实验三利用MATLAB求取状态空间模型的相似变换及其标准型控制系统的不同状态模型实现_精品文档.docx
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现代控制理论第一次上机实验报告
实验三利用MATLAB求取状态空间模型的相似变换及其标准型、控制系统的不同状态模型实现
实验目的：
1、通过实验掌握线性系统的对角线标准型、约旦标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及相应变换阵的求解；
2、通过编程、上机调试，掌握系统可控性和可观测性的判别方法、系统的可控性和可观测性分解等；
3、加深理解由控制系统传递函数建立能控、能观、约当标准型等不同状态模型的方法。
实验要求：
1．实现同一系统传递函数的状态模型是唯一的吗？
2．系统传递函数除上面三种不同状态模型实现外，常见的还有串连实现，对否？
3．对于上述系统传递函数，其输出稳态值与输入阶跃信号幅值有何关系？
实验步骤：
1.根据所给系统的已知条件（可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题），如传递函数、零极点模型或（A、B、C、D），实现状态空间模型之间的相似变换、写出其对角线标准型、约当标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及求解相应变换阵，采用MATLAB的相关函数编写m-文件。
已知系统的传递函数如下：
运行如下m-文件，得到传递函数的状态空间模型：
num=[0001];
den=[18.52012.5];
[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）
得到
A=
-8.5000-20.0000-12.5000
1.000000
01.00000
B=
1
0
0
C=
001
D=
0
因此，传递函数的一个状态空间实现是
x1x2x3=-8.520-12.5100010x1x2x3+100u
y=001x1x2x3
G=ss（A,B,C,D）;
（1）对角线标准型：
计算矩阵A的特征值及与特征值对应的对角型变换矩阵D的m-如下：
[V,D]=eig（A）
[V,D]=eig（A）
V=
-0.97980.91840.5774
0.1960-0.3674-0.5774
-0.03920.14690.5774
D=
-5.000000
0-2.50000
00-1.0000
由对角线标准型的变换阵D，运行下列m-文件的到对角线标准型矩阵系数：
G1=ss2ss（G,D）
a=
x1x2x3
x1-8.5-40-62.5
x20.500
x300.40
b=
u1
x1-5
x20
x30
c=
x1x2x3
y100-1
d=
u1
y10
Continuous-timemodel.
由上可得，对角线标准型：
x1x2x3=-8.5-40-62.50.50000.40x1x2x3+-500u
y=00-1x1x2x3
对角型变换矩阵为：
V=-5000-2.5000-1
（2）约旦标准型：
计算矩阵A变换为约当标准型J，并得到变换矩阵V，运行下列m-文件：
>>[V,J]=jordan（A）
V=
2.5000-1.66670.1667
-0.50000.6667-0.1667
0.1000-0.26670.1667
J=
-5.000000
0-2.50000
00-1.0000
根据得到的约当标准型的变换矩阵V，运行下列文件得到约当标准型的矩阵系数：
G1=ss2ss（G,V）
a=
x1x2x3
x1-104-613.6-697.1
x221123.1139.6
x3-4.2-24.28-27.58
b=
u1
x12.5
x2-0.5
x30.1
c=
x1x2x3
y117.512.5
d=
u1
y10
Continuous-timemodel
由上可得，约旦标准型：
x1x2x3=-104-613.6-697.121123.1139.6-4.2-24.28-27.58x1x2x3+2.5-0.50.1u
y=17.512.5x1x2x3
约旦标准型的变换矩阵为：
V=2.5-1.66670.1667-0.50.6667-0,16670.1-0.26670.1667
（3）模态标准型
运行以下m-程序可得到模态标准型系数矩阵和其变换矩阵：
>>[G1,V]=canon（G,'modal'）
a=
x1x2x3
x1-500
x20-2.50
x300-1
b=
u1
x1-0.825
x2-0.95
x30.375
c=
x1x2x3
y1-0.12120.28070.4444
d=
u1
y10
Continuous-timemodel.
V=
-0.8250-2.8875-2.0625
-0.9500-5.7000-4.7500
0.37502.81254.6875
由上可得，模态标准型：
x1x2x3=-5000-2.5000-1x1x2x3+-0.825-0.950.375u
y=-0.12120.28070.4444x1x2x3
模态标准型的变换矩阵为：
V=-0.825-2.8875-2.0625-0.95-5.7-4.750.372.81254.6875
（4）伴随矩阵标准型
运行以下m-程序可得到伴随矩阵标准型系数矩阵和其变换矩阵：
>>[G1,V]=canon（G,'companion'）
a=
x1x2x3
x100-12.5
x210-20
x301-8.5
b=
u1
x11
x20
x30
c=
x1x2x3
y1001
d=
u1
y10
Continuous-timemodel.
V=
1.00008.500020.0000
01.00008.5000
001.0000
由上可得，伴随矩阵标准型：
x1x2x3=00-12.510-2001-8.5x1x2x3+100u
y=001x1x2x3
模态标准型的变换矩阵为：
V=18.520018.5001
2．根据所给系统的已知条件（可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题），如（A、B、C、D）模型，判断其可控性和可观测性并进行可控性和可观测性分解。
判别可控、可观：
（1）构造系统的可控性判别矩阵Tc的m-程序及结果如下：
>>Tc=ctrb（A,B）
Tc=
1.0000-8.500052.2500
01.0000-8.5000
001.0000
由Tc可得，系统可控。
（2）构造系统的可观测性判别矩阵To的m-程序及结果如下：
>>To=obsv（A,C）
To=
001
010
100
由To可得，系统可观。
运行以下m-文件得到可控矩阵可观矩阵：
可控矩阵：
>>W=gram（G,'c'）
W=
0.0635-0.0000-0.0032
-0.00000.0032-0.0000
-0.0032-0.00000.0022
可观矩阵：
>>W=gram（G,'o'）
W=
0.00220.01830.0400
0.01830.15910.3670
0.04000.36701.0294
能控性分解
>>[Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf（A,B,C）
Ac=
01.00000
00-1.0000
12.500020.0000-8.5000
Bc=
0
0
1
Cc=
-100
Tc=
00-1
0-10
100
Kc=
111
>>sum（Kc）
ans=
3
由上可得，可控性分解子矩阵：
x1x2x3=01000-112.520-8.5x1x2x3+001u
y=-100x1x2x3
能观测性分解
>>[Ao,Bo,Co,To,Ko]=obsvf（A,B,C）
Ao=
-8.500020.0000-12.5000
-1.000000
0-1.00000
Bo=
-1
0
0
Co=
00-1
To=
-100
010
00-1
Ko=
11
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