MATLAB符号计算.docx
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MATLAB符号计算
实验日期2014-03-19
一、实验名称:
MATLAB符号计算
二、实验目的:
（1）掌握定义符号对象的方法;
（2）掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算;（3）掌握求符号函数极限及导数的方法;（4）掌握求符号函数定积分和不定积分的方法
三、实验原理
1.函数极限及导数的方法
（1）函数极限：
limit（F,x,a）求符号函数f（x）的极限值。
即计算当变量x趋近于常数a时，f（x）函数的极限值。
（2）limit（f）：
求符号函数f（x）的极限值。
符号函数f（x）的变量为函数findsym（f）确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。
（3）limit（f,x,a,'right'）：
求符号函数f的极限值。
'right'表示变量x从右边趋近于a。
（4）limit（f,x,a,‘left’）：
求符号函数f的极限值。
‘left’表示变量x从左边趋近于a。
2.微分：
diff（s）：
没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。
diff（s,'v'）：
以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。
diff（s,n）：
按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。
diff（s,'v',n）：
以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。
3.函数定积分和不定积分的方法：
int（s）：
没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。
int（s,v）：
以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。
int（s,v,a,b）：
求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
梯形法：
trapz（x,y）：
x为分割点构成的向量，y为被积函数在分割点上的函数值构成的向量；
抛物线法：
quad（f,a,b,tol），f是被积函数，[a,b]是积分区间，tol是精度。
4.求和及泰勒级数展开的方法：
（1）求和symsum（s,v,n,m）其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。
v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。
n和m是求和的开始项和末项。
（2）泰勒级数展开taylor（f,v,n,a）该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项（即变量v的n-1次幂）为止，n的缺省值为6。
v的缺省值与diff函数相同。
参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。
四、实验内容
1.求下列极限：
（1）
（2）
（3）
（4）
（3）
2.求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
，求
，
，
3.求下列函数的积分
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
由曲面
，
，
所围成
（6）
4.解下列方程组。
（1）
（2）
（3）
5.求下列级数的和
（1）
（2）
6.泰勒级数展开
将函数
展开成
的幂级数
五、实验过程及结果（含源代码）
1.求下列极限：
>>symsxat;
>>F1=limit（atan（x）/x）%求F1的极限
F1=
1
>>F2=limit（（1+x）/（1-x）^（1/x））%求F2的极限
F2=
exp
（1）
>>F3=limit（x*（log（1+x））/（sin（x^2）））%求F3的极限
F3=
1
>>F4=limit（（1/（1+x））-（1/（1-x^3））,x,1）%求F4的极限
F4=
NaN
>>F5=limit（（1+2*t/（a*x））^（5*x）,x,inf）%求F5的极限
F5=
exp（（10*t）/a）
2.求下列函数的导数：
>>x=sym（'x'）;
>>y1=diff（（cos（x）^3）-（cos（3*x）））%求导后y1的表达式
y1=
3*sin（3*x）-3*cos（x）^2*sin（x）
>>y2=diff（x*sin（x）*log（x））%求导后y2的表达式
y2=
sin（x）+log（x）*sin（x）+x*cos（x）*log（x）
>>y3=diff（（x*exp（x）-1）/sin（x））%求导后y3的表达式
y3=
（exp（x）+x*exp（x））/sin（x）-（cos（x）*（x*exp（x）-1））/sin（x）^2
>>y4=diff（exp（x）*cos（x））%求导后y4的表达式
y4=
exp（x）*cos（x）-exp（x）*sin（x）
>>y5=diff（x^2*sin（x））%求导后y5的表达式
y5=
x^2*cos（x）+2*x*sin（x）
>>symsxat;
>>f=[a*exp（x）t^3*x;t*cos（x）log（x）];
>>diff（f）%求f的一阶导
ans=
[a*exp（x）,t^3]
[-t*sin（x）,1/x]
>>diff（f,t,2）%求f对t的二阶导
ans=
[0,6*t*x]
[0,0]
>>diff（diff（f）,t）%求f的一阶导后再对t求导
ans=
[0,3*t^2]
[-sin（x）,0]
3.求下列函数的积分
>>symsxyzabc;
>>f1=int（sin（a*x）*sin（b*x）*sin（c*x）,x）%第一题的积分
Warning:
Explicitintegralcouldnotbefound.
