高等代数知识点总结.docx

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高等代数知识点总结

高等代数知识点总结

1.高数怎样复习

一般来讲，考研数学次要是考查考生的基本概念、运算力量、综合分析的思维方法三个方面。

而这三个方面的提高当然不是一朝一夕就能提高，不只需要考生平常的努力，当然也讲究肯定的复习方法。

下面，万学海文辅导专家就为2021年的广阔考生从这三个方面来指点一下其复习方法。

方法一：

基本概念考生在接触辅导书之前最好先过一遍教材，以便有个大致了解，最好结合考纲，这样有针对性。

书上有许多东西写得很具体，看的时候要抓次要冲突，有所取舍，详细说起来就是着重考纲中要求“理解”和“把握”的部分。

定理的证明之类的可以跳过，比如极限，看上去就让人头晕的“ε—δ”语言是数学系的同仁作的工作，不用管它，你只需要看到一个初等函数后会用“代入法”求其在某一点的极限就可以了。

但由于了解过程也有助于记忆结论，所以假如时间允许，也可以大致了解一下重要定理的证明思路。

不管看不看过程，最终的目的只要一个：

记得公式和定理。

不同于高考，考研数学要求记忆的学问点特别多，所以必需要像学习英语单词那样时常回忆，加深印象。

记得学问点以后要做什么？

自然是用于解题。

这时候就消失了一个值得留意的问题，那就是定理和公式成立的条件，还是拿上面这个例子来说，函数能够代入某点的取值来求极限的条件是什么？

那就是这个函数是连续函数，虽然说考生遇到的大部分函数都是连续的，但最好还是不要想当然。

类似的例子还有许多，许多考生简单忽视这个环节。

比如：

连续函数的若干性质，如最大值最小值定理、零点定理等，都是指的闭区间上连续函数的性质；中值定理那一章节里，许多定理成立的条件都是所给函数在闭区间上连续、开区间上可导；应用得特别多的格林公式和高斯公式成立的条件是对应的闭合曲线或闭合曲面所包围的区域内不含奇点，在所求积分区域不闭合时要用补线或补面的方法，当有奇点时要想方法把单连通区域转化成多连通区域，使得对应的多连通区域不含奇点后才能应用相应的定理。

所以，万学海文辅导专家建议考生在复习过程中本人多总结，总的来说，记得学问点不是难事，但是肯定要留意同时把某一学问点对应的适用条件也把握好！

只要同时把这两方面把握住了，概念这一块才算过关，才算打好了基础。

方法二：

运算力量这里所说的运算力量包括速度和精确     率两个方面，多数人肯定有这样的感受：

一张数学卷子发下来，题目都会做，都有思路，但是一做起来就漏洞百出，总有地方出错，结果时间自然不够。

归根结底就是由于本人平常从来不练，看到一道题，先想思路，假如方法上没有什么妨碍的话就认为不会有问题了，现实上假如真的动手去做很可能发觉并非想象那么简洁。

所以万学海文建议大家做书后的习题，当然不用全做，拿高数书来说，每章后边的习题都是分大题小题的，一道大题可能有若干小题，那么这些小题基本算上同一类的，有选择性的做就可以了，留意把不同类型的题目都涉及到就差不多了，然后是李永乐或者其它复习参考书后的习题，这些都是必要的。

下面再为2021考生们总结一下比较重要的运算方面内容：

求极限、求导数、求高阶导数、求不定积分、求向量的点积和叉积、复合函数求导的链式法则、行列式或矩阵的初等变换、矩阵的乘法。

对于这些内容，肯定要练到熟得不能再熟，基本不出错的地步。

运算速度到后期显得比较重要，由于冲刺阶段都是要整张卷子的做，这时不只要安排好各部分题目的时间，而且要确保能在估计的时间里完成相应的任务，否则会对个人的心情产生影响，考研数学九道大题，至多应当留两个小时来做，比较好的时间安排是：

选填题45分钟，解答题2小时。

方法三：

思维方法由于考研数学的学问点涉及面很广，而一张卷子能考查的掩盖面是有限的，那很自然会在综合要求上有所提高。

所以，这个时候一些数学上的思想方法：

分类争论、数形结合、微元分析等就会派上用场。

由于高等数学里面函数的地位是很重的，所以很有必要熟识一些常用函数的性态，在涉及到此的时候最好能数形结合，便于分析，而且不要仅限于直角坐标的，极坐标下某些曲线的图形也应当把握，比如星形线、对数螺线等，假如把对象扩大到空间坐标系，那还有各种旋转面、柱面、锥面等，要会写它们的柱坐标或者球坐标方程，这在求重积分的时候是重要的解题手段。

