八年级上数学培优试题及答案.docx
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八年级上数学培优试题及答案
第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
专题一三角形个数的确定
1．如图，图中三角形的个数为（ ）
A．2B．18C．19D．20
2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个．
3．阅读材料，并填表：
在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
完成下表：
△ABC内点的个数
1
2
3
…
1007
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
…
专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围
4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（ ）
A．－6＜a＜－3B．－5＜a＜－2C．2＜a＜5D．a＜－5或a＞－2
5.在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个．
6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式＞的正整数解，试求第三边x的长．
状元笔记
【知识要点】
1．三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
2．三角形三条重要线段
（1）高：
从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．
（2）中线：
连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．
（3）角平分线：
三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
3．三角形的稳定性
三角形具有稳定性．
【温馨提示】
1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：
三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：
三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．
2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．
【方法技巧】
1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．
2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．
参考答案:
1．D解析：
线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D．
2．21解析：
根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：
后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21．
3．解：
填表如下：
△ABC内点的个数
1
2
3
…
1007
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
7
…
2015
解析：
当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：
三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015．
4．B解析：
根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B．
5．10解析：
∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，
∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．
6．解：
原不等式可化为3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．
∵x是它的正整数解，
∴x可取1，2，3，5，6，7．
再根据三角形三边关系，得6＜x＜10，
∴x=7．
11.2与三角形有关的角
专题一利用三角形的内角和求角度
1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
2．如图，已知：
在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．
3．已知：
如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：
__________；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）
专题二利用三角形外角的性质解决问题
4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．
（1）求∠DCE的度数；
（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）
6．如图：
（1）求证：
∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．
状元笔记
【知识要点】
1．三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°．
2．直角三角形的性质及判定
性质：
直角三角形的两个锐角互余．
判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．三角形的外角及性质
外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【温馨提示】
1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．
2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．
【方法技巧】
1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．
2．由三角形的外角的性质可得出：
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
参考答案:
1．C解析：
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=∠ACE，∠2=∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=∠A=25°．故选C．
2．解：
（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，
所以（∠BAC＋∠ABC）=45°.
因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC，
即∠BAP＋∠ABP=45°，
所以∠APB=180°－45°=135°.
（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，
所以（∠BAC＋∠ABC）=45°，
因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∠DBC=∠ABC，∠PAC=∠BAC，所以∠DBC＋∠PAD=45°.
所以∠APB=∠PDA＋∠PAD=∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C=45°＋90°=135°.
3．解：
（1）∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）由
（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．
（3）2∠P=∠B+∠D．
4．B解析：
延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，即∠P=50°－（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．
5．解：
（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠ACB=34°．
∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．
（2）∠DCE=（∠B－∠A）．
6．
（1）证明：
延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．
∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．
（2）猜想：
∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：
∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD
=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．
11.3多边形及其内角和
专题一根据正多边形的内角或外角求值
1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．12B．11C．10D．9
2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．
3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．
专题二求多个角的和
4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A．360°B．540°C．630°D．720°
5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．
6．如图，求：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
状元笔记
【知识要点】
1．多边形及相关概念
多边形：
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的内角和与外角和
内角和：
n边形的内角和等于（n－2）·180°．
外角和：
多边形的外角和等于360°．
【温馨提示】
1．从n边形的一个顶点出发，可以做（n－3）条对角线，它们将n边形分为（n－2）个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．
2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．
【方法技巧】
1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．
2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．
参考答案:
1．A解析：
∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A．
2．1440解析：
∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°．
3．解：
设多边形的边数为n，根据题意，得（n－2）·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20．
4．B解析：
∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．
5．360°解析：
在四边形BEFG中，
∵∠EBG=∠C+∠D，
∠BGF=∠A+∠A
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