f1=
piecewise（[a=b+c,int（sin（x*（b+c））*sin（b*x）*sin（c*x）,x）],[a+b=c,int（sin（c*x-b*x）*sin（b*x）*sin（c*x）,x）],[a+c=b,int（sin（b*x-c*x）*sin（b*x）*sin（c*x）,x）],[a+b+c=0,int（sin（-b*x-c*x）*sin（b*x）*sin（c*x）,x）],[a<>b+canda+b<>canda+c<>banda+b+c<>0,cos（x*（a+b+c））/（4*a+4*b+4*c）-cos（x*（a+b-c））/（4*a+4*b-4*c）-cos（x*（a-b+c））/（4*a-4*b+4*c）-cos（x*（b-a+c））/（4*b-4*a+4*c）]）
>>f2=int（x^5+x^3-sqrt（x）/4,x）%第二题的积分
f2=
x^4/4-x^（3/2）/6+x^6/6
>>f4=int（（int（x/（1+x*y）,x,0,1））,y,0,1）%第四题的积分
Warning:
Explicitintegralcouldnotbefound.
f4=
log（4）-1
>>f5=int（pi*z^2,z,1,2）%第五题的积分
f5=
（7*pi）/3
>>A=[1/xb*x^2;exp（x）cos（x）];%第六题的积分
>>f5=int（A,x）
f5=
[log（x）,（b*x^3）/3]
[exp（x）,sin（x）]
4.解下列方程组
>>[x1,x2,x3]=solve（'-2*x1+5*x2-7*x3=-5','4*x1+3*x2-2*x3=3','2*x1+1*x2+6*x3=15'）
x1=%第一题的解
23/83
x2=
167/83
x3=
172/83
首先编制函数文件fc.m如下：
%第二题的解
functiony=fc（x）
y
（1）=x
（1）-5*sin（x
（1））-4*cos（x
（2））;
y
（2）=x
（2）-5*cos（x
（1））+4*sin（x
（2））;
y=[y
（1）y
（2）];
在MATLAB窗口中输入：
>>x0=[0.50.5];
>>fsolve（'fc',x0）
Nosolutionfound.
fsolvestoppedbecausetheproblemappearsregularasmeasuredbythegradient,
butthevectoroffunctionvaluesisnotnearzeroasmeasuredbythe
defaultvalueofthefunctiontolerance.
ans=
-0.75450.8106
>>[x,y]=dsolve（'Dx=-5*x+y','Dy=-y+5*x'）%第三题的解
x=
C2/5-C1/exp（6*t）
y=
C2+C1/exp（6*t）
5.求下列级数的和
>>symsf1f2n
>>a=1;
>>b=inf;
>>f1=（2*n-1）/2^n;
>>I1=symsum（f1,n,a,b）%求I1的解
I1=
3
>>I2=symsum（f2,n,a,b）%求I2的解
I2=
2-2*log
（2）
6.泰勒级数展开
>>symsx
>>taylor（1/（x^2+5*x-3）,3,2）%展开至2次幂
ans=
（70*（x-2）^2）/1331-（9*x）/121+29/121
>>taylor（1/（x^2+5*x-3）,4,2）%展开至3次幂
ans=
（70*（x-2）^2）/1331-（9*x）/121-（531*（x-2）^3）/14641+29/121
>>taylor（1/（x^2+5*x-3）,5,2）%展开至4次幂
ans=
（70*（x-2）^2）/1331-（9*x）/121-（531*（x-2）^3）/14641+（4009*（x-2）^4）/161051+29/121
实验日期2014-04-02
一、实验名称
MATLAB符号计算及应用
二、实验目的
（1）掌握定义符号对象的方法
（2）掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算
（3）掌握求符号函数极限及导数的方法
（4）掌握求符号函数定积分和不定积分的方法
四、实验内容
1.一无阻力抛射体的飞行，给定初速
，试计算物体在真空中飞行的时间和距离，并绘出其运行轨迹。
2.一有阻力抛射体的飞行，给定初速
，设空气阻力的方向与速度向量相反，大小与速度的平方成正比，试计算物体在真空中飞行的时间和距离，并绘出其运行轨迹。
3.用数值积分法求
，在
到
之间所围面积，并讨论步长和积分方法对精度的影响。
4.计算二重积分
，积分区域D为由
，
及
所围成的闭合区域，并作出积分区域D的示意图。
5.计算三重积分
，积分区域V为由
，
，
及
所围成的闭合区域，并作出积分区域V的示意图。
五、实验过程及结果（含源代码）
1.
