32的抽样分布定理证明.docx

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32的抽样分布定理证明

3.2的抽样分布定理证明

几种统计量的抽样分布

（1）样本平均数

的抽样分布（P.116）

①设（x1,x2,…,xn）是总体x~N（μ,σ2）的随机样本，

=

，则

E（

）=

=

=

=μ

Var（

）=Var（

）=

=

=

图8.1正态分布σ2=1，σ2=0.5

因xi~N（μ,σ2），i=1,2,…,n,

=

+

+…+

，根据正态分布的线性性质，得

~N（μ,

）,U=

~N（0,1）

n→∞，

→μ，样本容量越大，

离μ越近。

②当x不服从正态分布时，在n>30条件下，依据中心极限定理可认为，

近似服从正态分布N（μ,

。

Z=

~N（0,1）

上面给出的E（

）=μ，Var（

）=

是以x为无限总体为条件的。

（1）当x为有限总体，但

<0.05时，仍把x当作无限总体看待。

（2）当

>0.05时，

E（

）=μ

Var（

）=

其中

称作有限总体修正因子。

n=100

n=10

n=3

图1发票面额的分组频数表（μ=20，σ=30）图2n=3,n=10,n=100的抽样分布（

=30.3）

（文件名：

stat06）

例1：

8042张发票面额的分组频数表显示该总体是非正态、右偏倚的，如图1，μ=20，σ=30。

以样本容量为n=3，n=10，n=100各抽取600次，得到关于

的三个频数分布图如上。

（2）统计量W=

的抽样分布

①若U1，U2，…Un是相互独立且同服从N（0,1）分布随机变量，则

U12+U22+…+Un2=

~χ2（n）

当n=1时，U12服从1个自由度的χ2分布。

χ2分布统计量具有可加性。

②设（x1，x2，…xn）是取自正态总体x~（μ,σ2）的样本。

则

~χ2（n）

证：

因xi~N（μ,σ2），所以

~N（0,1），则

=

~χ2（n）□