第12讲一次函数.docx

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第12讲一次函数

第12讲　一次函数

考点知识梳理

考点一一次函数的定义

一般地，如果y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．

特别地，当b＝时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k是常数，k≠0），这时，y叫做x的正比例函数.

温馨提示

正比例函数是一次函数，但一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）不一定是正比例函数，只有当b＝0时，它才是正比例函数.

考点二一次函数的图象

1．一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条过（0，b），（－

，0）的直线．

2．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条过（0,0）的直线．

3．一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的图象与k，b符号的关系

k，b的符号

图　象

图象的位置

k＞0

b＞0

经过第一、二、三

象限

b＝0

经过第一、三　象限

和原点　

b＜0

经过第一、三、四

象限

k，b的符号

图　象

图象的位置

k＜0

b＞0

经过第一、二、四　

象限

b＝0

经过第二、四　象限

和原点

b＜0

经过第二、三、四

象限

温馨提示

直线y＝kx＋b的位置由k和b的符号决定，其中b是截距（截距不是距离，是直线与y轴交点的纵坐标）.

（1）k决定直线从左至右呈上升趋势还是呈下降趋势：

当k＞0时，直线呈上升趋势；当k＜0时，直线呈下降趋势.

（2）b决定直线与y轴的交点的位置：

当b＞0时，交点在y轴的正半轴上；当b＝0时，交点是原点；当b＜0时，交点在y轴的负半轴上.

4．两条直线的位置与系数的关系

设直线l1与l2的解析式分别为l1：

y1＝k1x＋b1，l2：

y2＝k2x＋b2，则它们的位置关系可由系数决定：

（1）k1＝k2，b1≠b2⇔l1与l2平行；

（2）k1＝k2，b1＝b2⇔l1与l2重合；

（3）k1·k2＝－1⇔l1与l2垂直.

温馨提示

当直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2，当k1＝k2，b1≠b2时，两条直线平行，这样的两条直线可通过平移得到.

考点三一次函数的性质

一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而，图象一定经过第象限；当k＜0时，y随x的而减小，图象一定经过第象限．

考点四待定系数法求一次函数解析式

用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤

（1）设出含有待定系数的函数解析式；

（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的；

（3）解，求出待定系数k，b；

（4）将求得的待定系数的值代入.

考点五用函数观点看方程（组）与不等式

1．一次函数与一元一次方程：

求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0⇔解方程.

2．一次函数与一元一次不等式：

（1）解不等式ax＋b＞0⇔求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值0；

（2）解不等式ax＋b＜0⇔求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值0.

3．一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的.

温馨提示

函数值y＞0时对应函数的图象在x轴上方；y＜0时对应函数的图象在x轴下方.

考点六一次函数的应用

1．用一次函数解决实际问题的一般步骤：

（1）设定实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）答．

2．一次函数的应用有如下常用题型

（1）根据实际问题中给出的数据列相应的函数解析式，解决实际问题；

（2）利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；

（3）结合实际问题的函数图象解决实际问题．

温馨提示

运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、不等式的有关知识求解，在确定一次函数的解析式时，要注意自变量的取值范围应受实际条件的限制.

中考典例精析

考点一　一次函数的图象和性质

例1（2013·珠海）已知函数y＝3x的图象经过点A（－1，y1）、点B（－2，y2），则y1_____y2（填“＞”“＜”或“＝”）．

方法总结

比较函数值的大小常用的方法有三种：

性质法、求值法和图象法，其中性质法简单实用.

考点二　待定系数法求一次函数解析式

例2（2013·上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是_______升．

方法总结

确定一次函数解析式常用的方法是待定系数法，具体步骤是：

首先设出一次函数的一般形式，然后把已知条件代入所设解析式，得到关于待定系数的方程或方程组，解方程或方程组求出待定系数的值，从而写出一次函数的解析式.

考点三　一次函数图象的平移

例3（2013·泰安）把直线y＝－x－3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　）

A．1

C．m>1D．m<4

方法总结

一次函数y＝kx＋b向上、向下平移m（m＞0）个单位得到y＝kx＋b±m；一次函数y＝kx＋b向左、向右平移n（n＞0）个单位得到y＝k（x±n）＋b.

