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历年中考压轴题精选

　　一、解答题

1.（北京8分）如图，在平面直角坐标系O中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：

不含AB线段）.已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与轴的交点D在射线AE的反向延长线上.

（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离;

（2）当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围;当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围;

（3）已知AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标的取值范围.

【答案】解：

（1）连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1。

∵点D在以AB为直径的半圆上，

ADB=90。

BDAD。

在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=。

∵AE∥BF，

两条射线AE、BF所在直线的距离为。

（2）当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，

b的取值范围是b=或﹣1

当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1

①当点M在射线AE上时，如图2.

∵AMPQ四点按顺时针方向排列，直线PQ必在直线AM的上方。

PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合。

0

∵AM∥PQ且AM=PQ，0

②当点M不在弧AD上时，如图3，

∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。

③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF，

当点M在弧DR上时，如图4，

过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点.

四边形AMPQ为满足题意的平行四边形。

0。

当点M在弧RB上时，如图5，

直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形。

④当点M在射线BF上时，如图6，

直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。

综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2﹣1或0。

【考点】一次函数综合题，勾股定理，平行四边形的性质，圆周角定理。

【分析】

（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离。

（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量的取值范围即可。

（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可。

2.（天津10分）已知抛物线：

.点F（1，1）.

（Ⅰ）求抛物线的顶点坐标;

（Ⅱ）①若抛物线与轴的交点为A.连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：

②抛物线上任意一点P（））（）.连接PF.并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立?

请说明理由;

（Ⅲ）将抛物线作适当的平移.得抛物线：

，若时.恒成立，求m的最大值.

【答案】解：

（I）∵，抛物线的顶点坐标为（）.

（II）①根据题意，可得点A（0，1），

∵F（1，1）.AB∥轴.得

AF=BF=1，②成立.理由如下：

如图，过点P作PMAB于点M，则

FM=，PM=（）。

Rt△PMF中，有勾股定理，得又点P（）在抛物线上，得，即，即。

过点Q（）作QNAB，与AB的延长线交于点N，

同理可得∵PMF=QNF=90，MFP=NFQ，△PMF∽△QNF。

，这里，。

，即。

（Ⅲ）令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且，

∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，

观察图象.随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，

当满足，.恒成立时，m的最大值在处取得。

当时.所对应的即为m的最大值。

将带入，得。

解得或（舍去）。

。

此时，，得

解得，。

m的最大值为8。

【考点】二次函数综合题，抛物线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图象平移，解一元二次方程。

【分析】（I）只要把二次函数变形为的形式即可。

（II）①求出AF和BF即可证明。

②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。

（Ⅲ）应用图象平移和抛物线的性质可以证明。

3.（河北省12分）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t0），抛物线经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）.

（1）求，（用含t的代数式表示）：

（2）当4

①在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化?

若变化，说明理由;若不变，求出AMP的值;

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，;

（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为好点.若抛物线将这些好点分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.

【答案】解：

（1）把=0，=0代入，得=0。

把=t，=0代入，得t2+t=0，

∵t0，=﹣t。

（2）①不变.

如图，当=1时，=1﹣t，故M（1，1﹣t），

∵tanAMP=1，AMP=45。

②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM

=（t﹣4）（4t﹣16）+[（4t﹣16）+（t﹣1）]3﹣（t﹣1）（t﹣1）=t2﹣t+6。

解t2﹣t+6=，得：

t1=，t2=。

∵4

t=。

（3）

【考点】二次函数综合题。

【分析】

（1）由抛物线经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得，。

（2）①当=1时，=1﹣t，求得M的坐标，则可求得AMP的度数。

②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值。

（3）当，经过（2，-3）时，好点（2，-2）和（2，-1）在抛物线上方，

此时，，。

当=3时，，在-1和-2之间，说明（3，-1）也在抛物线上方。

因此，抛物线要将这些好点分成数量相等的两部分时，必须。

当，经过（3，-2）时，好点（3，-1）在抛物线上方，

此时，，。

当=3时，，在-3和-4之间，说明好点（2，-3），（2，-2）和（2，-1）也在抛物线上方。

因此，抛物线要将这些好点分成数量相等的两部分时，必须。

综上所述，t的取值范围是

4.（山西省14分）如图，在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点.点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O-C-B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t0）.△MPQ的面积为S.