>>symsvvxvytyxtfthetaxmax;%定义变量
>>v=10;theta=pi/3;%给初速度v（单位m/s）和抛射角theta（单位rad）赋值
>>vx=v*cos（theta）;%速度的x轴分量
>>vy=v*sin（theta）;%速度的y轴分量
>>y=vy*t-0.5*9.8*t^2;%建立y轴方向上的位移表达式
>>x=vx*t;%建立x轴方向上的位移表达式
>>tf=roots（[-0.5*9.8vy0]）%当y=0时，解出落地时间tf（单位s）
tf=
0
1.7674
>>tf=1.7674;
>>xmax=vx*tf%利用tf求出水平抛射距离（单位m）
xmax=
8.8370
>>t=0:
0.01:
tf,tf;%绘图
>>x=vx*t;
>>y=vy*t-0.5*9.8*t.^2;
>>plot（x,y）
2．
>>symsxxmaxyvvxvyffxfykmgthetat%定义变量
>>v=10;k=-1.2;m=5;g=-9.8;theta=pi/3;%初速度v（m/s），阻力比例系数k，物体质量m（kg），重力加速度g（m/s2），抛射角theta（rad）赋值
>>fx=k*vx;%阻力在x轴上的分量
>>fy=k*vy;%阻力在y轴上的分量
>>vx=v*cos（theta）+fx/m*t;%速度在x轴上的分量，记为方程a
>>vy=v*sin（theta）+（fy/m+g）*t;%速度在y轴上的分量，记为方程b
>>x=v*cos（theta）*t+1/2*fx/m*t^2;%建立x轴方向上的位移表达式，记为方程c
>>y=v*sin（theta）*t+1/2*（fy/m+g）*t^2;%建立y轴方向上的位移表达式，记为方程d
>>vy%查看方程b的符号表达式
vy=
5*3^（1/2）-t*（（6*vy）/25+49/5）
>>y%查看方程d的符号表达式
y=
5*3^（1/2）*t-t^2*（（3*vy）/25+49/10）
>>[vyt]=solve（'5*3^（1/2）*t-t^2*（（3*vy）/25+49/10）=0','5*3^（1/2）-t*（（6*vy）/25+49/5）-vy=0'）
%联立方程b和方程d求解物体飞行时间t
vy=
0
-（50*3^（1/2））/（6*3^（1/2）-49）
t=
5*3^（1/2）
-5*3^（1/2）
>>vpa（vy,6）
ans=
0
2.24314
>>vpa（t,6）
ans=
8.66025
-8.66025%显然物体在有阻力的情况下飞行了8.66025s
>>subs（vx,'t',8.66025）%将此时间带入vx表达式中的变量t中，得方程A
ans=
5-（457058187573461*vx）/219902325555200
>>subs（x,'t',8.66025）%将此时间带入x表达式中的变量t中。
得方程C
ans=
34641/800-（7916476337866131*vx）/879609302220800
[vxx]
=solve（'5-（457058187573461*vx）/219902325555200-vx=0','34641/800-（7916476337866131*vx）/879609302220800-x=0'）%联立方程A和方程C求出物体飞行最远水平距离x
vx=
1099511627776000/676960513128661
x=
155********423814701/541568*********800
>>vpa（x,6）%化简x的值，使其保留到6位有效数字
ans=
28.6836%显然物体飞行最远水平距离为28.6836m
>>cleart%清除变量t内存，为作图做t的分划做准备
>>symst%再次定义变量t
>>x=v*cos（theta）*t+1/2*（（k*v*cos（theta））/（k/m*t+1））/m*t^2%将fx的表达式带入方程c得到的新方程c`，并查看其符号表达式
x=
5*t+（3*t^2）/（5*（（6*t）/25-1））
>>y=v*sin（theta）*t+1/2*（（k*（v*sin（theta）+g*t）/（k/m*t+1））/m+g）*t^2%将fy的表达式带入方程d得到的新方程d`，并查看其符号表达式
y=
5*3^（1/2）*t-t^2*（（（294*t）/25-6*3^（1/2））/（10*（（6*t）/25-1））+49/10）
>>t=0:
0.1:
8.66025;%绘图
>>x=5*t+（3*t.^2）/（5*（（6*t）/25-1））;
>>y=5*3^（1/2）.*t-t.^2*（（（294.*t）/25-6*3^（1/2））/（10*（（6.*t）/25-1））+49/10）;
>>plot（x,y）
3.