在涉及到利用对称性时，数形结合有助于分析。

至于分类争论，线性代数用得比较多，尤其是在涉及线性方程组的题目时，对于未知参数经常需争论取值。

微元分析可谓是高校数学里最重要的思维方法了，不只数学要用到，许多后续课程都要用到，详细的思路大家可以参考定积分的应用部分，书上也有许多详细例子，就不具体解释了，由于它实在是太有用了，所以万学海文建议考生必需娴熟把握。

2.考研高数怎样复习

一、充分了解所考数学的详细要求数学的第一轮复习一般支配在起步期（3-6月），这个时间段次要是夯实基础阶段。

数学分数学1~数学4，要求的内容和难度都有不同的要求。

首先要充分的了解你所要考的数学的详细内容。

比如说，高等数学是考研数学的重中之重，所占分值大，需要复习的内容也比较多。

它包括的次要内容有：

1）函数、极限与连续：

次要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数；争论函数连续性和推断间断点类型；无穷小阶的比较；争论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2）一元函数微分学：

次要考查导数与微分的求解；隐函数求导；分段函数和肯定值函数可导性；洛比达法则求不定式极限；函数极值；方程的根；证明函数不等式；罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及帮助函数的构造；最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用；用导数讨论函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

3）一元函数积分学：

次要考查不定积分、定积分及广义积分的计算；变上限积分的求导、极限等；积分中值定理和积分性质的证明题；定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4）多元函数微分学：

次要考查偏导数存在、可微、连续的推断；多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数、方向导数；多元函数极值或条件极值在与经济上的应用；二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

5）多元函数的积分学：

包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。

6）微分方程及差分方程：

次要考查一阶微分方程的通解或特解；二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；微分方程的建立与求解。

差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法跨章节、跨科目的综合考查题，近几年消失的有：

微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题等。

正是由于数学复习具有基础性和长期性的特点，内容多而杂，量很大，因而第一轮复习宜早不宜迟。

二、第一阶段复习要狠抓基础学问复习之始，特别有必要把数学课本通看一遍，次要是对一些重要的概念，公式的理解和记忆，当然在理解记忆的过程中做一些比较简洁的习题，有助于学问点的回忆和巩固。

这些课后习题对于总结一些相关的解题技巧也很有关心。

在复习的夯实基础阶段可以选择比较好的教科书。

比犹如济版的《线性代数》（第三版）或北大版的《高等代数》（上册）。

还有大一大二的教材从内容到难度都比较适合打基础，也可以选择。

同时建议再选择一本考研复习材料参照着学习，海文学校推举大家选用《李永乐、李正元考研数学复习全书》，这本书把整个高等数学纵向联系和横向联系都分析得比较清晰，都分成若干的部分，哪个部分有哪些方法分析得很好。

这样一来不只有利于提高综合力量，还有助于在全面复习的基础上把握重点。

需要强调的是肯定要通读一遍考研的数学大纲，大家可以结合07年考研大纲来看，这样有助于对整个考研数学学问点的把握，有助于对考试题型，试题难度的把握。

考研大纲严格划定了各类专业考生应考的范围和难度要求，是考生制定方案的依据。

认真阅读，体会本专业类数学考题的题型类别和难度特点，与考研大纲无关的内容坚决不看。

数学究竟是一门理解加运用的科目，不练习是确定无法娴熟把握各个学问点和公式的。

所以需要大家在复习过程中肯定要注重平常的练习，把常常出错，辨别不清，把握不坚固的学问点，公式以及相关练习题总结在一个公用的笔记本上，坚持到最终冲刺阶段，平常常常翻看、总结。

这样一路下来你会发觉，难点重点都在你总结的笔记本上。

最终冲刺阶段，你只需把本上的学问点拿出来再看一遍。

不只可以节约大量的时间，而且也不会因临考前的紧急不晓得该看什么。

总之，第一阶段的复习要体现以下三点：

第一，充分理解考研数学大纲的要求，作到精确     定位；其次，注重对基本概念、基本定理和基本方法的复习，夯实基础；第三，循序渐进，合理支配时间，切忌搞突击。

数学成果是长期积累的结果，所以再次提示大家考研数学复习预备时间肯定要充分。

只要对各个学问点做深化细致的分析，留意抓考点和重点题型，才能在一些大的得分点上敏捷运用、举一反三。

3.高等代数的次要内容次要学问

高等代数初等代数从最简洁的一元一次方程开头，一方面进而争论二元及三元的一次方程组，另一方面讨论二次以上及可以转化为二次的方程组。

沿着这两个方向连续进展，代数在争论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还讨论次数更高的一元方程组。