（1）点C的坐标为，直线l的解析式为.

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.

（3）试求题

（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值.

（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究：

当t为何值时，△QMN为等腰三角形?

请直接写出t的值.

【答案】解：

（1）（3，4）;。

（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t.分三种情况讨论：

①当时，如图l，M点的坐标是（）。

过点C作CDx轴于D，过点Q作QEx轴于E，

可得△AEO∽△ODC。

，即。

Q点的坐标是（）。

PE=。

S=。

②当时，如图2，过点Q作QFx轴于F，

∵，OF=。

Q点的坐标是（），

PF=。

S=。

③当点Q与点M相遇时，，解得。

当时，如图3，MQ=，MP=4。

S=。

综上所述，S=。

（3）①当时，，

∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，

当时，S随t的增大而增大。

当时，S有最大值，最大值为。

②当时，。

∵，抛物线开口向下，当时，S有最大值，最大值为。

③当时，，∵.S随t的增大而减小。

又∵当时，S=14.当时，S=0.。

综上所述，当时，S有最大值，最大值为。

（4）当时，△QMN为等腰三角形。

【考点】动点问题，平行四边形的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，一、二次函数的增减性和最值，等腰三角形的判定。

【分析】

（1）由点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得点C的坐标为（11-8，4），即（3，4）。

由点C在直线l，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法可求直线l的解析式。

（2）分①点Q在AB上，点M在OC上，②点Q在BC上，点M在OC上，③点Q在BC上，点M在BC上三种情况讨论即可。

（3）按

（2）的分段情况，根据一、二次函数的增减性和最值讨论即可。

（4）易知，NMQ为直角，故要△QMN为等腰三角形只有MQ=MN。

∵M（），N（），Q（），

当点M在点Q的左边，，解得，。

当点M在点Q的右边，，解得，。

超过，舍去。

当时，△QMN为等腰三角形。

5.（内蒙古呼和浩特12分）已知抛物线的图象向上平移个单位（）得到的新抛物线过点（1，8）.

（1）求的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式;

（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻

折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在时对应的函数值的取值范围;

（3）设一次函数，问是否存在正

整数使得

（2）中函数的函数值时，对应的的值为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由.

【答案】解：

（1）由题意可得又点（1，8）在图象上，。

。

（2）。

画图如下：

当时，。

（3）不存在。

理由如下：

当且对应的时，，解得，，

且得。

不存在正整数满足条件。

【考点】二次函数综合题，平移的性质，二次函数的顶点式，函数的图象特征，解一元二次方程和一元一次不等式组。

【分析】

（1）根据抛物线的图象向上平移个单位，可得，再利用又点（1，8）在图象上，求出即可。

（2）根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点。

（3）根据当且对应的时，，得出取值范围即可得出答案。

6.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FNBC.

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗?

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y.

①求y与x的函数关系式;

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

图1图2

【答案】解：

（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE.

AB﹣AG=BC﹣EC，即BG=BE。

BGE=45。

AGE=135。

∵CP是外角平分线，

DCF=45。

ECF=135

AGE=ECF。

∵AEB+BAE=90，AEB+CEF=90，

BAE=CEF。

在△AGE和△ECF中，，△AGE≌△ECF（ASA），AE=EF。

（2）①与

（1）同理可证，当E不是中点时，AE=EF，

在△ABE和△ENF中，，△ABE≌△ENF（AAS）。

FN=BE=x。

又∵BE=x，BC=4，EC=4﹣x，y=（4﹣x）x，

y与x的函数关系式为y=﹣x2+2x（0

②∵y=﹣x2+2x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+2，

当x=2，y最大值=2。

【考点】正方形的性质，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质。

【分析】

（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：

△AGE≌△ECF，则可证得AE=EF。

（2）同

（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题。

7.（内蒙古包头12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）.

（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式;

（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当APCP时，求点P的坐标;

（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S.当S取何值时，满足条件的点E只有一个?

当S取何值时，满足条件的点E有两个?

