32的抽样分布定理证明.docx
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32的抽样分布定理证明
3.2的抽样分布定理证明
几种统计量的抽样分布
(1)样本平均数
的抽样分布(P.116)
①设(x1,x2,…,xn)是总体x~N(μ,σ2)的随机样本,
=
,则
E(
)=
=
=
=μ
Var(
)=Var(
)=
=
=
图8.1正态分布σ2=1,σ2=0.5
因xi~N(μ,σ2),i=1,2,…,n,
=
+
+…+
,根据正态分布的线性性质,得
~N(μ,
),U=
~N(0,1)
n→∞,
→μ,样本容量越大,
离μ越近。
②当x不服从正态分布时,在n>30条件下,依据中心极限定理可认为,
近似服从正态分布N(μ,
。
Z=
~N(0,1)
上面给出的E(
)=μ,Var(
)=
是以x为无限总体为条件的。
(1)当x为有限总体,但
<0.05时,仍把x当作无限总体看待。
(2)当
>0.05时,
E(
)=μ
Var(
)=
其中
称作有限总体修正因子。
n=100
n=10
n=3
图1发票面额的分组频数表(μ=20,σ=30)图2n=3,n=10,n=100的抽样分布(
=30.3)
(文件名:
stat06)
例1:
8042张发票面额的分组频数表显示该总体是非正态、右偏倚的,如图1,μ=20,σ=30。
以样本容量为n=3,n=10,n=100各抽取600次,得到关于
的三个频数分布图如上。
(2)统计量W=
的抽样分布
①若U1,U2,…Un是相互独立且同服从N(0,1)分布随机变量,则
U12+U22+…+Un2=
~χ2(n)
当n=1时,U12服从1个自由度的χ2分布。
χ2分布统计量具有可加性。
②设(x1,x2,…xn)是取自正态总体x~(μ,σ2)的样本。
则
~χ2(n)
证:
因xi~N(μ,σ2),所以
~N(0,1),则
=
~χ2(n)□