆周角及其与同弧上圆心解的关系；
3.圆的对称性；
4.点和圆的位置关系；
5.直线和圆的位置关系:
切线的判定和性质,切线长定理；
6.圆和圆的位置关系。
二、中考课标要求
┌───┬───────────┬────────────┐
│││知识与技能目标│
│考点│课标要求├──┬──┬──┬───┤
│││了解│理解│掌握│灵活应用
├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤
││理解圆的有关概念││∨│∨││
│├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│圆│掌握“等对等”定理和垂│││││
│的│径定理│││∨│∨│
│认├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│识│掌握圆周角的定义及基本│││∨│∨│
││特征│││││
│├───────────┼──┼──┼──┼───┤
││了解圆的旋转不变性│∨││││
├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤
││理解并记住点和圆，直线│││││
│与│和圆，圆与圆的位置关系││∨│∨││
│圆├───────────┼──┼──┼──┼───┤│有│掌握切线的定义及切线长│││∨│∨│
│关│定理│││││
│的├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│位│会画三角形的外接圆和内│∨││││
│置│切圆│││││
│关├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│系│运用切线的定义和切线长│││││
││定理进行计算││││∨│
└───┴───────────┴──┴──┴──┴───┘
三、中考知识梳理
1.与圆有关的概念
正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念,并能正确分析它们的区别与联系.
2.与圆有关的角
掌握圆周角和圆心角的区别与联系,将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起,一般地,若题目无直径,往往需要作出直径.
3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理
定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的,需注意“在同圆或等圆中”中这个关系.
4.与圆有关的位置关系
了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系,并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键.
5.切线长定理
切线长定理是圆的对称性的体现,它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据.
中考题型例析
1.判断位置关系
例1（2004·辽宁）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,圆心距为3,则两圆的位置关系是（）.
A.内含B.外切C.相交D.内切
解析:
两圆内切时,圆心距等于两半径之差,∵5-2=3,∴两圆内切.
答案:
D.
例2（2001·常数）已知⊙O的半径为5cm,A为线段OP的中点,当OP=6cm时,点A与⊙O的位置关系是（）.
A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上;C.点A在⊙O外D.不能确定
解析:
本题为点与圆位置关系的考查,若dr,则点在圆外.本题只需判断点A到圆心O的距离与半径5cm的大小.因OP=2·OA,所以OA=3cm<5cm,故点A在⊙O内.
答案:
A.
2.垂径定理的应用
例3（2004·吉林）如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在
上,则∠C的度数是_______.解析:
本题主要考查等边三角形的判定和圆周角与圆心角关系.连结OA、OB,可知△OAB和等边三角形.∠AOB=60°,
所以∠C=
∠AOB=30°.
答案:
30°.
3.和角有关的计算
例4（2004·安徽）如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,则点O到CD的距离OE=________.
解析:
本题主要考查圆的有关知识和等腰三角形的性质和判定.由题意可知∠COD=60°,∠ADC=75°,所以∠OCE=45°,所以△OCE为等腰直角三角形,所以OE=
.
答案:
.
基础达标验收卷
一、选择题
1.（2003·武汉）如图1,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数为（）.
A.100°B.130°C.50°D.80°
（1）
（2）（3）（4）
2.（2003.武汉）过⊙O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM的长为（）
A.3cmB.6cmC.
cmD.9cm
3.（2004·北京）如图2,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠P=50°,那么∠ACB等于（）
A.40°B.50°C.65°D.130°
4.（2004·武汉）已知⊙O的半径为10cm,如果一条直线和圆心O的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为（）
A.相离B.相切C.相交D.相交或相离
5.（2004·武汉）如果⊙O的周长为10
cm,那么它的半径为（）
A.5cmB.
cmC.10cmD.5
cm
6.（2004·武汉）⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和4cm,若O1O2=10cm,则这两圆的位置关系为（）
A.相离B.外切C.相交D.内切
7.（2004·宜昌）如图3,AB为⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中错误的是（）
A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.AE=DED.
8.（2004·深圳）下列图中:
①线段;②正方形③圆;④等腰梯形;⑤平行四边形是轴对称图形,但不是中心对称图形有（）.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
1.（2003·黑龙江）如图4,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm.