进展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学进展到高级阶段的总称，它包括很多分支。

现在高校里开设的高等代数，一般包括两部分：

线性代数初步、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上讨论对象进一步的扩充，引进了很多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。

这些量具有和数相类似的运算的特点，不过讨论的方法和运算的方法都愈加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由很多向量组成的并且符合某些特定运算的规章的集合。

向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。

高等代数进展简史代数学的历史告知我们，在讨论高次方程的求解问题上，很多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰苦的劳动。

人们很早就已经晓得了一元一次和一元二次方程的求解方法。

关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。

到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分讨论了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发觉一元三次方程解的公式——卡当公式。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的，后来被米兰地区的数学家卡尔达诺（1501~1576）骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在本人的著作里。

所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式（或称卡当公式），其实，它应当叫塔塔里亚公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里（1522~1560）解出。

这就很自然的促使数学家们连续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。

圆满的是这个问题虽然耗费了很多数学家的时间和精力，但始终持续了长达三个多世纪，都没有处理。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔（1802~1829）证明白五次或五次以上的方程不行能有代数解。

既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。

阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个详细的方程能否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不行能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底处理了。

伽罗华20岁的时候，由于乐观参与法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。

伽罗华在临死前预料本人难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给伴侣写信，仓促地把本人生平的数学讨论心得扼要写出，并附以论文手稿。

他在给伴侣舍瓦利叶的信中说：

“我在分析方面做出了一些新发觉。

有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。

公开恳求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表看法。

我盼望将来有人发觉消退全部这些混乱对它们是有益的。

”

伽罗华死后，根据他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。

他的论文手稿过了14年，才由刘维尔（1809~1882）编辑出版了他的部分文章，并向数学界推举。

随着时间的推移，伽罗华的讨论成果的重要意义愈来愈为人们所熟悉。

伽罗华虽然非常年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不只是处理了几个世纪以来始终没有处理的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在处理这个问题中提出了“群”的概念，并由此进展了一整套关于群和域的理论，开拓了代数学的一个簇新的天地，直接影响了代数学讨论方法的变革。

从今，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的讨论，促进了代数学的进一步的进展。

在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。

高等代数的基本内容代数学从高等代数总的问题动身，又进展成为包括很多独立分支的一个大的数学科目，比如：

多项式代数、线性代数等。

代数学讨论的对象，也已不只是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。

虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。

因而代数学的内容可以概括为讨论带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。

比如群、环、域等。

多项式是一类最常见、最简洁的函数，它的应用特别广泛。

多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。

讨论多项式理论，次要在于探讨代数方程的性质，从而查找简易的解方程的方法。

多项式代数所讨论的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。

这些大体上和中学代数里的内容相同。

多项。

4.高考数学学问点总结

集合的交、并、补，集合的包含即子集关系；函数的单调性，奇偶性，基本函数模型（一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数），分数指数幂的定义及运算法则，对数的定义及运算性质与运算法则；直线与平面的平行与垂直，平面与平面的平行与垂直；直线方程，平面内两条直线的平行与垂直，平面内两点间的距离，点到直线的距离，两条平行直线间的距离，两条直线的交点，圆的标准方程和一般方程，直线与圆的位置关系，两圆的位置关系，空间坐标系；算法流程图；统计的分布估量与特征值估量；概率模型与对立大事；三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，诱导公式，三角函数的图象与性质；平面对量的定义，平面对量加（减）法的三角形法则、平行四边形法则，平面对量数乘的意义及平面对量基本定义，平面对量的坐标表示，平面对量的数量积，平面对量的应用；两角和与差的三角函数，二倍角公式；正弦、余弦定理及其应用；等差（比）数列的通项公式与前n项和公式及其应用；二次不等式、二次函数与一元二次方程三个二次之间的关系，基本不等式及其应用，线性规划；命题的逆、否及逆否，充分条件、必要条件、充要条件与既不充分也不必要条件，含有一个量词的否定；圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质（共性：

焦点、准线、离心率，共性：

椭圆和为值、双曲线差为定值、抛物线比为定值1，双曲线的渐近线、抛物线的焦准距）；导数的几何意义，求导法则及常见函数求导的公式（尤其关注y=e^x与y=lnx），导数在函数中的应用，导数在实际问题中的应用；合情推理（归纳推理、类比）；复数的基本概念，复数的四则运算，得数的几何意义。

5.高等代数（第三版）的重点是哪些

微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性复合函数.反函数.分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个原则：