>>symsxyexactapproximate11approximate12approximate21%定义变量
>>exact=int（-1*x.^2+115,x,0,10）%求出积分精确值
exact=
2450/3
>>vpa（exact）
ans=
816.66666666666666666666666666667
>>x=linspace（0,10,10）;%将区间[0,10]10等分赋予x
>>y=-1*x.^2+115;%建立x和y两数组的函数关系
>>approximate11=trapz（x,y）%用梯形公式求y的数值积分
approximate11=
814.6091
>>approximate12=quad（'-1*x.^2+115',0,10）%用辛普森公式求y得数值积分
approximate12=
816.6667%显然辛普森公式精度好于梯形公式
>>x=linspace（0,10,20）;%将区间[0,10]20等分赋予x
>>y=-1*x.^2+115;
>>approximate21=trapz（x,y）%求更小步长下的梯形公式数值积分
approximate21=
816.2050%显然步长越小精度越好
4.
>>clear
>>symsxy%定义变量
>>int（（int（x^2+y^2）,x,y,1）,y,0,1）%求二重积分
ans=
1/3
>>x=0:
0.1:
1;%作出积分区域，蓝色区为积分区域
>>y=x;
>>plot（x,y）;
>>title（'积分区域'）
5.
>>clear
>>symsxyz%定义变量
>>int（int（int（'4*x*y*z',x,y,1）,y,0,1）,z,0,1）%求三重积分
ans=
1/4
>>clear%绘图
>>symsx1x2x3x4y1y2y3y4z1z2z3z4
>>[x1,y1]=meshgrid（0:
0.05:
1）;%生成矩形域格点坐标数组x1,y1
>>z1=x1.*y1;%生成对应的z1数组
>>mesh（x1,y1,z1）%作出z=xy图像
>>holdon%保持此图像不被下一个图像代替
>>[x2,y2]=meshgrid（0:
0.05:
1）;%生成矩形域格点坐标数组x2,y2
>>z2=zeros（size（x1））;%生成一个与x1同维的全零数组
>>mesh（x2,y2,z2）%作出z=0图像
>>[x3,z3]=meshgrid（0:
0.05:
1）;%生成矩形域格点坐标数组x3,z3
>>y3=x3;%生成对应的y3数组
>>mesh（x3,y3,z3）%作出y=x图像
>>[y4,z4]=meshgrid（0:
0.05:
1）;%生成矩形域格点坐标数组y4,z4
>>x4=ones（size（y4））;%生成一个与y4同维的全1数组
>>mesh（x4,y4,z4）%作出x=1图像。
此四个图像所包围的空间即为积分区域
实验日期2014-04-16
一、实验名称
MATLAB绘图
二、实验目的
（1）掌握绘制二维图形的常用函数。
（2）掌握绘制三维图形的常用函数。
（3）掌握绘制图形的辅助操作
三、实验原理
1.绘制二维图形的常用函数
plot函数绘制二维曲线，常用格式有：
plot（x）：
缺省自变量的绘图格式，x可为向量或矩阵。
plot（x,y）：
基本格式，x和y可为向量或矩阵。
plot（x1,y1,x2,y2,…）：
多条曲线绘图格式，在同一坐标系中绘制多个图形。
plot（x,y,‘s’）：
开关格式，开关量字符串s设定了图形曲线的颜色、线型及标示符号。
2.绘制三维图形的常用函数
（1）三维曲线图——plot3函数
plot3（x1,y1,z1,'s1',x2,y2,z2,'s2'…）
（2）三维网格图——mesh函数为数据点绘制网格线：
mesh（z）——z为n×m的矩阵，x与y坐标为元素的下标位置
mesh（x,y,z）——x,y,z分别为三维空间的坐标位置
（3）三维曲面图——由surf函数完成的，用法和mesh类似。
3.绘制图形的辅助操作
title——给图形加标题
xlable——给x轴加标注
ylable——给y轴加标注
text——在图形指定的任意位置加标注
gtext——利用鼠标将标注加到图形任意位置
gridon——打开坐标网格线
gridoff——关闭坐标网格线
legend——添加图例
axis——控制坐标轴刻度
4.特殊坐标系
极坐标图形——polar（theta,rho（i,:
））
四、实验内容
1、绘制
和它的导数在[0,4
]的曲线，并用适当的字体、大小标注其x轴、y轴及其函数。
2、采用两种不同方法绘制
在
的三维（透视）网格曲面。
（提示：
ezmesh;mesh;hidden）
3、绘制下列极坐标图形
r=3（1-cos）
r=2（1+cos）
r=2（1+sin）
r=cos3
r=exp（4）
4、在同一坐标内，分别用不同线型和颜色绘制曲线
和
，标记两曲线交叉点。
五、实验过程及结果（含源代码）
1.
>>clear
>>symsty
>>y=sqrt（3）/2*exp（-2*t）*sin（2*sqrt（3）*t+pi/6）;
>>DY=diff（y,'t'）;%求导
>>t=0:
pi/100:
4*pi;%先将变量t分成数组
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