2.（2003·兰州）D是半径为5cm的⊙O内的一点,且OD=3cm,过点D的所有弦中最短弦AB=________cm.
3.（2003·陕西）如图5,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=_______.
（5）（6）（7）（8）
4.（2004·徐州）如图6,AB为⊙O的直径,弦AC=4cm,BC=3cm,CD⊥AB,垂足为D,那么CD的长为_______cm.
5.（2004·甘肃）如图7,有一圆弧形门拱的拱高AB为1m,跨度CD为4m,则这个门拱的半径为________m.
6.（2003·巴中）如图8,在⊙O中,AB=AC,∠CBD=30°,∠BCD=20°,
则∠ABC=____.
7.（2004·大连）如图,⊙O的半径为5cm,圆心O到弦AB的距离为3cm,
则弦AB的长为_______cm.
三、解答题
1.（2004·大连）如图,AB、CD是⊙O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE.
求证:
∠D=∠B.
2.（2004·湖州）如图,⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A到点B,点A的坐标为（0,4）,M是圆上一点,∠BMO=120°,求:
⊙C的半径和圆心C的坐标.
3.（2003·四川）已知:
如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高.
（1）求证:
AC·BC=BE·CD;
（2）已知CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长.
能力提高练习
一、开放探索题
1.（2004·徐州）如图,⊙O1与⊙O2相交于点A、B,顺次连结O1、A、O2、B四点,得四边形O1AO2B.
（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验,探求图中的四边形有哪些性质?
（用文字语言写出4条性质）
性质1:
__________________;
性质2:
__________________;
性质3:
__________________;
性质4:
__________________.
（2）设⊙O1的半径为R,⊙O2的半径为r（R>r）,O1、O2的距离为d,当d变化时,四边形O1AO2B的形状也会发生变化.要使四边形O1AO2B是凸四边形（把四边形的任一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形）,则d的值取值范围是________.
2.（2003·南通）已知:
如图,AB是⊙O的直径,BD=OB,∠CAB=30°,请根据已知条件和所给图形,写出三个正确的结论（除AO=OB=BD外）:
①____________;②______________;③____________.
3.（2003·福州）已知:
三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
（1）如图a,AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,还需添加的条件是（只需写出三情况）:
①________或②_________或③________;
（2）如图b,AB为非直径的弦,∠CAE=∠B;求证:
EF是⊙O的切线.
二、实际应用题
4.（2003·甘肃）现需测量一井盖（圆形）的直径,但只有一把角尺（尺的两边互相垂直,一边有刻度,且两边长度都长于井盖半径）.请配合图形、文字说明测量方案,写出测量的步骤（要求写出两种测量方案）.
答案:
基础达标验收卷
一、1.C2.A3.C4.B5.A6.A7.C8.A
二、1.
2.83.90°4.
5.
6.65°7.8
三、1.证法1:
如图1,∵CD,AB是⊙O直径,
∴
.
∵FD=EB,∴
.
∴
即
.
∴∠D=∠B.
证法2:
连结OF,OE,
∵DF=BE,∴∠FOD=∠EOB.
又∵OF=OD=OB=OE,
∴△ODF≌△OBE,∴∠D=∠B.
证法3:
连结OF,OE.
∵DF=BE,∠FOD=∠EOB,
∵OF=OD,OE=OB,
∴∠F=∠D,∠E=∠B.
又∵2∠D+∠FOD=2∠B+∠EOB=180°,∴∠D=∠B.
证法4:
如图3,连结CF,AE,
∵AB,CD是⊙O的直径,
∴∠F=∠E=90°.
∵AB=CD,DF=BE,
∴Rt△DFC≌Rt△BEA.
∴∠D=∠B.
证法5:
连结CF,AE.
∵DF=BE,∴
.
∴∠C=∠A.
∵CD,AB是⊙O的直径,
∴∠F=∠E=90°.
∴∠C+∠D=∠A+∠B=90°.
∴∠D=∠B.
证法6:
过O点作OM⊥FD于M,ON⊥BE于N.
∵DF=BE,∴OM=ON.
