九年级数学上册第四章图形的相似探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的定义及其判定1同步练习北师大版.docx

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九年级数学上册第四章图形的相似探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的定义及其判定1同步练习北师大版

4　第1课时　相似三角形的定义及其判定1

知识点1　对相似三角形定义的理解

1．下列说法中错误的是（　　）

A．两个全等三角形一定相似

B．两个直角三角形一定相似

C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例

D．相似的两个三角形不一定全等

2．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝4.5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（　　）

A．1∶3B．3∶2C．3∶5D．2∶3

3．2017·贵阳期末一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则该三角形的最短边是（　　）

A．6B．9C．10D．15

4．如图4－4－1，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD∶AC等于（　　）

图4－4－1

A．AE∶AC

B．DE∶CB

C．AE∶BC

D．DE∶AB

5．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，BC＝3，A′B′＝1，则B′C′等于（　　）

A．1.5B．3C．2D．1

6．如图4－4－2所示，已知△ABC∽△ADE，AD＝6cm，BD＝3cm，BC＝9.9cm，∠A＝70°，∠B＝50°.

求：

（1）∠ADE的度数；

（2）∠AED的度数；

（3）DE的长．

图4－4－2

知识点2　利用两角分别相等判定三角形相似

7．如图4－4－3所示的三个三角形，相似的是（　　）

图4－4－3

A．

（1）和

（2）B．

（2）和（3）

C．

（1）和（3）D．

（1）和

（2）和（3）

8．教材习题4.5第3题变式题如图4－4－4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有（　　）

A．0对B．1对C．2对D．3对

图4－4－4

图4－4－5

9．如图4－4－5，添加一个条件：

__________（写出一个即可），使△ADE∽△ACB.

10．将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合（如图4－4－6），AC与BD相交于点E.连接CD，请写出图中的一对相似三角形，并加以证明．

图4－4－6

11．如图4－4－7，在▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是

图4－4－7

（　　）

A．△ABE∽△DGE

B．△CGB∽△DGE

C．△BCF∽△EAF

D．△ACD∽△GCF

12．2016·贵阳期末如图4－4－8，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

图4－4－8

图4－4－9

13．如图4－4－9，已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，则点D的位置最多有________处．

14．如图4－4－10，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：

△ABD∽△CBE.

图4－4－10

15．如图4－4－11，△PMN是等边三角形，∠APB＝120°，求证：

AM·PB＝PN·AP.

图4－4－11

16．如图4－4－12，点D在等边三角形ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC相交于点F.

（1）求证：

△ABD∽△DCF；

（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．

图4－4－12

17．如图4－4－13，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0）．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

并求出此时点P与点Q的坐标．

图4－4－13

详解

1．B　2.B

3．B　[解析]设与它相似的三角形的最短边的长为x，

∵一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，

∴

＝

，解得x＝9.故选B.

4．B　[解析]根据相似三角形的定义可知，△ADE∽△ACB，且∠ADE和∠C是对应角，因此AD，AC与DE，CB对应成比例．

5．A　[解析]∵△ABC∽△A′B′C′，

∴

＝

，即

＝

，

解得B′C′＝1.5.故选A.

6．解：

（1）∵△ABC∽△ADE，

∴∠ADE＝∠B＝50°.

（2）在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，

∴∠AED＝180°－70°－50°＝60°.

（3）∵△ADE∽△ABC，

∴

＝

，

即

＝

，

∴DE＝6.6（cm）．

7．A

8．D　[解析]∵CD是斜边AB上的高，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°.

∵∠CAD＝∠BAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC.

∵∠DBC＝∠CBA，

∴Rt△ABC∽Rt△CBD，

∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对．故选D.

9．∠ADE＝∠C（答案不唯一）

10．解：

答案不唯一，如△ADE∽△BDA.

证明：

∵∠CAB＝30°，∠BAD＝60°，

∴∠DAE＝30°＝∠DBA.

又∵∠ADE＝∠BDA＝90°，

∴△ADE∽△BDA.

11．D　[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠EDG＝∠EAB.

又∵∠E＝∠E，

∴△ABE∽△DGE；

∵AE∥BC，

∴∠EDG＝∠BCG，∠E＝∠CBG，

∴△CGB∽△DGE；

∵AE∥BC，

∴∠E＝∠FBC，∠EAF＝∠BCF，

∴△BCF∽△EAF.

第四个无法证得．故选D.

12．C　[解析]∵DE∥BC，EF∥AB，

∴∠ABC＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，

∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，

∴△ADE∽△EFC.

∴图中相似三角形的对数是：

3.

故选C.

13．3　[解析]∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过点P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形均满足题意，则点D的位置最多有3处．

14．证明：

∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC.

∵CE⊥AB，

∴∠ADB＝∠CEB＝90°.

又∵∠B＝∠B，

∴△ABD∽△CBE.

15．证明：

∵△PMN是等边三角形，

∴∠PMN＝60°，PN＝MP，

∴∠AMP＝180°－∠PMN＝120°＝∠APB.

又∵∠A＝∠A，

∴△AMP∽△APB，

∴

＝

，

∴AM·PB＝MP·AP，

∴AM·PB＝PN·AP.

16．解：

（1）证明：

∵△ABC，△ADE均为等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，

∴∠ADB＋∠FDC＝∠DFC＋∠FDC，

∴∠ADB＝∠DFC.

∴△ABD∽△DCF.

（2）∵∠C＝∠E，∠AFE＝∠DFC，

∴△AEF∽△DCF，

∴△ABD∽△AEF.

∵△ABC与△ADE均为等边三角形，

∴△ABC∽△ADE.

∵∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝∠C＋∠CDF＝∠AFD，又∠DAF＝∠CAD,

∴△ADF∽△ACD.

故除了△ABD∽△DCF外，图中的相似三角形还有：

△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD.

17．解：

（1）直线AB的函数表达式为y＝－

x＋6.

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝10.

由题意，知AP＝t，AQ＝10－2t.可分两种情况讨论：

①当∠APQ＝∠AOB时，有△APQ∽△AOB，得

＝

，解得t＝

，

此时，P

，Q

.

②当∠AQP＝∠AOB时，

有△APQ∽△ABO，

得

＝

，解得t＝

，

此时，P

，Q

.