带电粒子在磁场中运动最小面积问题.doc

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带电粒子在磁场中运动最小面积问题

例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.

例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示（粒子重力忽略不计）．试求：

（1）圆形磁场区域的最小面积．

（2）粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．

（3）b点的坐标．

例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点图示（CM＝CN）垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：

（1）粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；

（2）该粒子在磁场里运动的时间t；

 （3）该正三角形磁场区域的最小边长；

针对训练

1．（09年海南高考）如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．

（2）此匀强磁场区域的最小面积．

2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

（1）求上述粒子的比荷q/m

（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

4.[2010·宁波模拟]如图甲所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d，板长L＝2d，B板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离K＝a.现有质量为m、带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO′的速度v0不断射入，不计粒子所受的重力．

（1）若在A、B板上加一恒定电压U＝U0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K，求U0的大小．

（2）若在A、B板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A板比B板的电势高，其中T＝，且粒子只在0～时间内入射，则能打到小孔K的粒子在何时从O点射入？

（3）在NM和NP两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件

（2）从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值．

5.如图，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的最小的圆形匀强磁场区域（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场，电场强度大小为E，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的倍．已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝60°角．试回答：

（1）粒子带什么电？

（2）带电粒子在磁场中运动时速度多大？

（3）该最小的圆形磁场区域的面积为多大？

参考答案

例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.

解：

由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向

第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。

其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。

由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。

如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。

由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。

综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。

利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。

根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2-1）（mv0/Be）2。

例2.一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示（粒子重力忽略不计）．试求：

（1）圆形磁场区域的最小面积．

（2）粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．

（3）b点的坐标．

解析：

（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R＝

由图可知∠aO′b＝60°

磁场区域最小半径

r＝Rcos30°＝

磁场区域最小面积S＝πr2＝.

（2）由O到a过程所经历的时间t1＝

由几何关系得ab＝R＝

粒子由a到b所经历的时间t2＝＝

∴粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间

t＝t1＋t2＝（π＋）．

（3）因为sin30°＝，

∴O′b＝2R得Ob＝3R＝

故b点的坐标为（，0）．

例3、一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点图示（CM＝CN）垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：

（1）粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；

（2）该粒子在磁场里运动的时间t；

 （3）该正三角形磁场区域的最小边长；

针对训练

1．如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：

甲

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．

（2）此匀强磁场区域的最小面积．

【答案】

（1）　方向垂直纸面向外　

（2）a2

2．（09年福建卷）22.（20分）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

（1）求上述粒子的比荷；

（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

答案

（1）=4.9×C/kg（或5.0×C/kg）；

（2）；（3）

解析：

第

（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。

第

（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。

（1）设粒子在磁场中的运动半径为r。

如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得

①

由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

②

联立①②并代入数据得

=4.9×C/kg（或5.0×C/kg）③

（2）设所加电场的场强大小为E。

如图乙，当粒子子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有

④

代入数据得

⑤

所加电场的长枪方向沿x轴正方向。

由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有

⑥

⑦

联立①⑥⑦并代入数据得

⑧

（3）如图丙，所求的最小矩形是，该区域面积

⑨

联立①⑨并代入数据得

矩形如图丙中（虚线）、

3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

　　解析：

质点在磁场中作半径为R的圆周运动，

　　qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。

　　根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。

如图13所示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。

质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。

　　在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。

所以本题所求的圆形