∵OD=OB,∴Rt△OMD≌Rt△ONB.
∴∠D=∠B.
证法7:
连结DB.
∵OD=OB,∴∠1=∠2.
∴
.
∵DF=BE,∴
.
∴
.
∴
即
.
∴∠D=∠B.
2.解:
连结BA,则易证AB为⊙C的直径.
∵∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°.
∴AB=2AO=8.
∴⊙C的半径r=
=4.
再过C做AO、BO的垂线,垂足分别为P、Q,则易知PO=
=2.
QO=CP=ACsin60°=4-
=2
∴圆心C的坐标为（-2
2）.
3.
（1）证明:
连结CE.
∵BE是⊙O的直径,
∴∠ECB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°.
∴∠ECB=∠ADC.
又∵∠A=∠E,
∴△ADC∽△ECB.
∴
.
∴AC·BC=BE·CD.
（2）解:
在Rt△ACD和Rt△BCD中,
∵CD=6,AD=3,BD=8,
∴BC=
=10,
AC=
=3
.
由
（1）,有AC·BC=BE·CD.
即3
×10=BE·6.
∴BE=5
.
∴⊙O的直径BE的长是5
.
能力提高练习
1.
（1）性质可以是:
有一组对角相等;有两组邻边相等;对边之和相等;对角线互相垂直;有一条对角线平分一组对象;是轴对称图形;其面积等于两条对角线乘积的一半.这个四边形也具有一般四边形的性质,如不稳定性;内角和为360°;外角和为360°等.
（2）
2.CD是⊙O切线;CD2=DB·DA;∠ACB=90°;AB=2BC;BD=BC等.
3.
（1）①∠CAE=∠B②AB⊥EF③∠BAC+∠CAE=90°④∠C=∠FAB⑤∠EAB=∠FAB
（2）证明:
连结AO并延长AO交⊙O于H,连结HC
∴∠H=∠B.
∵AH是直径,∴∠ACH=90°.
∵∠B=∠CAE,
∴∠CAE+∠HAC=90°.
∴HA⊥EF.
∵OA是⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线.
4.解法1:
如图
（1）,把井盖卡在角尺间,可测得AB的长度.
记井盖所在圆的圆心为O,连结OB、OC,由切线的性质得OB⊥AB,OC⊥AC.
又AB⊥AC,OB=OC,则四边形ABOC为正方形.
那么井盖半径OC=AB,这样就可求出井盖的直径.
解法2:
如图
（2）,把角尺顶点A放在井盖边缘,记角尺一边与井盖边缘交于点B,另一边交于点C（若角尺一边无法达到井盖的边上,把角尺当直尺用,延长另一边与井盖边缘交于点C）,度量BC长即为直径.
解法3:
如图（3）,把角尺当直尺用,量出AB的长度,取AB中点C,然后把角尺顶点与C点重合,有一边与CB重合,让另一边与井盖边交于D点,延长DC交井盖边于E,度量DE长度即为直径.
解法4:
如图（4）,把井盖卡在角尺间,记录B、C的位置,再把角尺当作直尺用,可测得BC的长度.记圆心为O,作OD⊥BC,D为垂足,由垂径定理得BD=DC=
BC,且∠BOD=∠COD.
由作图知∠BOC=90°,∴∠BOD=
×90°=45°.
在Rt△BOD中,BO=
这样就可求出井盖的半径,进而求得直径.
解法5:
如图（5）,把角尺当作直尺用,先测得AB的长度,记录A、B的位置,再量AC=AB,记录C的位置,然后测得BC的长度.
作等腰三角形BAC的底边BC上的高AD,D为垂足.
∵AD垂直平分BC,
∴由垂径定理的推论可知AD一定过圆心O,由BD=
BC,可求出BD.
∵AB已测出,
∴在Rt△BDA中,根据勾股定理可求出AD.那么,在Rt△BDO中,
OB2=BD2+OD2=BD2+（AD-AO）2.
设井盖半径为r,则r2=BD2+（AD-r）2.
∵BD、AD都已知.
∴解一元二次方程就可求井盖的半径r,这样就可求出井盖的直径.
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