向量在平面几何中的应用_精品文档.doc

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向量在平面几何中的应用

向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系.

利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：

1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式；2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量；3.借助于向量的运算解决问题.

共线定理的作用：

用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．

相关结论：

1.平面上三点共线.（向量共线且有公共点才能得出三点共线．）

2.点为线段的中点，为平面内的任意一点．

3.平面上三点共线为不同于的任意一点，且.

应用一：

应用向量知识证明三点共线

例1：

如图已知△ABC两边的中点分别为，在延长线上取点，使，在延长线上取点，使.

求证：

三点共线

解：

设，则，

由此可得，，

，

，

即,故有，且它们有公共点，

所以三点共线.

应用二：

应用向量知识解决有关平行的问题

例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形.

已知：

如图，四边形的中点.

求证：

四边形是平行四边形.

分析：

要证平行四边形，只需证一组对边平行且相等，即它们所对应的向量相等.

证明：

连接的中点，

同理

四边形是平形四边形.

应用三：

应用向量知识解决有关垂直的问题

向量垂直的相关结论：

数量积：

坐标表示：

例3、证明直径所对的圆周角是直角

如图所示，已知

分析：

要证∠ACB=90°，只须证向量，即.

解：

设，则，

由此可得：

即，即，.

应用四：

求解证明有关长度的问题

利用可以用来求线段的长度.

例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.

已知：

平行四边形ABCD.

求证：

分析：

因为平行四边形对边平行且相等，故设，选其为一组基地，表示其它线段.

解：

设，

则

在三角形中一些常见的结论：

性质1设为所平面内一点，则是外心的重要条件是.

性质2设重心的重要条件是0.

性质3设为所在平面内一点，则是垂心得重要条件是：

.