单调有界原则和夹逼原则两个重要极限：

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念，把握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.把握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念.6.了解极限的性质与极限存在的两个原则，把握极限的四则运算法则，把握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷小的概念和基本性质.把握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性.最大值和最小值定理.介值定理），并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数.反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性.拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.把握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念，会求简洁函数的高阶导数.4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.5.理解罗尔（Rolle）定理.拉格朗日（Lagrange）中值定理.了解泰勒定理.柯西（Cauchy）中值定理，把握这四个定理的简洁应用.6.会用洛必达法则求极限.7.把握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，把握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数推断函数图形的凹凸性（注：

在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简洁函数的图形.三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1.理解原函数与不定积分的概念，把握不定积分的基本性质和基本积分公式，把握不定积分的换元积分法和分部积分法.2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，把握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简洁的经济应用问题.4.了解反常积分的概念，会计算反常积分.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值.最大值和最小值二重积分的概念.基本性质和计算无界区域上简洁的反常二重积分考试要求1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，把握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简洁多元函数的最大值和最小值，并会处理简洁的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质，把握二重积分的计算方法（直角坐标.极坐标）.了解无界区域上较简洁的反常二重积分并会计算.五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的肯定收敛与条件收敛交叉级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径.收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简洁幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数绽开式考试要求1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和。

6.高等代数

只需特征多项式能够完全分解，可以归结为“一个问题”和“两个工具”，可以使得问题愈加的简单处理，所以线性空间的很多性质在映射后得以保持，不同的基呢、矩阵！

线性变换可以用上学期的“矩阵”表示了！

你们说它们是不是联系紧密，数学家就想到。

此章次要讲了两种变换，有一章的内容特地讨论它。

可是讨论起来可不那么简洁、若干种运算构成的数学的“大厦”，概念愈加笼统、数乘未必再有原来的形式了，同时又要学《高等代数》课程。

这样的对角型与若当标准型有什么用呢。

觉得高等代数与数学分析不太一样，可以将很多个向量的运算通过基线性表示，数学的主旨是将看似不同的事物或问题将它们联系起来，能用正交变换的尽量用正交变换，这样看起来，可以通过转变基使得讨论线性变换变得简洁，先记住并把握运算！

这是代数中闻名的“同构”的思想，这样。

而向量空间的集合是向量？

大家肯定要明白。

同学们要记住：

第一！

可以想象。

经讨论。

一个问题是指解线性方程组的问题，整个课程就是铁板一块，那里有具体叙述，它的形式有局限啊。

你可能会想，比较“另类”，都可以牵一发而动全身。

说究竟、加法，而是从代数的“结构”上，作为原始的向量，向量空间的本质就是八条运算律，因而将它作为线性空间（也称向量空间）的公理化定义、线性方程组都是基本数学工具，这就是我们高校所学的第一个“代数结构”。

对于线性代数的线性方程组，对线性空间引进度量，线性空间的很多性量变得很直观且奇异，于是有了“线性变换”的概念。

它分两个学期，解方程可以先归纳出以下三大问题！

建议同学们边比较变学习，需要将一个未知量提出来作为“自在未知量”，然后用数学的工具来处理问题，做线性空间与线性变换的题时这样的转化是主方向，这样就不行能有独一的解。

说到这里，很玄是吧，比照实数域！

于是、列构成<，当你们正在《数学分析》课程时；矩阵呢，物理课也讲，整个课程的学问点相互之间有着千丝万缕的联系，请看我的《证明题的证法之高代篇》，我们以前的运算是两个数的运算。

再进一步说吧，这里的讨论的是全部方程组的规律。

比如上学期学的数域上的多项式构成的线性空间，结果，概念上很好理解啊；还有。

关键是要理解概念与概念间的联系。

我们上学期学的内容。

中学有没有涉及代数结构啊！

进一步，使得矩阵的表示尽可能简洁；<，偏重思辨与证明，同学们接受起来比较简单，对称变换在正交基下为对称阵，方程的个数不肯定等于未知量的个数，方程组的解迎刃而解，以“点”为主，不是全部都能化对角：

对称变换与正交变换，首先我们的方程组不像中学所学仅含2到3个方程。

我们要比较两者的联系与差别，称为变换的“特征值”；再者，有若干行。

欧氏空间有了度量后，就是对角型，三者联系紧密。

实际上，于是有了“若当标准型“的概念，也就是将之当做参数（可以任意取值的常数）；方程组将等号和运算除去。

二是它处理问题的方法不再是像中学那样的注重技巧，学习就有了主线了，在今后的学习中，证明是次要部分。

但是我们不必怕，由三维到n维（