【答案】解：

（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得

，解得。

y=-x2+x-2=-（x-）2+。

（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A，C。

∵APCP，△AAP∽△PCC。

，即，

解得m1=，m2=。

P（，）或（，）。

（3）由B（6，1），C（0，-2），得直线BC的解析式为y=x-2，D（4，0）。

∵四边形OEDC只能在x上方，n0。

又S=S△CDO+S△EDO=，。

∵点E（t，n）在抛物线上，n=-t2+t-2，代入，得

关于t的方程t2-7t+S=0，方程根的判别式△=49-4S。

当△=0时，S=，，此时方程只有一解，满足条件的点E只有一个，位于抛物线顶点处（图1）。

当△0时，S，由S4，所以4

设B是抛物线上点B关于对称轴的对称点，即n=1，S=6。

由t2-7t+6=0得

t=1或t=6。

此时点E的坐标为（1，1）或（6，1），即满足条件的点E与点B或B重合（图2）。

①当6

条件的点E位于直线BB上方的抛物线上。

。

故此时满足条件的点E有两个（图3）。

②当4

点H与点B之间的抛物线上。

故此时满足条件的点E只有一个（图4）。

综上所述，当4

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称性，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式。

【分析】

（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求抛物线解析式，再用配方法求顶点式。

（2）当APCP时，分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A，C，利用互余关系得角相等，证明△AAP∽△PCC，利用相似比求P点坐标。

（3）分别求出点E为抛物线顶点，E，B重合时，图形的面积，当E点为抛物线顶点时，即S=满足条件的点E只有一个;当6

8.（内蒙古乌兰察布16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3,3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6,m），与x轴、y轴分别交于C、D两点。

（1）求m的值;

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式;

（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的?

若存在，求点E的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：

（1）设反比例函数为，

把A（3，3）代入，得，。

反比例函数为。

∵B（6，m）在反比例函数上，。

（2）设正比例函数为，

把A（3，3）代入，得，。

正比例函数为。

设直线BD的解析式为，

∵直线BD过，，。

直线BD的解析式为。

在中，令，得，D（）。

在中，令，得，C（）。

设过A、B、D三点的抛物线的解析式为，得

，解得：

。

抛物线的解析式为。

（3）假设存在E（）满足条件，

，[来源:

Zk]

在中，令，解得，

E的坐标应满足，。

，即，

解得：

。

，即。

。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，解一次方程组和一元一次方程。

【分析】

（1）由于反比例函数的图象都经过点A（3，3），由此可以确定函数的解析式，又把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值。

（2）由于直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与轴、轴分别交于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C，D的坐标，最后利用

待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式。

（3）如图，利用

（1）

（2）知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的横坐标为，那么利用可以表示其纵坐标，也可以表示△OEC的面积，而△OCD的面积可以求出，所以根据四边形OECD的面积S1是四边形OACD面积S的即可列出关于的方

程，利用方程即可解决问题。

9.（内蒙古呼伦贝尔13分）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点A、

C，与轴相交于点B，A,△AOB∽△BOC.

⑴求C点的坐标、ABC的度数;

⑵求二次函数的解析式;

⑶在线段AC上是否存在点M，使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?

若存在，求出的值;若不存在，请说明理由。

【答案】解：

（1）由，令=0，得B（0，3）。

又A，OA=，OB=3。

∵△AOB∽△BOC，，即，OC=4。

C（4，0）。

∵△AOB∽△BOC，OAB=OBC。

又∵OAB+OBA=900，OBC+OBA=900，即ABC=900。

（2）∵的图象经过A，C（4，0），

，解得。

二次函数的解析式为。

（3）过点P作PMBC交AC于点M，

则根据直径所对圆周角是直角的性质，知点P在以BM为直径的圆上

又∵ABC=900，PM∥BA。

△CPM∽△CBA。

由A，B（0，3），C（4，0），可得OA=，OB=3，OC=4。

则CA=+4=，CB=。

由M，得CM=4-。

分三种情况：

①当PC=PO时，点P为BC的中点，得CP=2.5。

，解得。

②当CP=CO时，CP=4。

，解得。

③当OC=OP时，由于OP（=4）OB（=3），从而点P在CB的延长线上，这样点M点不在线段AC上。

综上所述，的值为。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组，圆周角定理。

勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质。

【分析】

（1）由△AOB∽△BOC，得对应边成比例，对应角相等，可得C（4，0）和ABC=900。

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：

“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：

“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

（2）由点A，C在二次函数的图象上，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系可求解析式。

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？

”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？

”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?

曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。

（3）根据圆周角定理和相似三角形的性质可得。

分PC=PO，CP=CO，OC=OP三种情况讨论即可。