九年级数学上册第四章图形的相似探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的定义及其判定1同步练习北师大版.docx
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九年级数学上册第四章图形的相似探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的定义及其判定1同步练习北师大版
4 第1课时 相似三角形的定义及其判定1
知识点1 对相似三角形定义的理解
1.下列说法中错误的是( )
A.两个全等三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
2.已知△ABC∽△A′B′C′,且BC∶B′C′=AC∶A′C′,若AC=3,A′C′=4.5,则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )
A.1∶3B.3∶2C.3∶5D.2∶3
3.2017·贵阳期末一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则该三角形的最短边是( )
A.6B.9C.10D.15
4.如图4-4-1,已知△ADE∽△ACB,且∠ADE=∠C,则AD∶AC等于( )
图4-4-1
A.AE∶AC
B.DE∶CB
C.AE∶BC
D.DE∶AB
5.若△ABC∽△A′B′C′,AB=2,BC=3,A′B′=1,则B′C′等于( )
A.1.5B.3C.2D.1
6.如图4-4-2所示,已知△ABC∽△ADE,AD=6cm,BD=3cm,BC=9.9cm,∠A=70°,∠B=50°.
求:
(1)∠ADE的度数;
(2)∠AED的度数;
(3)DE的长.
图4-4-2
知识点2 利用两角分别相等判定三角形相似
7.如图4-4-3所示的三个三角形,相似的是( )
图4-4-3
A.
(1)和
(2)B.
(2)和(3)
C.
(1)和(3)D.
(1)和
(2)和(3)
8.教材习题4.5第3题变式题如图4-4-4,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则图中相似三角形有( )
A.0对B.1对C.2对D.3对
图4-4-4
图4-4-5
9.如图4-4-5,添加一个条件:
__________(写出一个即可),使△ADE∽△ACB.
10.将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合(如图4-4-6),AC与BD相交于点E.连接CD,请写出图中的一对相似三角形,并加以证明.
图4-4-6
11.如图4-4-7,在▱ABCD中,E是AD延长线上一点,BE交AC于点F,交DC于点G,则下列结论中错误的是
图4-4-7
( )
A.△ABE∽△DGE
B.△CGB∽△DGE
C.△BCF∽△EAF
D.△ACD∽△GCF
12.2016·贵阳期末如图4-4-8,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是( )
A.1B.2C.3D.4
图4-4-8
图4-4-9
13.如图4-4-9,已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与△ABC相似,则点D的位置最多有________处.
14.如图4-4-10,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.求证:
△ABD∽△CBE.
图4-4-10
15.如图4-4-11,△PMN是等边三角形,∠APB=120°,求证:
AM·PB=PN·AP.
图4-4-11
16.如图4-4-12,点D在等边三角形ABC的BC边上,△ADE为等边三角形,DE与AC相交于点F.
(1)求证:
△ABD∽△DCF;
(2)除了△ABD∽△DCF外,请写出图中其他所有的相似三角形.
图4-4-12
17.如图4-4-13,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6),点B(8,0).动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
并求出此时点P与点Q的坐标.
图4-4-13
详解
1.B 2.B
3.B [解析]设与它相似的三角形的最短边的长为x,
∵一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,
∴
=
,解得x=9.故选B.
4.B [解析]根据相似三角形的定义可知,△ADE∽△ACB,且∠ADE和∠C是对应角,因此AD,AC与DE,CB对应成比例.
5.A [解析]∵△ABC∽△A′B′C′,
∴
=
,即
=
,
解得B′C′=1.5.故选A.
6.解:
(1)∵△ABC∽△ADE,
∴∠ADE=∠B=50°.
(2)在△ADE中,∠A+∠ADE+∠AED=180°,
∴∠AED=180°-70°-50°=60°.
(3)∵△ADE∽△ABC,
∴
=
,
即
=
,
∴DE=6.6(cm).
7.A
8.D [解析]∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠CAD=∠BAC,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC.
∵∠DBC=∠CBA,
∴Rt△ABC∽Rt△CBD,
∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对.故选D.
9.∠ADE=∠C(答案不唯一)
10.解:
答案不唯一,如△ADE∽△BDA.
证明:
∵∠CAB=30°,∠BAD=60°,
∴∠DAE=30°=∠DBA.
又∵∠ADE=∠BDA=90°,
∴△ADE∽△BDA.
11.D [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠EDG=∠EAB.
又∵∠E=∠E,
∴△ABE∽△DGE;
∵AE∥BC,
∴∠EDG=∠BCG,∠E=∠CBG,
∴△CGB∽△DGE;
∵AE∥BC,
∴∠E=∠FBC,∠EAF=∠BCF,
∴△BCF∽△EAF.
第四个无法证得.故选D.
12.C [解析]∵DE∥BC,EF∥AB,
∴∠ABC=∠ADE,∠AED=∠ACB,∠CEF=∠CAB,∠CFE=∠CBA,
∴△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,
∴△ADE∽△EFC.
∴图中相似三角形的对数是:
3.
故选C.
13.3 [解析]∵截得的小三角形与△ABC相似,∴过点P作AC的垂线,作AB的垂线,作BC的垂线,所截得的三角形均满足题意,则点D的位置最多有3处.
14.证明:
∵在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE.
15.证明:
∵△PMN是等边三角形,
∴∠PMN=60°,PN=MP,
∴∠AMP=180°-∠PMN=120°=∠APB.
又∵∠A=∠A,
∴△AMP∽△APB,
∴
=
,
∴AM·PB=MP·AP,
∴AM·PB=PN·AP.
16.解:
(1)证明:
∵△ABC,△ADE均为等边三角形,
∴∠B=∠C=∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠FDC=∠DFC+∠FDC,
∴∠ADB=∠DFC.
∴△ABD∽△DCF.
(2)∵∠C=∠E,∠AFE=∠DFC,
∴△AEF∽△DCF,
∴△ABD∽△AEF.
∵△ABC与△ADE均为等边三角形,
∴△ABC∽△ADE.
∵∠ADC=∠ADF+∠CDF=∠C+∠CDF=∠AFD,又∠DAF=∠CAD,
∴△ADF∽△ACD.
故除了△ABD∽△DCF外,图中的相似三角形还有:
△AEF∽△DCF,△ABD∽△AEF,△ABC∽△ADE,△ADF∽△ACD.
17.解:
(1)直线AB的函数表达式为y=-
x+6.
(2)在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=10.
由题意,知AP=t,AQ=10-2t.可分两种情况讨论:
①当∠APQ=∠AOB时,有△APQ∽△AOB,得
=
,解得t=
,
此时,P
,Q
.
②当∠AQP=∠AOB时,
有△APQ∽△ABO,
得
=
,解得t=
,
此时,P
,Q
.