考点四　一次函数的应用

例4（2013·黔东南）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．

当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

（2）求甲、乙两种品牌文具盒的进货单价；

（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元．问该超市有几种进货方案？

哪种方案能使获利最大？

最大获利为多少元？

方法总结

确定最值，一般是分析数量关系，列出一次函数，然后通过一次函数的性质和实际问题中的自变量的取值确定最值；确定不同方案，一般需要分析数量关系，列出不等式组，通过不等式组求出自变量的取值范围，从而确定方案.

基础巩固训练

1．一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点坐标是（　　）

A．（0,4）　　　B．（4,0）　　　

C．（2,0）　　　D．（0,2）

2．一次函数y＝－x＋2的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限

D．第二、三、四象限

3．已知直线y＝kx＋b经过点（k,3）和（1，k），则k的值为（　　）

A.

　　　B．±

C.

　　　D．±

4．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（　　）

A．x＞0　　　　　　

B．x＜0

C．x＞2　　　　　　

D．x＜2

5．若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是（　　）

6．将直线y＝2x向上平移1个单位长度后得到的直线是.

7．如果点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y＝2x－1的图象上，则y1y2（填“＞”“＜”或“＝”）．

8．黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富，一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼，捕捞一段时间后，发现一艘外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛，下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔政船及渔船沿同一航线航行）

（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式；

（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离；

（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？

考点训练

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（2013·玉溪）一次函数y＝x－2的图象不经过（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2．下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（　　）

A．（2，－3），（－4,6）

B．（－2,3），（4,6）

C．（－2，－3），（4，－6）

D．（2,3），（－4,6）

3．（2013·重庆）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（　　）

A．y＝2xB．y＝－2x

C．y＝

D．y＝－

x

4．在同一平面直角坐标系中，若一次函数y＝－x＋3与y＝3x－5的图象交于点M，则点M的坐标为（　　）

A．（－1,4）B．（－1,2）

C．（2，－1）D．（2,1）

5．（2013·陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n,3），那么一定有（　　）

A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0

C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0

6．（2013·菏泽）一条直线y＝kx＋b，其中k＋b＝－5，kb＝6，那么该直线经过（　　）

A．第二、四象限B．第一、二、三象限

C．第一、三象限D．第二、三、四象限

7．（2013·福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x＋a，y＋b），B（x，y），下列结论正确的是（　　）

A.a＞0

B．a＜0

C．b＝0

D．ab＜0

8．如图，直线y＝kx＋b经过点A（－1，－2）和点B（－2,0），直线y＝2x过点A，则不等式2x

A．x<－2　　　　

B．－2

C．－2

D．－1

9．（2013·莆田）如图，一次函数y＝（m－2）x－1的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0B．m＜0

C．m＞2D．m＜2

10．（2013·眉山）若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是（　　）

　A　B　　　　C　　　D

11．如图，点A的坐标为（－

，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时点B的坐标为（　　）

A．（－

，－

）　　　B．（－

，－

）

C．（

，－

）　　　D．（0,0）

12．一个矩形被直线分成面积为x和y的两部分，则y与x之间的函数关系图象只可能是（　　）

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．（2013·广州）一次函数y＝（m＋2）x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是　.

14．（2013·永州）已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（1，－1），B（－1,3）两点，则k<0（填“>”或“<”）．

15．（2013·茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：

①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为　.

16．（2013·上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程数x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是升．

17．（2013·常州）已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，－2）和点B（1,0），则

k＝，b＝.

18．无论a取什么实数，点P（a－1,2a－3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，则（2m－n＋3）2的值等于.

三、解答题（共40分）

19．（6分）如图，直线AB与x轴交于点A（1,0），与y轴交于点B（0，－2）．若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．

20．（10分）已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式．

21．（12分）（2013·内江）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120时，具有一次函数的关系，如下表所示.

x

50

60

90

120

y

40

38

32

26

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米．因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划平均每天的修建费．

22．（12分）（2013·遂宁）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A，B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：

两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：

A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；

B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．

（1）分别写出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；

（2）问：

该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？

请说明理由．